AME = X

Lorsque cet angle l sera donné, il fera connaître la position du plan CME , et l'angle y achèvera ensuite de déterminer celle de la droite MD comprise dans ce plan. Il faudra que l'augle l soit compté , a partir de MA , dans un sens convenu , et qu'il puisse s'étendre depuis xéro jusqu'à 360» ; l'angle y ne s'étendra toujours que depuis xéro jusqu'à 180».

La projection sur le plan A MB do la diagonale du parallélépipède précédemment indiqué ( no 6) sera

le cosinus de l'angle DflB , ou égale à sin. y. Si l'on projette de nouveau cette projection sur l'axe MA , cette seconde projection se déduira de la première, en la multipliant par cos l; elle cnïncidcru, d'ailleurs , avec la projection de la diagonale du parallélépipède sur ce même axe MA , et sera , conséquemment, égale à cos «; par conséquent,

cos • = sin y cos t.

On trouvera de même

cos sin 3,1ml;

et ces deux formules serviront à transformer les équations où l'on aura fait usage des angles «. C y, en d'autres où l'on n'emploiera plus que y et /. On vérifie immédiatement qu'elles satisfont à l'équation (1).

0. Il existe une autre équation qui comprend , comme cas particulier, cet«e équation (l), et qui nons sera souvent utile.

Pour la former, soient r, y, s, les coordonnées d'un point quelconque M (fig. 2) rapportées aux trois axes rectangulaires Or, Oy, Os. Appelons r son rayon vecteur OM , et », C, y, les angles aigus ou obtus que fuit ce rayon avec les trois axes, de sorte qu'on ait , par exemple ,

Si l'on abaisse du point M une perpendiculaire MN sur l'axe Os, la droite ON sera l'ordonnée s, et dans le triangle rectangle MON, on aura

S = r cos y ;

on trouvera de même

y = r cos C , x = r cos •.

Soit M' un autre point, et désignons par x*, y*, s', VI *'» ''j >'» ici coordonnées , son rayon vecteur et les angles relatifs à cette droite; nous aurons aussi

*' = r'cos«', y» = r'coaC', a'crr'cosy'.

Appelons si la distance MM' ; on aura , comme on sait,

+ (»'-»)» + (*•—.)«; et si l'on représente par • l'angle MO M', on aura

sj. r=r« +r'» — Crr'cos.,

dans le triangle dont r, r», «, sont les trois côtés. A cause de

la première valeur de «« est la même chose que

« . = r » + r^ - 2 ( « ' + yy ' + „ < ) ; en la comparant à la second o , on en conclura rr' c.,«. = xj-» -f yy' -f«,' ;

et ti Ton substitue dont cette équation I» valeurs précédentes de x , y t s, s', y', s', il en résultera

cos «=cos * co» «'-{-cos C cos C+cos y cos y' ; (2)

ce qu'il s'agissait de trouver.

Lorsque les deux droites OM et OM' coïncident , les ongles C, y' t sont les mêmes que •, C, y, et cette formule se réduit à l'équation ( 1 ). Quand ces deux droites sont perpendiculaires l'une à l'autre, on a i = 90», et par conséquent

cos 4Cos«' + cos C cos C + cos y cos y ' = 0.

En mettant dons les valeurs de s, y, », celles de ras 4 et cos C, qu'on o trouvées dans le numéro précédent , on aura

* = r sin y cos t, y = r sin y sin t, M — reoty,

formules dans lesquelles les trois variables r, y, 1, sont les trois coordonnées polaires du point M, telles qu'elles ont été définies dans le n» 4 , et qui serviront, par conséquent, à transformer les coordonnées rectangulaires en coordonnées polaires.

10. La considération des projections dont on s'est servi dans le n» 8, sera souvent employée dans cet ouvrage; il convient donc d'exposer ici leurs premiers principes.

La projection d'une droite sur une autre droite est ln partie de celle-ci qui est comprise entre les pieds des perpendiculaires abaissées des deux extrémités de la droite projetée. Ainsi, les différences *' — x, y' — y, m' — *, des coordonnées extrêmes sont les projections de la droite MM' sur les axes des *, y, »; et d'après la première valeur de «' , la somme des carrés des projections d'une même droite sur les trois axes rectangulaires est égale au carré de celte droite. Si la droite projetée et celle sur laquelle on la projette sont dans un même plan , la projection est égale et parallèle à la base d'un triangle rectangle , dont la droite projetée est l'hypoténuse ; en sorte que si l'on désigne par / la longueur de cette droite , par x celle de sa projection, et par s l'ongle de ces deux droites, on a

x = / cos s

La projection d'une surface plane sur un autre plan , est la partie de ce plan terminée par la projection du contour de la surface projetée , c'est-àdire, par la courbe que forment les pieds des perpendiculaires abaissées de tous les points de ce contour. Or, l'équation précédente subsiste encore, si l'on y met à la place de / l'aire de la surface projetée, et nu lieu de x l'aire de sa projection; i étant alors l'inclinaison d'un plan sur l'autre, pour laquelle on peut aussi prendre l'ongle compris entre les perpendiculaires ii ces deux plans.

En effet, décomposons l'air de la surface projetée en élérocns d'une largeur infiniment petite et perpendiculaires à l'iutcrscrtion de son plan et de celui sur lequel on la projette ; la projection de

chaque élément sera rigolo à cet élément multiplié par la cosinus de leur inclinaison mutuelle ; par conséquent, cette inclinaison étant la même et égale à t pour tous les élémens , la somme de leurs projections , ou x , sera égale à leur somme , ou à l'aire totale / multipliée par cos s; ce qu'il s'agissait de prouver. On conclut de là que le carré de l'aire d'une surface plane est égal à la somme des carrés de ses projections sur trois plans rectangulaires, en prenant pour l'inclinaison sur chaque plan l'angle que fait la normale à la surface donnée avec les perpendiculaires à ce plan, et ayant égard à l'équation (l).

11. Lorsque dans une question, on considérera un système de forces parallèles , on pourra supposer que I mi des trois axes rectangulaires MA , MB, MC , (fig. l r * ), leur est aussi parallèle. Alors deux des trois angles a, C, y, les deux derniers, par exemple , seront droits pour toutes ces forces ; et l'équation (1) se réduira à

d'où l'on tire • = 0 ou * = 180°.

De cette manière, la direction de chaque force serait fixée, en disant qu'elle fait avec l'axe MA un angle nul ou un angle de 180° ; mais dans ce cas particulier, il sera plus simple de déterminer cette direction par le signe de la force, en regardant comme positives les forces qui agissent dans un sens , et comme négatives celles qui agissent dans le sens opposé.

Au reste , le cas des forces parallèles sera le seul où nous considérerons des forces positives et des forces négatives ; dans tous les autres cas , les quantités qui représenteront les grandeurs des forces , dans le calcul , seront positives , et la variation de signe ne tombera que sur les cosinus des angles que leurs directions font avec des axes fixes.

12. Ce qui précède renferme les définitions préliminaires , et des détails suffisons sur la détermination des grandeurs et des directions des forces; mais, dans cet ouvrage, j'emploierai exclusivement la méthode des infiniment petits; c'est pourquoi il est nécessaire de rappeler, dans cette introduction , les principes de l'Analyse infinitésimale , et parmi le* formules qui s'en déduisent le plus immédiatement , celles dont nous pourrons ovoir besoin par la suite.

Un infiniment petit est une grandeur moindre que tonte grandeur donnée de la même nature.

On est conduit nécessairement à l'idée des infiniment petits , lorsque l'on considère les variations successives d'une grandeur soumise à la loi de continuité. Ainsi , le temps croit par des degrés moindres qu'aucun intervalle qu'on puisse assigner, quelque petit qu'il soit. Les espaces parcourus par les diflerens points d'un corps , croissent aussi par des infiniment petits; car chaque point ne peut aller d'une position à une autre, sans traverser toutes les positions intermédiaires; et l'on ne saurait as-

INTRODUCTION

, , aussi petite que Ton dra , entre deux positions successives. Les infiniment petits ont donc une existence réelle, et ne sont pas seulement un moyen d'investigation imaginé par les géomètres.

Un infiniment petit peut être double, triple, quadruple, d'un autre: les quantités infiniment petites ont entre elles des rapports quelconques, dont la détermination est un objet essentiel de l'Analyse infinitésimale.

Si a et b sont des infiniment petits, et que le rapport de 4 à a soit aussi infiniment petit , b est ce qu'on appelle un infiniment petit du second ordre. Par exemple , la corde d'un arc de cercle étant supposée infiniment petite, le sinus verse du même arc est un infiniment petit du second ordre, puisque le rapport du sinus verse à la corde est toujours le même que celui de la corde au diamètre , et devient, par conséquent, infiniment petit en même temps que le second rapport.

De même, b étant déjà un infiniment petit du second ordre , si l'on suppose que le rapport deçà b soit infiniment petit du premier ordre, on appellera c un infiniment petit du troisième ordre; et ainsi de suite.

Il suit de là qu'un produit composé d'un nombre ■ de facteurs infiniment petits du premier ordre, devra être rangé dans la classe des infiniment petits de l'ordre n.

L'aire d'une surface infiniment petite dans toutes ses dimensions est au moins un infiniment petit du second ordre ; car elle est moindre que le carré de la droite la plus longue qu'on puisse mener d'un point à un autre de son contour, laquelle droite est infiniment petite, par bypothése. On verra de même qu'un volume dont toutes les dimensions sont infiniment petites, est au moins un infiniment petit du troisième ordre , puisqu'il est moindre que le cube de la plus longue droite menée d'un point à un autre de sa superficie.

Cela posé , le principe fondamental de l'Analyse infinitésimale consiste en ce que deux quantités finies, qui ne différent l'une de l'autre que d'un infiniment petit, doivent être regardées comme égales, puisqu'on ne saurait assigner entre elles aucune inégalité , aussi petite que l'on voudra. Il en sera de même à l'égard de deux quantités t petites du premier ordre , dont la difféest infiniment petite du second ordre , et , t, à l'égard de deux infinement petits d'un ordre quelconque, qui ne différent l'uu de l'autre que d'un infiniment petit d'un ordre supé-

goureusement égales , et leur rapport, comme égal à l'unité.

On énonce encore ces principes d'une autre manière , en disant qu'il est permis de négliger dans un calcul , sans crainte d'altérer aucunement les résultats , soit les infiniment petits ajoutés à des quantités finies, soit les quantités infiniment petites d'un ordre quelconque , ajoutées à des quantités d'un ordre inférieur.

13. U différentieUt ds d'une variable indépendante x, est l'accroissement infiniment petit qu'on attribue à cette variable; la différentielle dy d'une fonction y de x, est l'accroissement correspondant de cette fonction, réduit au même ordre de grandeur que celui de la variable indépendante, par la suppression des infiniment petits d'un ordre supé-

rieur; d'où il résulte que cette différentielle dy est toujours de la forme Xdx ; X étant une autre fonction de s. Pour quelques valeurs particulières de *, il peut arriver que le coefficient différentiel X devienne infini, ce qui rendra la différentielle Xdx indéterminée ; mais celte circonstance ne se présentera pas dans la Mécanique.

Soient/s une fonction donnée de x ,e une constante arbitraire, et F* -f c l'intégrale complète ou indifinù de j xdx. Soient eucore a et à deux constantes données. En déterminant la constante o de msniére que cette intégrale soit nulle ou commence quand * = «, et faisant ensuite* = 6, le résultat F* — Fa sera ce qu'on appelle l'intégrale défini», prise depuis x — a jusqu'à s = 6. Je la dé-

signerai par

suivant la notation très

commode que Fourrier a proposén et j'écrirai , en conséquence ,

Tb-fa=f fxdx.

Si l'on donne successivement à x une infinité de valeurs, croissantes depuis a jusqu'à b par des différences infiniment petites , et que l'on prenne ces différences égales ou inégales , pour les valeurs de ds, il estfucile défaire voir que la somme de toutes les valeurs de la différentielle fxdx sera égale à l'intégrale définie ïb — Fa.

En effet, en négligeant les infiniment petits d'un ordre supérieur au premier, on a , d'après la définition de la différentielle ,

f(x + dx)-Yx=fxdx.

Si donc on représente par fi.fi.fs, un nombre infini de quantités infiniment petites , telles que l'on ait.

ii + + h + /. = | — a ;

et que l'on prenne successivement , pour x et dx , les couples de valeurs a et 1 1 , a + 1 4 et t , , a -ft , + l t et t i , . . . b — X„et t .. il en résultera

F ( a + l, ) — Fa =fat, ,

ce qui renferme le théorème qu'il s'agissait de démontrer.

lorsque la fond ion fx deviendra infinie entre les deux limites a et b , cette démonstration n'aura plus lieu, et le théorème sera en défaut. Dans ce cas d'exception , que nous ne rencontrerons pas dans la suite, l'intégrale définie n'a plus aucun rapport arec la somme des valeurs de la différentielle , et elle peut même être négative , lorsque toutes ces valeurs sont positives, ou positivo , quand elles sont toutes négatives. Pour faire reparaître le théorème, il faut alors empêcher que fx ne devienne infinie entre * = a et « == b, en faisant passer la variable x de Tune à l'autre de ers limites, par une série de valeurs imaginaires (l).

Le théorème précédent s'étend sans difficulté ans intégrales multiples. Ainsi, par exemple, si f(s,y) est une fonction donnée de deux variables indépendantes x et y; que l'on donne successitement à ces variables des séries de valeurs croissantes par des différences infiniment petites ; et que l'on prenne en même temps pour dx , les différences entre les valeurs consécutives de x , et pour dy, celles des valeurs consécutives de y, la somme de toutes les

valeurs de/(*, y) dxdy, sera l'intégrale^/ fx, y)

dxdy, prise entre des limites convenables.

14. Lorsque la fonction fx renfermera une quantité « considérée comme une constante dans l'inté-

gration, la valeur de l'intrcgral

le/ f

dx:

. elle

i une fonction de •. Il y a des questions dans lesquelles cette intégrale n'étant pas connue sous forme finie, on aura besoin, néanmoins, de déterminer sa différentielle par rapport à a. Or, cette opération présentera deux cas différens , selon que les limites a et b seront indépendantes des », ou qu'elles en dépendront d'une manière quelconque. Dans le premier cas , il suffira de différentier fx « sous le ligne/; en sorte que I on

dfx

En effet , d'après le théorème da nur le premier membre de cette équation est le coefficient différentiel par rapport a » de la somme des valeurs de fxdxj comprises depuis x = a jusqu'à x = b; tandis que son second membre est la somme des valeurs , entre les mêmes limites , du coefficient

(i) Foyex, sur ce point, le Journal dt l'École Polytechnique, 1 8' cahier , page 3ao.

différentiel de ftdx relatif à • ; et il i oes deux sommes sont identiques.

Dans le second cas, lorsque • se change en » -f-d*, db

la liroitei devient 6 -f. — du, et pour cette raison, la dm

somme des valeurs àtfxir, ou l'intégrale C fxdx

: fxdx qui ro-

se trouve augmentée de la db

pond kx = b et oVr = — da , c'est -a -dire , de Jl. da

db

— dm ; en même temps la limite a se change en a -fdm

dm

— a*», ce qui

de fx, correspondante àx = aetdx = — d», ou

da

da

de fa. — da,; donc , a cause de la variation i

tanée des deux limites a et b , produite par celle de », l'intégrale se trouvera augmentée de la différentielle

et son coefficient différentiel par rapport à », de ce coefficient de da. Par conséquent, en l'ajoutant su second membre de l'équation précédente , on surs

pour la valeur complète du

Quand a n'entrera pas dans fx , que cette quantité sers l'une des deux limites 6 ou a, et que ces deux limites ne dépendront pas l'une de l'sutre , cette expression se réduirs à

= fi , ou

Uj* fxdx

ce qui est , d'ailleurs , évident en soi-même.

Des remarques semblables s'appliqueront sus intégrales multiples , dont les coefficiens différentiels par rapport à une quantité qu'on s d'sbord regardée comme constante, s'obtiendront aussi en differentiant sous les signes d'intégration, et en ajoutant au résultat des termes dépendansdes variations des limites , quand elles dépendront de cette quantité devenue variable.

15. Le calcul intégral fournit des règles pour déterminer exactement ou par approximation , les va-

INTRODUCTION

leurs numériques des intégrales définies, simples f*

ou multiples; en sorte qu'un problème est censé %**l*JJ*dx, nousciterons la suivante, qui sup-

dfx

pose que les fonctions fx et — ne deviennent

dx

point infinies entre les limites a et 6.

Conservons toutes les notations précédentes, et faisons de plus

résolu, lorsqu'on est parvenu à exprimer les nues par des intégrales de cette nature. On dit alors que le problème est réduit aux quadratures , parce que, d'une part, une intégrale multiple n'est autre chose qu'une intégrale simple plusieurs fois répétée, etque, d'un autre côté, une intégrale/^ fsds

peut toujours être représentée par le corré égal à l'aire d'une courbe plane , dans laquelle * et fx sont les coordonnées d'un point quelconque, et a et b les abscisses des points extrêmes.

Parmi les différentes formules dont on fait usage pour calculer les voleurs approchées de cette inté-

F(a+ /) = Fa -f Ifa + 1/2 t*fo + etc.,

f(a + 2/) = F(a + J) + //(a + *) + I/»*/ (a + ,) + etc. , F(. + 3*) = F(a + 2J) + if {m + U) + 1/2 » f (a + 21) + etc. ,

-f- =f'*, etc.

Supposons que les différences / » , * j , etc., ne sont pas infiniment petites, mais seulement très petites ; prenons-les égales , et représentons par » leur grondeur commune. Nous aurons, d'après le Taylor,

F(a + »i) = F(a + is>- l) + tf

Donc, en supposant nt= b — a, et faisant la somme de ces équations , on aura

Fi — Fa = /X/(a+#) + 1/2/. X/» („ 4. tf)

+l/*t*Zf"(a+it)+ttc.;

s étant un nombre entier ou xéro , et les caractéristiques 1 indiquant des sommes qui s'étendent aux n valeurs de s' comprises depuis s sas o jusqu'à s' = » — 1. En prenant successivement fx et J'x , f x x et f'** etc., ou lien de fx et fx, on aura de même

fb -fa = llf («+ir)+l/2 h */« ( a +a)+ctc, f'b-fa=lZf<>( a + it) + etc., etc.

Cela posé, si l'on veut négliger les puissances de l supérieures au carré dans la valeur de fb — Fo, on pourra prendre, d'après les dernières équations,

1/2* ïfia+it)=\/-ii{fb-fa)-\;At* (/'*-/<»), l/6i»ï/"(« + tf)=l/8*f/4 -fa),

pour les valeurs de ses deux derniers termes. Sa

donc

Fi - Fo = 12/ (a + il) + Xjil {fi -f a)

- 1/12 I* (fb - fa), ou , ce qui est la même chose ,

• • +/(a+»^)+l/2yï]-V'2 * (/*-/'«)■

Cette formule sera d'autant plus exacte, que la

différence t, ou - (i — a), sera plus petite , et que H

les valeurs de fx varieront moins rapidement entre 1rs limites a et b. Le plus

(a + - 15 + etc.

ger le terme dépendant de h ; la formule ne renfer mera alors que des valeurs de fx qui pourront être données en nombres, sans que la forme de cette fonction soit connue.

16. Dans la théorie des infiniment petits , on considère les courbes comme des polygones d'un nombre infini de côtés infiniment petits. Cela suppose que la corde d'un arc infiniment petit est égale à cet orc, ou que le rapport de leurs longueurs peut être pris pour l'unité ; c'est effectivement ce que l'on peut démontrer de la manière suivante.

Soit Mram'M' (fig. 3) un arc de courbe infiniment petit; tirons les cordes Mm, mm', w'M', et prolongeons la troisième , jusqu'à ce qu'elle rencontre le prolongement HT de la première, en un point K. L'arc mas' est plus grand que la corde mm', et moindre que la ligne brisée mKm'; il suffira donc de prouver que cette ligne et cette corde, infiniment petites , ne diffèrent que d'un infiniment petit d'un ordre supérieur, et que l'on peut prendre le rapport de l'une n l'autre pour l'unité : cela sera vrai , d fortiori, à Pégard de l'arc mm' et de sa corde.

Or, s'il n'y a dans l'étendue de l'arc Mntm'M' aucun point singulier où la direction de la courbe change brusquement, les cordes qui vont d'un de ses points à un autre comprendront des angles infiniment peu différens de deux droits. L'angle TKM', supplément de MKM', sera donc infiniment petit; je le désignerai par l; et en faisant, en outre,

nsK=:o, ml = b, mm' = c,

, dans le triangle mKm', l'équation ci =a« +©• -|-2oocosJ, que l'on peut changer en ceHe-ci •

e» = (a + b)* — 4ab sin» 1/2/,

on

en observant que

co» X = 1 — 2 sin» 1/3 *.

>"ou$ aurons donc

pour le carré du rapport de la corde mm' à la ligne brisée mkm'. On a d'ailleurs

ce qui prouve que le coefficient de sin« 1/2 /ne peut pas devenir infini, puisqu'il est toujours moindre que l'unité. En négligeant l'infiniment petit du second ordre , on aura donc l'unité pour le rapport de c à a -f- 4; ce qu'il s'agissait de démontrer.

17. Une courbe étant considérée comme un polygone infinitésimal , les tangentes seront les proiongemens de ses côtés infiniment petits; au point H, où le côté est Mm , la tagente sera la droite indéfinie T'MmT.

Si l'on désigne par x, y, %, les trois coordonnées rectangulaires du point M, celles du point m seront r -f ds , y + dy t * + da. appelant ds l'élément delà courbe, c'est-à-dire, son côté Mm, les différentielles dx , dy , dx , seront ses projections sur les axes des x , y, s ; par conséquent, si l'on représente par», C, y, les trois angles que fait la direction de la droite MT avec des parallèles à ces aies, menées par le point M, on aura

dx dy dz

cos.= ~, cos€= — , cos> = — , (1)

et en même temps

d*> + dyy + d*' = <k« .

En prenant , sur la courbe que l'on considère , un point fixe C , et supposant que* soit l'arc CM compté de cette origine, cet arc pourra être la variable indépendante dont r , y, », seront des fonctions données par les équations de la courbe. Dans ce cas , ds sera positif; mais dx, dy, da, et par suite cos a, cos C, cos y, pourront être positifs ou négatifs. Les angles*, t, y, se rapporteront toujours au prolongement mT du côté Mm, ou à la partie MmT de la tangente ; les angles relatifs à l'autre partie MT' seront les supplémens de «, C, y, ( no 7 ).

La direction de la tangente au point M étant déterminée par les équations (1) , on en peut conclure l'équation du plan normal en ce même point; mais on obtient directement cette équation par la considération suivante.

Soit A le rayon d'une sphère qui a son centre au point M ; son équation sera

**, y', désignant les coordonnées courantes.

L'équation de la sphère du même rayon, qui a sou centre au point m , se déduira de celle-là , en y mettant x dx, y -f dy , s -\- da, k la place de *> y, * j en retrauchant ces équations l'une do l'autre, et négligeant les infiniment petits du second ordre, il vient

{s ' - s) dx + (y ' y) dy + [a ' - a) da = 0 ,

équation qui appartiendra à l'intersection des deux surfaces sphériques. Comme elle est l'équation d'un plan dont x', y', a', sont les coordonnées courantes, ce sera celle du plan de cette courbe , et, par conséquent , l'équation demandée <lu plan normal , puisque les deux sphères se coupent suivant un cercle perpendiculaire à la droite TT' qui passe par leurs centres H et m.

En la divisant par ds, et ayant égard aux formules (1) , cette équation devient

(«*—*) cos » + {y '—y) cos C +( a'-a)coi y = 0. Si donc

représente l'équation d'un plan mené par le point dont les coordonnées sont x, y, a, et perpendiculaire à la droite dont la direction est déterminée par les angles «, C, y , il faudra qu'elle s'accorde avec la précédente ; ce qui exigera qu'on ait

a = 4 cos a, 4 = 4 cos C, c = Acosy,

4 étant un facteur indéterminé. En vertu de l'équation (1) du n° 6, on en conclura d'ailleurs

ce qui fait connaître la valeur de 4, abstraction faite du signe. On aura ensuite

cos m - Jp cos C es i., cos y = -^-; (2)

ce qui coïncide avec les formules connues d'après lesquelles on détermine la direction de la perpendiculaire à un plan donné. Le signe de h reste indéterminé, parce que les angles a, C, y } peuvent se rapporter à l'une ou à l'autre des parties de cette droite qui sont situées des deux côtés du plan.

18. On appelle angle de contingence l'angle infiniment petit compris entre deux tangentes consécutives. Ainsi Mm et mm' (fig. 4) , étant deux côtés consécutifs de la courbe, cet angle, au point M , est le supplément de Mmm', ou l'angle Tra*, sous lequel la tangente MmT est coupée par la tangente suivante mm- 1. Je le représenterai par X, en supposant que les angles a, C, y, se rapportent toujours à la direction de MT, et désignant par •', C, y', ce qu'ils deviennent relativement à la direction de vit, on aura, en vertu de l'équation (2) du n° 9,

sin» *=1 — (cos • cos »'+cos C cos C'-fcos ycos y')*.

le théorème de Taylor, ou aura aussi • 1 = cos « -J- d. cos * + 1/2 d» . cos « 4. etc., C ' = cos C + d. cos C + 1/2 d» . cos C -j- etc., y ' = cos y + d. cos y + 1/2 d» . cos y + etc.

Or, si Ion substitue ce» valeurs dans celles de •in. I, et qu'on ait égard à l'équation

cos» « + cos» C -f cos» y — I,

INTRODUCTION. n et à sa différentielle

cos y d. cos» 4-cos C d. cos C -f cos j, d. cos > = 0,

on voit que les quantités finies et les petit» du premier ordre se détruisent ; en sorte qu'en négligeant les infiniment petits des ordre»

ain» t = — (cos « d» . cos « 4. co» C d» . cos C + cos yd* . cos y).

En différentiant l'équation précédeutc, on e, d'ailleurs ,

co» « d». co» • -J- cos C d». cos C 4. cos y d» . cos y + (d. cos •)» + (d. cos C)» + (d. cos y)*=0 ;

ce qui change la valeur de sin» J en celle-ci :

•in» * = (d. cos •)» + (d. cos C]» + (d. cos y)» ,

laquelle sera aussi la valeur de t* , à cuuse que l'arc infiniment petit / est égal à son sinus.

Le» différentielles de co» *, co» C, cos y, te déduiront des formules (1) du numéro précédent. En ne spécifiant pas la variable indépendante, on aura

ds* d> s — dxdsd* t

d. COS a = . ;

et comme on a

d$> =ds> -f dy» + d»» , d»d» s =dxd» * + dyd» y + d*d» s, il en résultera

on aura de

dx d«

dx du

d - co» y (d>d» *- dad» + ~ (dyd» z — dzd* y);

or, en faisant la somme des carrés de ces trois valeurs, on trouve, après quelques réductions, que l'expression de «in» loudel», peut se mettre sous la formo

* = «jij- [ (**»* y - dyd» *)» + (d*d» * - d-rd» •)'

+ (dyd» * - d»d» y). ].

en représentant par F celle de mO , U projection de f sur Uni sera 1/2 d»; en sorte que l'on aura

l/2d» = f cosMmO;

et puisque cet angle MmO est la moitié du supplément de t ou égal à 1/2*- 1/2 1, il en résultera

l/2d#= f ,inl/2*= l/ 2f# ,

en prenant Tare XfU à la place deion sinus.

Cela étant, si le rayon de courbure f était couuu d'une autre manière, on aurait

pour la valeur de l'angle de contingence ; et réci . proquement, d'après la valeur précédente de /* , celle f sera

Le cereU osculaitur est celui qui a deui côté» consécutifs communs avec la courbe. Au point M, ce cercle est donc celui qui passe par les troi» point» M, m, m', dont le centre se trouve à l'intersection 0 des deux perpendiculaires élevées sur les milieux de Im et mm' dans le plan de ces deux élémens consécutifs, et qui a pour rayon la droite mû. Si ces deux élémens sont supposés égaux, cette droite divisera l'angle M mm' en deux parties égales : nous ferons cette hypothèse sans d'altérer la valeur de mO; car il est aisé

des deux côté»

num<

de voir que le rapport

infiniment petits Mm et «u»' n'influe que d'une quantité infiniment petite sur la grandeur de ce ~1 qui est, par conséquent, la même, soit qu'on ; ce» deux côté» consécutifs égaux, ou qu'ils

des côté» M», et mm' étant d», et

[ (dxd» y — dyd'*]. + (d»d»> — d*d» «)» + {dyd* • — d*d» y)» | :f>

la

19. Pour achever de connaître U nature intime de la courbe au point quelconque M, il faut encore déterminer soa plan osculateur , c'est-à-dire le plan des deux côtés consécutifs Mm et mm'.

Ce plan passant par le point 1 , on pourra représenter son équation par

s 1 , y*, a', étant les coordonnées courantes. A cause qu'il doit aussi passer par les points m et m', les différentielles première et seconde de celte équation, savoir:

Ai*' -J- àdy' -|- Cdz' = 0 , Ad» <z> + Bd. y' + Cd. z' = 0 ,

devront être satisfaites comme l'équation même , en y faisant x' — x, y'— y, *'=»; en sorte que l'on

Ad* -i- Ady 4. Cda = 0 , Ad«*-f Bd« y + Cd« z = 0.

Les valeurs de A, B, C, qui remplissent ces deux conditions sont, comme il est aise de le vérifier,

C = D ( dxd* y — dyd" jr ), B = D ( dsd* s — dxd* * ), A = D ( dyd* m — d*d> y );

D étant un fauteur indéterminé. En les substituant dans l'équation du plan osculateur, et supprimant ce facteur commun à tous ses termes, elle devient

(*'*) (d*d*y-dyd*x) + fy-y) (dzd*x-dxd*z) + (*' — *) (dyd.a - d*d«y) = 0.

Si l'on appelle a, r, les angles que fait la i au plan osculateur, avec des parallèles aux

(*' - m) {dxd* y - dyd» x) = (s' (y- -y) (dyd.* -dxd. y) = (a'

axes des *, y, ; menées par le point I , on i d'après les équations (2) dun» 17 ,

co.* = l(dyd.a ds*y),

= -{d*d>x- dxd.,), > (3)

cos t = — (dxd* y — dyd» x) ,

en désignant par h* la somme des carrés des trois numérateurs.

On déterminera aussi l'angle infiniment petit compris entre deux normales consécutives, et qui sera l'angle de deux plans oscuiateurs consécutifs, comme on a déterminé tout à l'heure l'angle do deux tangentes. En le désignant par • , on aura , par un calcul semblable à celui du numéro pré-

i> = (d. cos a)» + (d. cos m) 1 + cos »)»

20. Le centre de courbure 0 se trouve à la fois sur le plan osculateur et sur l'intersection des deux plans normaux consécutifs; ce qui fournit le moyen de déterminer ses coordonnées d'après les équations de ces trois plans, qui sont maintenant connues.

L'équation du plan normal en H étant ( n° 17) (*•- x)dx + (y'-y) dy + («'-«) ds=0,

celle du plan consécutif s'en déduira en y mettant * dx, y -f- dy, s + ds, au lieu de x, y, z; par conséquent , la différentielle de l'équation du premier de ces deux plans , prise par rapport à x, y, z, savoir :

appartiendra à leur intersection.

On tire de ces deux équations

-,)(dyd.s-.dsd.y)-*.dy, - s) (dxd. s - dad. x)- ds* dx ;

et au moyen de l'équation du plan

ur, on

s«-* = 5 î r [dy(dyd's-dsd.y)

— dx [did*x — dxd*»)] , en désignant , pour abréger , par p la même exprès-

dans le n° 18. On aura de

y , -y = -£^ [dx d'y - dyd'x)

-dz(dyd*z-d*d»y)),

*'-* = £■ [dz(dzd>x-dx**)

-dy(dxd.y-dyd. J r)]j ce qui fait connaître les trois coordonnées y', s' du centre de courbure 0, et, par conséquent, le sens de la courbure dont le rayon

Eu ajoutant y' — y, s — %, et

de ces valeurs de x' — x, , on a

d'où il résulte que la quantité f est la distance du point 0 au point M , ou le rayon de courbure MO , comme on le savait déjà.

21. Les formules des cinq numéros précédens renferment tout ce qui est relatif à la direction et à la courbure d'une ligne quelconque, plane ou à double courbure. Relativement à une surface quelconque , on a aussi à considérer la courbure et la direction de son plan tangent ; quant à sa courbure, je renverrai au Mémoire que j'ai inséré sur ce sujet dans le 21' rallier du Journal de t École Polytechnique , et je ne m'occuperai ici que de ce qui concerne le plan tangent et la normale.

En un point I , dont les coordonnées sont x, y,

INTRODUCTION

peut être

y*, z', étant le* coordonnées courantes. Ce plan devra aussi passer par tout autre point H' de la eurface, infiniment voisin de M ; il faudra donc qu'on satisfasse à cette équation , au moyen de

X ' = t -f d r J y ; y -|~ d,j , z ' = ; -f ( /r . 0 U à sa

différentielle relative i jp', y', s', en y mettant *, y, s, a la place de ces variables. Par conséquent , on aura

Adr + ldj + Cd, = 0.

L'équation de la surface donnera

ds =pdx + ? dy;

p et g désignant des fonctions connues de s, y, a. L'équation précédente devient donc

(A + pC) <fc+(B + oC) dy = 0;

et comme elle doit subsister pour toutes les directions de la droite MM', c'est-à-dire, pour tous les rapports qu'on peut établir entre dx et dy, il faudra égaler séparément à îéro les coefliciens de ces différentielles ; d'où il résultera

A+pC = 0, B + oC = 0.

Je tire de là les valeurs de A et B, je les substitue dans l'équation du plan tangent, et je supprime le C; il vient

Si a, b, e, sont les angles que fait la normale au point M, ovec les prolongcmcns des coordonnées x, y, %, on aura d'après les équations (2) du n« 17,

ces b =

kl + p» + r '

Le radical sera positif ou négatif dans ces trois formules , selon que la partie de la normale qu'on voudra considérer, fera un ongle e aigu ou obtus avec la droite menée parle point H, suivant la direction des i positives

En appelant « l'élément de la surface dont la projection sur le plan des x et y est drdy, on oura

drdy es ± m cos c ,

selon que c sera aigu ou obtus ; car cet élément infiniment petit en tout sens, est compris dans le plan tangent dont l'inclinaison sur le plan des x et y est l'angle e ou son supplément ; et le du n» 10 convient également à la pro-

d'une surface plane infiniment petite. D'après cela on aura

- = dxdy l/l +p>+ «• ,

en regardant toujours le radical comme une quantité positive.

L une fonction donnée de x, y, s; reprépar

l'équation de la surface que l'on considère ; en la différenliant successivement par rapport a j: et à y,

dL

dl

dl

Je tire de là les valeurs de p et g, et je les substitue dans l'équation du plan tangent qui prend la forme

En même temps , les formules (4) deviennent

dl dl dl

cosa = V— , cos6=V~,cosc = Y— , (6)

En faisant, pour abréger,

22. Je placerai ici une remarque qui sera utile pour vérifier ou déduire les unes des autres les formules analogues qui répondent à différens axes.

Supposons que dans une question tout soit semblable à l'égard des trois aies des coordonnées x, y, s. Si l'on a une équation 1 = 0, relative à l'axe des x, il en existera une semblable Tas 0 , qui répondra h Taxe des y, et une troisième Z = 0, relative à l'axe des s ; et ces deux autres équations Y = 0 et Z = 0 , se déduiront de X = », par de simples changemens de lettres. Or, voici comment ces permutations devront s'effectuer.

On mettra dans X toutes les quantités relatives à Tuxe des x , à la place des quantités analogues qui répondent à l'axe des y, puis celles-ci à la place de celles qui répondent à l'axe des s , et enfin , ces dernières quantités à la place des premières , qui répondaient à l'axe des t. Par cette permutation tournante, on déduira Z de X; par une seconde permutation de la même nature, effectuée sur Z, on obtiendra T; et par une troisième permutation tournante, effectuée sur Y, on retrouverait X.

S'il s'agit , par exemple , des équations (3) du iv 19, dont la première répond h l'axe des x , la seconde à l'axe des y, et la troisième à l'axe des s, j'écrirai sur une même ligne, mais en deux parties , les coordonnées x, y, s, et les angles qui leur correspondent respectivement ; puis , sur une seconde ligne, je disposerai ces six quantités,

aussi en deux parties , et dans un ordre différent , de sorte qu'on ait

Cela fait, je remplacerai dans la première équation (3) , chacune des quantités de la ligne supérieure par la quantité correspondante de la ligne inférieure; par celte permutation, h ne changera pas, et l'on obtiendra la troisième équation (3). Je mettrai de nouveau, dans celle-ci, les quantités de la ligne inférieure à la place de celles qui leur correspondent dans la ligne supérieure; ce qui donnera la seconde équation (3) ; et en opérant de même sur cette équation , on retrouvera la première équation (3), d'où l'on est parti.

Chacune de ces opérations revient à un changement d'aies des coordonnées dans lequel on fait d'abord tourner les axes des a et des y dans leur plan , de manière que l'axe des s positives vienne tomber sur l'axe des y positives , puis celui-ci sur Taxe des m négatives ; et où Ton fait tourner ensuite cet axe des y positives, ainsi déplacé, et l'axe des m positives, de manière que le premier vienne tomber sur l'axe des s positives ; puis celuici sur l'axe primitif des x positives; en sorte que. finalement, chaque axe des coordonnées positives ait pris la place d'un autre axe des coordonnées positives. C'est pour cela que les équations relatives aux trois axes des coordonnées se déduisent l'une de l'autre par de simples permutations de lettres, et sans aucun changement de signe ; ce qui n'aurait pas lieu si l'on ne permutait pas simultanément les trois coordonnées et les quantités qui s'y rapportent de la manière qu'on vient d'indiquer.

23. Voici encore une observation générale , par laquelle je terminerai cette introduction.

Les équations que nous aurons à considérer renfermeront des nombres abstraits, tels que le nombre * , les logarithmes, les lignes trigonométriques, etc., elles contiendront, en outre , d'autres quantités de diverses natures, qui y seront aussi représentées par des nombres exprimant leurs rapports à des unités choisies arbitrairement, pourvu que chaque unité soit la même pour toutes les quantités d'une même espèce. Or , en changeant la grandeur d'uno ou do plusieurs unités, les nombres qui expriment les quantités correspondantes , varieront en raison inverse de cette grandeur; et, malgré ce changement tout-à-fait arbitraire , les équations qui les renferment devront encore subsister. Il faudra, pour cela, que leur forme remplisse certaines conditions , faciles à vérifier dans chaque cas particulier , et qu'on appelle, dans l'acception la plus étendue, les conditions de VhomoyèrièiU des quantités. Toute équation qui n'y satisfera pas sera, par cela seul, inexacte, et devra être rejetée.

Ainsi , co indiquant par F une fonction donnée , supposons qu'on ait

* Cf»/V« 1 m > *V- '» = °; ( fl )

f,f,-. désignant des forces, /, t,... des lignes,... m, m',... des masses , t, t',... des temps. Si l'on représente par », »', «", ri", des nombres abstraits, et que l'on diminue à la fois l'unité de force dans le rapport de un à », l'unité linéaire dans le rapport de un à l'unité de masse dans le rapport de un à n" , l'unité de temps dans le rapport de un à ri", les nombres f,f I, l m, m',... t, t deviendront nf, nf,... n'I, rit,... ri' m,ri' m',... ri" t,ri v ctl'équtttion (a) devra encore avoir lieu , c'est-à-dire , qu'on devra encore avoir

H«f, "A« *'h *'t, ~n"m, n"*',... ri"t, ri"f t ..)=0,

quels que soient », »', n", ri". Si l'équation (a) renfermait des surfaces », «',... et des volumes r, e',... leurs dimensions devraient être rapportées à la même unité que les lignes/, f,..., et ces quantités s, s'... t, v',... deviendraient conséquentment «'• s', »'• a*,... »' J v, n 15 r*,... par le changement de cette unité.

L'équation du n» 18, qui donne la valeur de f, satisfait évidemment à cette condition ; car elle ne renferme que des lignes finies ou infiniment petites f, ds, dx, dy, dt, d* X, d* y, d> s; et quand on change l'unité linéaire et qu'on multiplie, comme on vient de le dire , chacune de ces lignes par un même nombre ri, ce nombre disparait et l'équation n'est pas changée. Celle du même numéro , d'où dépend la valeur de i> . satisfait également ù la condition de l'homogénéité, en observant que h est un nombre abstrait qui ne change pas, non plus que cette valeur, avec la grandeur de l'unité linéaire.

Il sera impossible que l'équation (a) ne renferma qu'une seule quantité d'une même espèce; lorsqu'elle en contiendra deux, par exemple deux forces / et f, et qu'on la résoudra par rapport à l'une d'elles , ce qui donnera

il faudra , pour l'homogénéité des quantités , que/ soit facteur à tous les termes de la nouvelle fonction F, ou , autrement dit, il faudra qu'on ait

N étant un facteur qui ne contiendra aucune quantité de la nature de / et /' et ne variera plus avec l'unité de force.

Quelquefois le principe de l'homogénéité des quantités paraîtra n'avoir pas lieu, parce qu'on aura pris pour unité de force l'une des forces que l'on considère dans la question , ou bien pour unité linéaire la distance de deux des points matériels dont on s'occupe, ou bien pour unité déniasse

INTRODUCTION

celle de l'an de* corps du problème, etc. Hais alors, si l'on change arbitrairement ces unités, et que la force, la ligne, la masse, le temps, qu'on OTait d'abord pris pour unités , soient maintenant exprimés par ♦ , a, /*, », les autres quantités de ces différentes natures qui entrent dans l'équa-

il faudra donc qu'on oit (f f l H m m' t f V

équation qu'on pourra écrire ainsi

F " » (*i Pf" *i 'i** f ... h, •. I, <, <',...) = 0 ,

et qui detra maintenant satisfaire à la condition de l'homogénéité : F, indique ici une fonction qui se déduira , dans chaque cas , de la fonction donnée F.