Au moyen de cette équation, on aura

Es 2P cos *.

Si donc la résultante R et les deux composantes P sont représentées, comme dans le n° 25, par des droites prises sur leurs directions respectives , à partir de leur point d'application, la Torcc R sera le double de la projection de P sur sa direction, ou égale à la diagonale du losange construit sur les deux Torces P.

Soient maintenant deux Torces inégales P ctQ, appliquées au point M (fig. 7 ) suivant les directions HA et MB; représentons leurs intensités par les lignes MG et HH, prises sur leurs directions, et achevons le parallélogramme .M (.Ml : il y oura deux casa considérer, le premier où l'angle AMB sera droit , le second où il sera aigu on obtus.

Dans le premier cas, tirons les deux diagonales MK et Gli qui se coupent au point L; par les points G et II, menons les parullèlcs GN et 110 à ML, qui rencontrent en N et 0 la parallèle à (.11. menée par le point M. Le point L est le milieu de MK et de

GH \ et comme, dans un rectangle, les deux diagonales sont égales, il s'ensuit qu'on a

GL = LU es LM ss LK.

Les deux parallélogrammes GLMN et HLMO sont donc des losanges ; par conséquent, d'après la proposition précédente, la Torce MG pourra être regardée comme la résultante des deux Torces >I.N et ML , et la Torce MB comme la résultante de MO et ML. Donc , en substituant aux deux Torces données leurs composantes , nous aurons , au lieu de MU et MG, les deux Torces MM et MO, qui se détruisent, puisqu'elles sont égales et contraires, et les deux Torces ML, qui s'ajoutent et donnent une résultante représentée en grandeur rt en direction par la diagonale MR.

Dans le second cas , menons par les points G et H (fig. S), les perpendiculaires GE et DF à la diagonale MK , et les parallèles GN et HO à cette même droite \ par le point M , menons aussi la perpendiculaire N MO à cette droite MK. Les deux parallélogrammes GEMW et HFMO seront des rectangles qui auront leurs côtés Mit et MO égaux, comme étant les hauteurs des deux triangles égaux GMK et HMK. D'après le premier cas, on pourra remplacer les Torces MG et MH par leurs composantes rectangulaires ME et MN, MF et MO ; au lieu des deux Torces données, on aura donc les deux Torces M>' et MO, qui se détruiront , comme étant égales et contraires, et les deux Torces ME cl MF de même direction , qui s'ajouteront et donneront, à causo deME = FK, une résultante représentée en grandeur et en direction par la diagonale MK.

Concluons donc que la résultante de deux Torces quelconques, appliquées en un même point et représentées par des lignes prises sur leurs directions à partir de ce point, est représentée, en grandeur et en direction , par la diagonale du parallélogramme construit sur les deux Torce» données.

29. Voici les conséquences qui se déduisent le plus immédiatement de ce théorème.

On voit d'abord que toutes les questions qu'on peut proposer sur la composition de deux Torces en une seule et sur la décomposition- d'une Torce en deux autres, sont ramenées à la résolution d'un triangle. En effet, les grandeurs de la résultante et des deux composantes sont représentées par les trois côtés MK, MG, GK, du triangle SIGK . et les trots angles de ce triangle sont oeux que Tait la résultante avec chacune des composantes et le supplément de l'angle compris entre les deux composantes. Il s'ensuit donc que trois de ces six choses, les trois Torces et les trois angles compris entre leurs directions, étant données, on trouvera les trois autres en résolvant le triangle MGK ; ce qui suppose une Torce an moins au nombre des données. Par exemple, soient P et Q les valeurs des deux composantes, et m l'angle compris entre leurs directions; on demande leur résultante R

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE

et l'angle x qu'elle fait avec la force P. On aura

R* = P. + Q» + 2PQ cos m ,

pour déterminer la voleur de R ; et celle do * le déduira de cette proportion.:

■in x : f in m : : Q : R.

Si l'équilibre a lieu entre trois forces P , Q , S , appliquées en un même point M (fig. 9) , suivant les directions MA, MB , MC, il faut que chacune de ces forces soit égale et directement opposée à la résultante des deui autres ; et comme cette résultante est comprise dans le plan de ces deux forces, il s'ensuit d'abord que les trois forces données doivent aussi cire dans un même plan. Soit MD le prolongement de MC; la résultante deP et Q sera dirigée suivant MD, et si on la représente par R, on aura R=rS. D'ailleurs, en comparant la force R i chacune de ses composantes, on a, d'après ce qu'on vient de dire,

R : Q : : tin AD : sin AMD , R : p :: sin air : sin bmd ;

• cause de

siu AMD = sin AMC , sin BMD = sin BMC ,

il en résultera donc

S : Q : P : : sin AMB : sin AMC : sin BMC j

ce qui montre que quand trois forces sont en équilibre autour d'un même point, la grandeur de chacune d'elles peut être représentée par le sinus de l'angle compris entre les directions des deux outres.

Du point 0, pris sur la direction de la résultante R ou sur son prolongement, j'abaisse des perpendiculaires OE et OF sur les directions des composantes P et Q ; on aura

OE = MO sin AMD , OF = MO sin BMD.

Si donc on multiplie par MO les deux derniers termes de la proportion

P : Q : : sin RMD : sin AMD ,

il en résultera

p : Q : : of : os ;

en aorte que les composantes sont en raison inverse des perpendiculaires abaissées sur leurs directions , d'un point quelconque appartenant à U direction de la résultante. Réciproquement , si les composantes P et Q sont en raison inverse des perpendiculaires OE et OF, abaissées sur leurs directions , d'un point 0 pris dans leur plan , ce point appartiendra à la direction de la résultante; car, en divisant par MO les deux derniers termes de la dernière proportion, on obtient la précédente, qui détermine cette direction.