CHAPITRE VIII. Exemples dm mouvement d'un corps flexible , page

\) I< ' Vibration d'une corde flexible , ibid.

Hypothèses que l'on fait sur cette corde ; équations différentielles de son mouvement, n° 483

Réduction de ces équations à la forme linéaire , dans le cas des vibrations très petites ; les vibrations transtersaUs et les vibrations longitudinales coexistent dans une même corde, et sont indépendantes les unes des autres; ces deux sortes de mouvemens dépendent d'une équation de même forme, aux différences partielles du second ordre , n° 484

Intégration de cette équation sous forme finie ,

Détermination des deux fonctions arbitraires contenues dans cette intégrale , pour toute la longueur de la corde , et pour toutes les voleurs du temps, d'après la figure initiale de la corde vibrant transversalement, et les vitesses initiales de tous ses points , n« 486 Construction géométrique de la figure de cette corde à un instant quelconque, n° 487 Lois des vibrations transversales qui résultent de cette construction , et qui ont été confirmées par l'expérience , soit par rapport à la tension de la corde, soit par rapport à son poids et a ta longueur ; l'élévation du ton est mesurée par le nombre des vibrations dans l'unité de temps , n» 488 Discontinuai des lignes employées dans la construction précédente { restriction qu'on doit apporter à la discontinuité de la courbe qui représente la figure initiale de la corde ; cette condition restrictive subsiste pendant toute la durée du mouvement, et fournit une des équations nécessaires au problème , dans le cas d'une corde composée de deux parties de matières différentes , n° 489 Autre solution du problème des cordes vibrantes, dans laquelle l'ordonnée courante de la corde est exprimée par une série de quantités périodiques,

Cas particuliers où le ton d'une corde s'élève audessus du ton fondamental , et répond à nnc par-

tie aliquote de sa longueur; i

qui ont lieu dans ces sortes de cas, no 491 Lois des vibrations longitudinales d'uoe corde ten.

due > n° 498

Rapport très simple entre leur nombre et celui des

vibrations transversales de la mémo corde,

qus,

Hypothèses que l'on fait sur cette verge ; son mouvement longitudinal dépend de la même équation aux différences partielles que celui de la corde tendue , et ne diffère de celui-ci que par les conditions relatives aux extrémités de la verge,

n« 494 et 496

Solution du problème, analogue a celle du n<> 490; lois des vibrations dans les différons cas relatifs aux extrémités ; élévation du ton fondamental , k raison des nœuds de vibrations ,

Cas où la verge s'étend indéfiniment ; des ondes sonores dans une barre cylindrique ou prismatique; conditions pour qu'une onde sonore ne se partage pas en deux autres; comment la vitesse constante de cette propagation se conclura du ton longitudinal d'une verge élastique de la même matière que la !>■«*, n°« 497 et 498

Cas on la barre est terminée d'un côté; réflexion du son à cette extrémité; les lois de la propagation et de la réflexion du son dans un canal cylindrique rempli d'air, d'un gai quelconque, ou d'un liquide , sont les mêmes que dans une barre solide; celles des vibrations des verges élastiques conviennent aussi aux sons des faites, et des tuyaux d'orgues, sauf les modifications relatives à l'embouchure, n ° 499

§ III. Choc longitudinal des verges élastiques ,

page 313

Comment on pourra appliquer les formules du n" 496 au choc longitudinal des verges élastiques; ce phénomène consiste dans l'action, h distance insensible, des points eitréioes des deux verges; les vitesses de ces points varieront très rapidement, et seront inconnues pendant la durée du choc , n ° 500 Conditions pour que les deux verges se réparent uprès s'être rencontrées, et que le choc se termine, n"» 601 et 603 Équations communes à tous les points des deux verges , excepté les points extrêmes par lesquels elles se choquent, n » 603 Application des formules du n° 496 au choc de deux verges entièrement libres; sommation des séries périodiques qu'elles renferment; on vérifie qu'elles représentent l'état initial des deux verges, n°« 603 et 604 Les deux verges de même matière et de même diamètre se séparent dans le seul cas où elles ont ; durée de ce choc; échange

TABLE DES MATIÈRES

des vitesses primitives , eut où Tune de» deux verges est composée de plusieurs parties , dont une se sépare des autres après le choc , n" 506 Choc d'une verge dont l'extrémité est fixe , par une verge entièrement libre; réflexion de celle-ci avec une vitesse égale et contraire à la vitesse primitive , quelles que soient les longueurs des deux verges ; durée du choc , n«» 508 et 507

$ IV. Digression sur Us intégrales des équations différences partielles , page 318

l'intégrale complète d'une équation aux différenecs partielles , peut être moindre que le nombre qui marque Tordre de cette équation; il peut changer avec la variable par rapport à laquelle la série est ordonnée ; toutes les fonctions arbitraires peuvent disparaître, et se trouver remplacées par des séries infinies de constantes arbitraires ; dans ce cas singulier, l'intégrale complète est exprimée par la somme d'un nombre illimité d'intégrales particulières , n» 508

et 609

simples de ces diverses transformano 610 et 611 Les séries qui se présentent dans cet exemple , et l'intégrale de l'équation donnée , peuvent s'exprimer sous forme finie , au moyen d'une intégrale définie, no 618 Valeur d'une intégrale définie qu'on a souvent oc-

d'emplojer, n° 613

Application de ces considérations générales aux équations linéaires relatives à des problèmes de Physique et de Mécanique; leurs intégrales complètes s'expriment, généralement, par des séries d'exponentielles ou de sinus et cosinus , dont les exposans ou les arcs sont proportionnels au temps; par la manière dont elles sont obtenues , on est certain que ces expressions en séries , des inconnues d'un problème, en renferment la solution la plus générale; il y a un procédé uniforme pour déterminer dons chaque cas les coefficiens de ces séries , d'après l'état initial du système; après cette détermination , si l'on fait le temps égal à xéro dans ces séries, on obtient des séries particulières qui représentent les fonctions arbitraires relatives à cet état initial, mais seulement dans l'étendue du système, n<» 514, 616, 516

et 617

Tonte solution d'un problème dans laquelle on n'a pas vérifié , à posteriori, l'exactitude de ces dernières séries, ou démontré, à priori, la généralité de l'intégrale en série dont on a fait usage , doit être regardée comme insuffisante , no 618

§ V. Vibrations transversales d'une ter*

que, page 324

On énonce les diverses sortes de vibrations dont une verge élastique est susceptible, et entre lesquelles l'analyse a fait connaître des rapports que l'expérience a confirmés , no 510

Équation du mouvement transversal, et conditions relatives aux extrémités , n° 620

Calcul du coefficient que renferme cette équation , dans différentes hypothèses sur la section transversale de la verge , n - 631 Intégrale en série de cette équation, n» 623 Détermination des coefficiens de cette série, d'après l'état initial do la verge, par le procédé indiqué dans le n° 616 ; formules du n° 617 , relatives à l'état initial de la verge; cas oà elle doit prendre un mouvement de translation ou de ro-

no« 633 et 634 , dans le cas de la verge libre par ses deux bouts, la réalité des racines de l'équation transcendante qui sert à déterminer les coefficiens du temps sou» les sinus et cosinus contenus dans l'intégrale en série , n° 625

Condition pour que la verge exécute des vibrations isochrones; les dhTérens tons que la verge libre peut faire entendre, dépendent des racines de l'équation précédente ; toutes choses d'ailleurs égales, ils varient avec la figure de la section transversale, et leur élévation est en raison inverse du carré de la longueur; détermination des nœuds de vibration qui leur correspondent ,

ti« 536 et 637

Vibrations isochrone» d'une verge encastrée par une extrémité, et libre à l'autre bout, n° 528 Calcul du nombre de vibration* correspondant au ton fondamental et aux tons plus élevés , dans le cas de cette dernière verge élastique , et dans le cas de la verge libre aux deux extrémités,

Comparaison des nombres de vibrations transversales et longitudinales d'une même verge, n» 630

CHAPITRE IX. Équation» et propriétés générales du mouvement d'un système de corps ,

page 333

§ I". Équations générales du mouvement , ibid.

Combiuaison du principe deD'Alcmbert et du principe des vitesses virtuelles , n* 631

Elle conduit a une formule générale, d'où l'on déduira, par un procédé uniforme, toutes Inéquations différentielles du mouvement d'un système de points matériels, dont la liaison mutuelle est exprimée par des équations données; ce procédé fera aussi connaître les tensions des liens physiques , et les pressions sur des surfaces ou sur des courbes données , qui auront lieu pendant le

On indique l'usage de la méthode fondée sur la variation des constantes arbitraires pour la résolution des équations précédentes , n

Cas où l'une des équations, qui expriment la liais des points du système, est une suite d'une ou de plusieurs autres de ces équations : exemple d'un problème indéterminé, quand on fait abstraction de l'extensibilité des liens physiques, et déter-

TABLE DES MATIÈRES

xit

miné, qiland on y a égard, quelque petite qu'elle soit, n°« 634 et 035

Formule analogue a celle du n» 633 , et relative aux changemena brusques de vitesse , n° 636

Considération essentielle à laquelle il faudra avoir égard dans les usages qu'on fera de cette formule; comment on tiendra compte, dans cette formule, de l'effet du frottement pendant la duréo des changemens brusques ; ce serait une erreur d'y introduire les effets des forces moléculaires , qui y sont déjà compris implicitement, n«» 637

et 638

Équations différentielles du mouvement de translation d'un système entièrement libre, qui sont i de son centra de gravité , n° 639

du même système; elles conservent la même forme, soit que le centre du mouvement soit un point fixe, on qu'il soit le centre de gravité du système, n°» 640 et 641

Les sommes des quantités de mouvement de tous les points d'un système libre, suivant trois axes rectangulaires , et leurs momens par rapport à ates, ne varient pas dans les changemens de vitesse; équations du mouvement translation et de rotation du système ; comment ou peut les déduire des équations de ce mouvement à un instant quelconque, n°» 642

et 643

On retrouve, d'une autre manière , les formules du n« 400, relatives aux vitesses de rotation; la similitude de la composition de ces vitesses et de la composition des vitesses de translation , peut conduire h l'analogie entre la composition des momens et celle des forces , n» 644

$ H. Lois générales de* petites oscillation*,

page 342

Développemens en séries des coordonnées des points du système, et des eipressions des forces qui leur sont appliquées , n» 646

formation des équations différentielles linéaires et du second ordre , d'où dépendent les valeurs approchées des inconnues du problème, auxquelles valeurs on s'arrête toujours dans les questions de ce genre ; le nombre de ces équations, égal à celui des inconnues indépendantes entre elles, peut s'élever depuis un jusqu'à trois fois le nombre des mobiles; quand les mobiles sont des points matériels en nombre infini, les équations différentielles se changent en équations aux différences partielles , n° 646

Intégration générale do ces équationa différentielles ; conséquences qui s'en déduisent ; principe de la coexistence des petites oscillations ,

n» 647 et 648

Cas où les oscillations ont lieu dans un milieu résistant, n° 649

Exemples de la coexistence des petites oscillations; application du principe précédent au mouvement d'un point pesant sur un ellipsoïde, n» 650

Autre théorème général , distinct du précédent , et qu'on peut appeler principe de la i de* petit* mouvement; applications de ce principe, n». 661 et 662

$ III. Principe* de la conservation dm i dm centre de gravité et de la conservation de* aires, page 349

Loi générale de Yégalité de Faction à la réaction,

no 663

Principe de la conservation du mouvement du centre de gravité, fondé sur cette loi de la nature ; conséquences diverses de ce principe, n» 664

Dans le mouvement d'un système de points qui ne sont soumis qu'à leurs actions mutuelles, les momens de leurs quantités de mouvement sont con stans, par rapport à trois axes qui se coupent, soit en un point fixe , soit au centre de gravité du système, soit en un point animé d'un mouvement rectiligne et uniforme; le même théorème a encore lieu , par rapport à un point fixe , quand les mobiles sont, en outre, sollicités par des forces dirigées vers ce point, n»» 656 , 556

et 667

Détermination du moment principal de ces quantités de mouvement, et de la direction de son axe, n» 668

Dana le mouvement de rotation de la terre , ce moment principal est indépendant du refroidissement du globe, des explosions volcaniques, du souffle des vents, etc.; conséquence qui en résulte relativement à la durée du jour , n u 659

Autre énoncé des théorèmes précédons ; principe de la coneervation de* aire* , n° 660

Théorème du plan invariable, dans toute sa généralité , n» 661

Usage de ce plan et d'une droite invariable dont il est accompagné dans le système solaire, n° 662

Formules pour déterminer ce plsn à un instant quelconque , en ayant égard au mouvement de translation et au mouvement de rotation des corps célestes; les termes qui proviennent du mouvement de rotation dépendent de la constitution intérieure de ces corps , et demeureront toujours inconnus ; on fait voir qu'en négligeant la partie variable de ces termes, il n'en résultera aucune erreur que les observations puissent jamais rendre sensible , n° 563

Formules du plan invariable , rapportées au centre du soleil, n» 584

§ IV. Principe* de* force* vive* et de la moindre action, pago 367

Équation et énoncé du principe des forces vives ,

Conséquences imroédistes de ce principe, n° 666 Calcul des forces vives dues aux forces qui émanent xes . aux attractions et répulsions

n> \* a ■ ta \.i m «a * va uvtivi'v v » ix*w»*»»Bwa*a

des corps du système, et à leurs poids,

Variation des forces vives dues aux pressions contre des surfaces mobiles , et aux frottemens; a l'égard de ces forces , le théorème du n° 666 n'a plus lieu; on fait voir que les frotte mens et les résistances des milieux produisent toujours des diminutions de force vive, qui finissent par anéantir le mouvement du système, quand ces ne sont pas réparées par d'autres forces ,

u° 668 et 669

at U force vive absolue d'un système se déduit de la force vive due aux vitesses de ses différentes parties dans leur mouvement relatif du centre de gravité ; application de Télé du principe des forces vives au système solaire ; usage de cette équation pour

corps ceno 670

La proposition relative à la stabilité de l'équilibre qu'on a supposée dans le n« 347 , est maintenant

démontrée , à l'aide du principe des- forces vives, n° 671

Équation relative aux ebangemens brusques de vi« tesse, et analogue à l'équation du principe des forces vives; vérification de cette équation dans le mouvement initial d'un corps solide autour d'un point fixe , n° 672

Au moyen de cette équation , on démontre qu'il y a toujours perte de force vive dans le choc des corps dénués d'élasticité , augmentation dans les explosions qui séparent les parties des corps , et invariabilité dans le choc des corps parfaitement élastiques, u° 673

Énoncé général du principe de la moindre action ; ce principe , en cela différent des précédens , ne fait connaître aucune intégrale des équations différentielles du mouvement ; résumé des intégrales qui sont fournies par les principes de la conservation du mouvement du centre de gravité, de la conservation des aires et des force* vives, n« 674