AVERTISSEMENT

Cet ouvrage pouvant servir à l'enseignement, j'ai dû entrer souvent dans des détails minutieux, et suivre, pour l'exposition des matières, l'ordre le plus propre à en faciliter l'intelligence. Là marche que j'ai adoptée est celle que l'on suit maintenant dans les cours de Mécanique de l'École Polytechnique. On s'en formera une idée précise, en parcourant la table analytique des matières à la fin de ce volume. Je me suis aussi attaché à multiplier les exemples nécessaires pour éclaircir les théories générales; ceux que j'ai choisis ont été pris, surtout, dans l'Astronomie et la Physique, et quelques-uns dans l'Artillerie.

Sa destination principale est de servir d'introduction à un Traité de Physique mathématique, dont la Nouvelle théorie de l'Action capillaire, que j'ai publiée il y a un an , est déjà une partie; les autres parties se composeront des différens Mémoires que j'ai écrits, soit sur l'équilibre et le mouvement des corps élastiques et des fluides, soit sur les fluides impondérables , et que je me propose de réunir et de rendre aussi complets qu'il me sera donné de le faire.

On trouvera, à la fin de l'ouvrage, une addition relative à l'usage du principe des forces vives dans le calcul des machines en mouvement.

TRAITE

INTRODUCTION

1. La matière est tout ce qui peut affecter oot l'une manière quelconque.

Les corps îont des portions de matière limitées en tons sens , et qui ont , par conséquent , une forme et un volume déterminés. On apclle motte d'un corps, la quantité de matière dont il est composé .

1 In point matériel eut un corps infiniment petit dans toutes ses dimensions ; en sorte que la longueur de toute ligne comprise dans son intérieur , est infiniment petite, c'est-à-dire , moindre que toute longueur qu'on puisse assigner. On peut regarder un corps de dimensions finies, comme un assemblage d'une infinité de points matériels, et sa masse comme la somme de toutes leurs masses infiniment petites.

2. Un corps est en mouvement, lorsque ce corps ou ses parties occupent successivement différons lieux dans l'espace. Hais l'espace étant infini et partout identique, nous ne pouvons juger de l'état de mouvement ou de repos d'un corps , qu'en le comparant à d'autres corps ou k nous-mêmes ; et , pour cette raison, tous les mouvemens que nous observons sont nécessairement des mouvemens

Tous les corps sont mobitet; mais la matière ne se meut jamais spontanément; car il n'y aurait pas de raison pour qu'un point matériel se dirigeât plutôt d'un côté que de l'autre; et, en effet, si nous considérons un corps à l'instant où il passe de l'état de repos à l'état de mouvement , nous reconnaissons toujours que ce changement est du a l'action d'une cause étrangère ou sans laquelle nous concevons que ce corps pourrait d'ailleurs

On donne, en général, le nom de force k la cause quelconque qui met un corps en mouvement , ou qui tend à le mouvoir, lorsque son effet

3. Lorsque plusieurs forces sont appliquées a la fois k un même corps, elles se modifient réciproquement, en vertu de la liaison qui existe entre ses parties, et qui les empêche de prendre le mouvement que tend k imprimer k chacune d'elles, la force k laquelle elle est soumise. Il peut même arriver que ces forces se détruisent complètement, de sorte que le corps ne prenne aucun mouvement : on appelle équilibre cet état particulier d'un mobite qui reste en repos quoiqu'il soit sollicité par plusieurs forces, ou autrement , on dit que ses forces se font équilibre.

La Mécanique est la science qui traite de l'équilibre et du mouvement des corps. La partie dont le but est , en général , de découvrir les conditions de l'équilibre, se nomme Statique. On appelle Dynamique l'autre partie, qui a pour objet de déterminer le mouvement que prend un mobile, quand les forces qui lui sont appliquées ne te font pas équilibre.

Les géomètres étant parvenus , comme on le verra dans la suite , à réduire toutes les questions de mouvement a de simples problèmes d'équilibre, il serait naturel d'exposer d'abord la Statique entière et ensuite la Dynamique; mais, pour faciliter l'intelligence des matières , il a paru préférable, dans l'enseignement, de s'occuper de ta partie la plus simple de la Dynamique , avant de considérer les questions générales de l'équilibre. C'est cet ordre que je suivrai dans cet ouvrage.

4. Il y aura trois choses à considérer dans une force agissant sur un point matériel : la position de ce point , l'intensité de la force et sa direction , c'est-à-dire, l'espace rectiligue qu'elle tend à faire parcourir à son point d'application. Toutefois , on ne doit pas confondre un point matériel avec ce qu'on appelle un point en Géométrie, où ce mot désigne l'extrémité d'une ligne, ou l'inter-

de deux lignée qui se coupent;

TRAITE DE MECAÎHQIB.

que parcourt un point matériel n'est pas non plus une ligne privée de deux dimensions; mois ce corps étant infiniment petit en tous sens , et la largeur et l'épaisseur de l'espace que la force tend à lui faire décrire, étant aussi infiniment petites, on déterminera sa position et la dircclic» de cette force, de la même manière q«e l'on détermine la position d'un point et la direction d'une droite en Géométrie.

Ainsi, d'abord, la position dans l'espace, du point d'application d'une force, se déterminera , en général, an moyen de ses trois coordonnées parallèles aux intersections de trois plans rectangulaires; ce qui, comme on sait, ne laissera aucune indécision, quand on aura égard , en même temps, au signe et à la grandeur de chaque coordonnée. Quelquefois aussi , nous emploieront les coordonnées polaires , savoir : le rayon vecteur du point donné, ou sa distance à leur origine, l'angle que fait ce rayon avec une droite fixe menée par cette origine, et l'angle compris entre le plan de ces deux droites et un plan fixe passant par la seconde.

6. Les forces ne peuvent se mesurer qu'en preuant pour unité une force convenue, et en exprimant par des nombres les rapports des autres forces à cette nnité ; ce qui exige que l'on définisse, d'une manière précise, ce que l'on doit entendre par une force égale à une autre, et par une force double, triple, quadruple,... d'une autre, indépendamment de la nature particulière de ces diverses causes de mouvement.

Deux force* sont è S aU$ lorsqu'étant appliquées on sens contraire l'une de l'autre , à un même point matériel ou à deux pointa liés par une droite qui ne peut changer de longueur, elles se font équilibre.

Si , oprès avoir reconnu que deux forces sont égales, on les applique dans la même direction à un même point, on aura une force doubla ; si l'on réunit ainsi trois forces égales, on aura une force triple; si l'on en réunit quatre, on aura une force quadruyUi et ainsi de suite.

Lors donc que nous dirons qu'une force, appliquée à un point matériel , est un certain multiple d'une autre force, il faudra entendre que la première peut être regardéo comme formée d'un certain nombre de forces reconnues égales k la seconde, et agissant dans une même direction. C'est de cette manière que les forces deviennent, quelle que soit leur nature particulière, des quantités mesurables que l'on peut exprimer par des nombres, comme toutes les antres sortes de quantités, en los rapportant à une unité de leur espèce. On peut aussi représenter leurs intensités par des lignes proportionnelles à ces nombres, que l'on porte sur leurs directions, à partir du point où elles sont appliquées ; ce qui a l'avantage de simplifier l'énoncé des théorèmes.

6. Les points d'application des forces et leurs intensités étant ainsi déterminés, il ne nous reste

plus qu'à nous occuper de leurs directions.

Soit M (fig. I"), le point d'application d'une force; représentons sa direction par la droite MD, de manière que cette force tende à foire avancer le point M , de M vers D; par le point I menons trois axes rectangulaires M A , MB , MC , qui seront , en général, parallèles aux aies des coordonnées, et dirigés dans le sens des coordonnées positives; désignons par * , C, y , les angles aigus ou obtus que la direction MD fait avec ces axes, de sorte qu'on ait

AMD — a, BMD as C , CMD — y;

Je dis que celte direction sera complètement déterminée quand ces trois angles seront donnés.

En effet, en ayant seulement égard aux deux angle» * et C, il faudra que la ligne MD se trouve a la fois sur deux cônes droits, dont le sommet commun est au point M , et qui ont pour axes les droites MA et MB. Il faudra donc que » et C soient tels, que ces deux cônes puissent se couper; ce qui aura lieu alors suivant deux arrêtes situées dans un même plan perpendiculaire au plan AÎIB , et qui feront, avec ï'oxeMC , deux angles supplémens l'un de l'autre. La droite MD pourra done encore avoir deux positions différentes ;mais l'angle y étant aussi donné, on saura s'il est aigu ou obtus , et l'on pourra choisir entre ces deux positions celle qui convient à la direction de la force.

Cette construction montre, en outre, que les angles a, C, y, ne peuvent pas être pris tous les trois au hasard. Il existe effectivement entre les cosinus des angles qu'une même droite MD fait avec trois axes rectangulaires , une équation

cos* • -f- cos* C cos» y = l , (1)

que l'on démontre en prenant sur la droite MD , à partir du point M, une ligne égale à l'unité, et formant un parallélépipède rectangle, dont cette ligne soit la diagonale , et qui ait ses trois cotés odjacens sur les trois axes HA, MB , MC. Ces trois cotés seront les cosinus des ungles • , C, y\ et la somme de leurs carrés devant être égale au carré de la diagonale , d'après un théorème connu, il en résultera l'équation qu'on vient d'écrire.

7. On adoptera , duns ce traite, la division de la circonférence en 300° , du degré en 60 minutes et de la minute en GO secondes. La lettre «■ sera constamment employée à représenter la demi-circonférence, dont le rayon est é^'al ù l'unité; de sorte que l'on aura

Le quart de la circonférence répond à l'an ;lc droit ou à l'angle de 324000"; il s'ensuit que la longueur de l'arc correspondant ù uu an^le d'un nombre quelconque n de secondes , sera le quatrième terme d'une proportion, dont les trois

INTRODUCTION

premiers seront 1/2 * , n et 324000". En désignant cette longueur par «, il en résultera

* ~~ 206264,8... * Lo logarithme ordinaire de ce diviseur constant est 5,3144241.

Dans les calculs numériques, ce sont les arcs ainsi calculés qu'on devra employer à la place des angles qui ne seront pas compris sous les signes trigonométriques eoi , tany.

Pour qu'on puisse, au moyen des angles », C, y, représenter la direction d'une force dans toutes les positions possibles autour de son point d'application , il faudra et il suffira qu'ils s'étendent depuis séro jusqu'à 180» inclusivement. Si, par exemple , l'axe MC est au-dessus du plan de deux autres axes MA et MB, l'angle y devra être plus petit on plus grand que 80" , selon que la droite MO sera située au-dessus ou au-dessous de ce plan ; il sera xéro quand la direction MO coïncidera avec MC, et égal à 180- quand MD coïncidera avec le prolongement MC de MC. Les cosinus de «, C, n,, pourront donc être positifs ou négatifs : mais leurs •inus seront toujours positifs, puisque ces angles ne dépasseront jamais 180°.

En général, si nous considérons le prolongement MD' de la droite quelconque MD, il est évident que les angles qu'il fait avec les trois axes sont supplémens de ■ , C , y. J i faisant donc

AMD' = .', BMD' = C, CMD' = > ',

cos«.'=cos«, cos C'=— cos C, cos >'=-cos y,

d'où il suit que lesdirections de deux forces qui agissent en sens contraire sur un même point M, l'une •uivant MD, l'autre suivant MD', se distingueront l'une de l'autre par les signes des cosinus des angles qui leur correspondent.

8. Au lieu des trois angles », C, y, liés entre eux par l'équation (1), on pourra n'employer que denx angles indépendans l'un de l'autre , pour déterminer la direction d'une force.

En effet, soit ME la projection de MD sur le plan A MB; appelons l l'angle que fait cette projection ■vec l'axe MA , de sorte qu'on ait