Je supposerai d'abord qu'on prenne

tx = dx , tu = dy ,

ds;

de sorte que le déplacement du point quelconque m aoit celui qui a lieu effectivement pendant l'instant dt. On aura, en même temps, Jr=d> ; et l'on remplacera «p, tu, tt, par dp, du, ds, qui représentent les projections du déplacement réel du point m sur lea directions des forces P, «II, «.F. En appelant t>, la vitesse d'un point quelconque m, et observant qu'on a

— dx+--?-dy+ ---d*=-d,r> , dt. ~ dt* 7 dt* a

l'équation (A) deviendra

= ïPrfp ± 2!Wr + X.Uds. — S.Fd*.

En intégrant, on aura donc

=/ïPdp±/ïRdr- r -/S«Udi. -fï*Td*, \

k étant la valeur initiale de r, et les intégrales roençant à l'origine du mouvement.

Le terme J'iVdp comprendra la partie du travail moteur qui répond au poids du système j et si l'on appelle II ce poids, et ; la hauteur verticale doot le centre de gravité sera tombé pendant le temps I, cette partie sera égale a II f,

Lorsque les distances des points du système que l'on considère demeureront invariables pendant le mouvement , on aura dr = 0 , et le terme /"ïRdr disparaîtra de l'équation (•). S'il s'agit d'un fluide, ce terme comprendra les attractions ou répulsions mutuelles de ses points, qui s'étendent a de grandes distances ; il comprendra aussi les actions mi qu'on appelle proprement forces moléculaires (n<> 589), qui ne s'étendent qu'à des distance* insensibles, et qui produisent les pressions intérieures, auxquelles on n'a point eu égard en formant l'équation {i). La valeur de cette intégrolc/2Rd> dépendra du changement de forme et des condensations ou dilatations du fluide pendant son mouvement ; et pour les très petites variations de densité qui ont lieu dans le liquide, elle pourra varier dans de très grands rapports, à raison des forces moléculaires ou des pressions intérieures qui en résultent (n >577) Les sommes 2*1 du et 2»¥d* comprises sous les deui dernières intégrâtes, sont elles-mêmes des intégrales doubles étendues à tous les élémens • des surfaces résistantes et frottantes. Si la partie du

) de ces surfaces est un corps solide, ls force «F sera indépendante de la vitesse de ce corps, et proportionnelle, pour chaque élément », à la pression correspondante, laquelle est égale et contraire à la résistance «U. Si cette partie frottante du système est un fluide, la force •F dépendra de sa vitesse relative, et sera indépendante de la pression ( n» 457 ). Lorsque la surface dont L — 0 est l'équation, sera immobile, la projection du déplacement de* m sur la normale à cette surface sera nulle, puisque le point m est assujetti à demeurer sur cette surface; on aura donc du — 0; ce qui fera disparaître l'intégrale/ïi.L'du; et si l'on fait, de plus, abstraction du frottement, l'équation (i) se réduira à l'équation ordinaire des forces vives.