On voit d'abord qu'on y satisfait en prenant

*x = 2 cos ox ;

a étant une constante arbitraire, de sorte qu'on ait, en même temps ,

•s = 3 cos a s ,

»(• + »)»»••• •(» + «), * (* — «) = 2 cos a (x — s) ;

et effectivement , si l'on substitue ces valeurs dans l'équution (1), on obtient l'équation connue

2 cos ax cos as = cos a (x s) *f- cos a (x — s).

Or je dis que cette expression de la fonction ce est la seule qui satifasse à l'équation (1), et que de plus, dans la question qui uousoccupe, laconstanle a est l'unité , en sorte que l'on a

pz — 2 cos x. (2)

Cela est évident quand x = 0; car alors les directions des deux forces P coïncident et la résultante R est égale a 2P, ce qui suppose ex = 2. Admettons qu'il y ait une autre valeur a. dex, pour laquelle on ait uussi sa = 2 cos *; je dis que l'équation (2) subsistera également pour toutes les valeurs 2. , 3» , 4m , .... , \fZ * , 1/4 » , 1/8 a, de x , et généralement pour

m et n étant des nombres entiers quelconques.

En effet , si l'équation (2) se vérifie pour les trois angles x, %, x — x,de manière qu'on ait

•x=2cosx, ei^cosx, •(*— j)=2cos(x— *),

elle aura encore lieu pour un quatrième angle x+s; car, en vertu de l'équation (l), on aura alors

• (x -f- ») = 4 cos x cos s — 2 cos (x — s) ;

équation qui se réduit à

e (x + s) = 2 cos (s + s).

TRAITÉ DE MÉCAMQTE.

Ainsi l'équation (2) ayant lieu pour * =0 et* = », il s'ensuit qu'elle subsiste pour *=2»; ayant lieu pour * = * et * = 2» , elle subsistera pour x = 3» ; et, en eontinant de même, on verra qu'elle aura lieu pour x - m».

Je fais maintenant ws( ; on aura donc

♦ C = 2cos{;

et de là on conclura que l'équation (8) aura encore lieu pour * = 1/2 C ; car en Taisant * = s = 1/2 C, l'équation (1) deviendra

(a 1/2 C)» = 2 cos C + 2 ;

d'où l'on lire

ç 1/2 C r= 2 cos 1/aC.

En Taisant ensuite * = s = 1/4 C, on aura , d'après l'équation [1J et cette dernière ,

(• 1/4 C). = 2 cos 1/2 C + 2, • 1/4 C = 2 cos 1/4 C ;

et, eu continuant ainsi, l'équation (2) sera démon-

tréc pour x = ■ — , c'est-à-dire, pour toutes les

valeurs de x comprises dans la formule (3).

Or, les nombres m et n étant aussi grands qu'on voudra, et pouvant même devenir infinis, on peut Taire croître ces valeurs de x par degrés infiniment petits. la Tormule (3) comprend donc toutrs les valeurs possibles de l'angle x, et l'équation (2) est complètement démontrée, si touleTois elle est vraie pour une valeur particulière lss, différente de léro. Hais, d'après le théorème du n» 2fi , la résultante R est égale à P, dans le cas de r=60°; on a donc alors

•x = 1 ss 2 cos 60° ;

donc l'équation (2) a lieu pour x=60 ,> , et cotiséquetnment pour toutes les valeurs de x.