DETERMINATION DES CENTRES DE GRAVITE
§ l". Centres de yratùi des ligné» courbes.
à un point quelconque M , et compté à partir d'un point fixe que j'appellerai C. Soient aussi s, y, z, les trois coordonnées rectangulaires de X. On considérera cette courbe comme un polygone d'une infinité de côtés ; ds sera le côté ou l'élément de la ! qui répond au point M; et, quelque part que i gravité de cet élément on prendra * j '< < - . |> ot| r » e » trois coordonnées, qui ne sauraient , effectivement, différer de y, s, que de
Appelons / la longueur de la partie déterminée de la courbe dont il s'agit de déterminer le centre de gravité; et représentons par et a t les valeurs données de » qui répondent aux deux extrémités de l. Soient Xi , y\ , *i, les coordonnées du centre de gravite de cet arc /, rapportées aux axes desx, y, s. D'après le théorème du n» 13, la somme des valeurs
de chacun des produits xdt , ydt , zd» , dans toute l'étendue de /, sera une intégrale définie prise depuis t = t 0 jusqu'à * = *, , en regardant x, y, i, comme des fonctions de t données pur la nature de la courbe que l'on considère. Kous aurons donc (n» 65)
t*t r*it /">»i
ls, = ! xd*,ly> = / yds,lz x =f «b,(l]
pour les trois équations qui serviront à déterminer
Supposons, par exemple, que la ligne donnée soit une droite , et que sa partie / aboutisse au point C, de sorte qu'on ait to =0 et t, =/. Désignons par », C, y, les trois angles que fait cette partie / avec des axes menés par le point C suivant la direction des x , y, a, positives ; soient aussi a, h t c t les trois coordonnées du point C; pour le
x =: a + 5 cos y = 4 + »cosC, s = c- r -*cosy.
Je substitue ces valeurs dans les équations (1); et en effectuant les intégrations et divisant ensuite par l, il vient
x '=ro-f l/J/i:oî«,y,=A-4- 1 /;?/ :osC,*, = c-f- \/2lcasy;
ce qui montre, comme cela devait être, que le centre de gravité de la droite l est situé à son milieu.
70. Lorsqu'il s'agira d'une courbe plane, et qu'on prendra sou plan pour celui des x et y, il suffira des deux premières équations (I) pour déterminer la position de son centre de gravité dans ce plan. Si , de plus , la portion / de la courbe est symétrique de part et d'autre du point C, on aura s 0 = — \/A i et *i = 1/2 i; le centre de gravité sera situé sur la normale au point C; et en prenant cette droite pour l'aie des x , il suffira de déterminer la valeur de x, ,qui sera donnée par l'équation
/x, = / xdi.
L'arc de cercle est compris d:tns ce eu particulier, en prenant pour nie desjr, le diamètre qui passe par son milieu. Si l'on place en même temps l'origine des coordonnées au rentre du cercle, et qu'on appelle a son rayon , on aura
x = a cos
pour l'abscisse du point quelconque M. On en conclut
/x, =2<P sin — :
et en appelant c la corde de l'arc /, on aura
C = 20siu ^' ht =flC}
ce qui montre que la distauce x, du centre de gravite d'un arc de cercle au centre du cercle, est quatrième proportionnelle au rayon , à la corde et à l'arc.
71. L'équation de la courbe plane fera connaître l'une des deux variables * et y en fonction de l'autre. Si l'on suppose la valeur de y donnée en fonction de x , on prendra
et en appelant » et C les valeurs de x qui répondent aux deux extrémités de l'arc l, on aura , ou lieu des équations précédentes ,
U l =f^ x \/ r 7^dxX (2)
Si la courbe donnée est une section conique , on obtiendra sous forme finie, par les règles ordinaires , les valeurs des intégrales contenues dans les deux dernières équations (2). Dans le cas de la parabole, on obtiendra de même la valeur de l'intégrale que renferme la première de ces équations; en sorte que les deux coordonnées du centre de gravité d'un arc de parabole, pourront toujours s'obtenir en fonctions des abscisses ■ et C de ses extrémités. D'après un tliéorème de Landen, l'arc d'hyperbole s'exprime au moyen de deux arcs d'ellipse et d'une partie algébrique ; quant à L'an d'ellipse, on le regarde comme une fonction irréductible h d'autres fonctions plus simples; et M. Legendre ■ calculé des tables fort étendues de cette fonction , qui en font connaître les valeurs numériques avec une grande approximation. Par conséquent, lorsque les valeurs numériques de a et C et celles des axes de l'hyperbole ou de l'ellipse seront données , il sera facile de calculer la valeur de /, et par suite les coordonnées St et yi du centre de gravité d'un arc appartenant à l'une ou 1 uutre de ces deux courbes.
72. Je prendrai l'arc de cycloîde pour un autre exemple de l'application des équations (2). Dans cette courbe, la longueur, l'aire, la surface, le volume engendrés par sa révolution , et les coor- • données de leurs centres de gravité , se déterminent exactement. La construction de la tangente en un point quelconque de cette courbe est aussi très simple; sa développée est une autre cycloîdc; et, de plus, par une série dedévelnppcmens successifs, une courbe quelconque approche de plus en plus de se confondre avec lu cycloîde et s'y confondrait rigoureusement à l'infini *. C'est encore la cycloîde que l'on trouve, comme on le verra par la suite , lorsqu'on cherche la courbe qui jouit des propriétés les plus remarquables , par rapport nu mouvement curviligne des corps pesans. Cette réunion singulière d'un grand nombre de propriétés curieuses et de nature différente sur une même courbe, en rend la considération très utile et très fréquente eu Géométrie et dans la Mécanique. Voici comment on obtient son équation.
La cycloîde est une courbe plane ACB ( fig. 24) , engendrée par un point déterminé M de la circonférence d'un cercle pendant qu'il roule sans glisser sur une droite AB. Si le point générateur se trouve d'abord au point A, et qu'il arrive ensuite au point B de cette droite, l'intervalle AB sera égal à la circonférence du cercle donne ; on voit aussi que son diamètre sera égal à la perpendiculaire CD, abaissée du sommet C de In cycloîde sur AB, et qui divise la courbe en deux parties symétriques. En appelant c le rayon du cercle donné , on aura donc
AB = 2»c, CD = 2c. t Dans une position quelconque du cercle , soient
* Journal À$ l't.<r :le Pitfjtrthniqui t 1S* rallier, f>*C* 4M.
STATIQUE, PREMIÈRE PARTIE
nG son diamètre perpendiculaire à 1. baie AB , et H
son point de contact ai ce cette droite. Du point X , abaissons les perpendiculaires HP et MK sur AB et GU , et faisons
KV=p, PM=o;
AH = AP + MK = p+ \/ 2cq — q*
{/Zcij—q'
: e orc
Mais lo cercle générateur tournant sans glisser sur l.i droite AB , il s'ensuit qu'on a constamment
AU = arc Mil ;
l'équation demandée de la cycloîde sera donc
p + l/aey — y =e.trc (^\n=k^IHz£. > j ■
pet q étant les coordonnées courantes.
En la diflërentiant , on a
qdq
dp =
j/ 2eq — g» '
pour son équation différentielle. On en conclut que les deux cordes MG et MU du cercle générateur •ont la tangente et la normale à la cycloîde qui répondent au point M. En déterminant par la formule connue son rayon de courbure au même point , on le trouve égal au double de MH; d'où il résulte qu'en prolongeant MH d'une quantité HN égale à MB , le point N sera le centre de courbure. En faisant de même la droite CDE double de CD , le point E sera le centre de courbure qui répond au sommet C ; et de Ikon conclut aisément que la développée ANE de la demi-cycloïde AMC est la même courbe renversée de manière que son sommet C soit transporté en A et son origine A en E. Il s'ensuit que la longueur de ATiE ou de AMC est égale & la droite CDE, et que, par conséquent, la longueur totale de la cycloîde est égale à quatre fois le diamètre de son cercle générateur.
73. Dans les usages que nous ferons de cette équation , il sera plus commode de transporter l'origine des coordonnées au sommet C (fig. 25). Je prendrai pour axes des x et des y les droites Cx et Cy , perpendiculaires et parallèles à la base AB. En abaissant du point quelconque M une perpendiculaire MP surCr , on aura dono
CP = jt, MP=y;
et si l'on compare ces coordonnées aux précédentes , et que l'on appelle a le diamètre CD du
p = l/2*a — y, q=o— *; , en substituant ces voleurs dans l'équation
différentielle de la cycloîde , et mettant lieu de 2c , elle deviendra
aussi mu
Il en résulte
?-dx
En prenant l'intégrale de manière qu'elle s'év; nouisse quand x = 0 , ou a
ax
pour la longueur de l'arc CM, dont l'origine est au sommet C. Au point A , on a x = a ; ce qui donne, comme précédemment, 2a pour la longueur de la dtmi-cycloîdc CMA. On peut remarquer que *• = 4ax est une équation de la cycloîde semblable à celle de la parabole, dont elle ne diffère qu'en ce que l'ordonnée y s'y trouve remplacée par Turc *.
En appliquant tes deux dernières équations (2) au centre de gravité de l'arc CM , nous aurons
m ~f * ^ "7 ^w^yl/^dx,
où l'on prendra les intégrales de manière qu'elles s'évanouissent avec x. En j mettant pour a sa valeur, il en résulte
2, l{ /-,=J\/-,t,,,y,y-=pï.
On aura donc
d'où l'on conclut d'abord que le centre de gravité d'nn orc M'CM symétrique de part et d'autre du sommet C, qui doit appartenir à la droite CD, se trouve au tiers de CP, à partir du point C.
En intégrant par partie, on a
Si l'on substitue pour dy sa valeur donnée par l*équation (a), on aura donc
y, |/T=y^'~-yj/T=^rf*, et , par conséquent ,
y( = y + L =[{ « x) s/, „lX a];
ce qui, joint à la valeur de x, , détermine complètement le centre de gravite de lare CM. Dans le cas de la demi-cycloïde , on a * = a et y = 1/2 *a ; d où il résulte
*i=V îs i sri =a (1/2* — 2/3).
74. Quand une courbe ploue tourne autour d'une droite comprise dans son plan et que je prendrai pour l'aie des abscisses , elle entendre une surface de révolution dont l'étendue peut se déduire de la longueur de cette courbe et de l'ordonnée de son centre de gravité.
Pour le faire voir , soient * et y l'abscisse et l'ordonnée du point quelconque M de cette courbe, et t l'arc CM aboutissant à ce point et compte d'un point tiie C; l'élément dt engendrera la surface d'un cône tronqué, et son milieu décrira une circonférence égolc à 2w (y -\- 1/2 dy 1 , ou simplement à 2iry, à cause que dy est un infiniment petit. D'après la règle connue, on aura donc 2*yd# pour cet élément de surface. Donc, si l'on appelle s 0 et s, les valeurs de $ qui répondent au* deux extrémités de la courbe génératrice, et S la surface engendrée, on aura , d'après le théorème du n» 13,
SBfc />'
On remarquera que cette expression suppose que lu courbe génératrice n'est pas coupée par l'axe des x , sans quoi ses parties situées drs deux côtés de cet axe décriraient deux surfaces différentes, dont S n'exprimerait plus que la différence. Avrc cette restriction, elle subsistera encore lorsque la génératrice sera une courbe fermée; et, pour l'appliquer à ce cas, il suffira de prendre pour*, l'arc $ B augmenté de la circonférence entière de cette courbe.
Cela posé , si l'on compare celte formule à la troisième équation (2), on en conclut
S=2Wy, ;
ce qui montre que la surface engendrée S est égale a la longueur / de la courbe génératrice , multipliée par la circonférence 2*y, que décrit son centre de gravité.
Ce théorème servira à déterminer la valeur de S toutes les fois que le centre de gravité de In génératrice sera connu sous aucun calcul, et, pour ainsi dire , & l'inspection de cette courbe ; il ne servirait plus à rien s'il fallait calculer l'ordonnée yi , puisque ce calcul serait le même qne celui de S. En supposant, par exemple, que la courbe génératrice soit un cercle; désignant par a son rayon, par c la distance de son centre à l'axe de rotation, et supposant qu'on n'ait pas <- < a , un aura
IstMj yi = c,
et, par conséquent,
S = 4w ac.
Quand le cercle touchera Paie de rotation , on aura c = a,etla surface engendrée sera équivalente au carré dont le côté est égal à la circonférence 2»a du cercle générateur.
§ II. Ctntret dt yraritè dt* surfactt.
75. Soient toujours x , y , s, les coordonnées d'un point quelconque M, et x, , yi , z t , celles du centre de gravité qu'il s'agit de déterminer. Je considère a comme une fonction donnée de x et y ,• je fais
da dt
dx =P > dy"-*'
et j'appelle « l'élément de la surface donnée qui répond au point M; on aura (n» 21 )
• = dxdy iXl + [>• -f <j> .
Quel que soit le point de » où se trouve le centre de gravité de cet élément , ses coordonnées différeront infiniment peu de x, y, s; on pourra donc prendre mx , «y, «s , pour les momens de - par rapport aux trois plans des coordonnées , et il en résultera (n»» 13 et 65)
x =//-, x*, =//*•, xy, = //y-, xs, =ffs* ;
x étant Taire de la portion de surface dont on demande le centre de gravité , et les intégrales doubles s'étendant a tous les élémens de x.
Dans le cas d'une surface plane, et en prenant son plan pour celui des x et y, les quantités p et q seront nulles , et l'on aura seulement à considérer les trois équations.
x==//*ixdy, xr, = ff*dxdy, xy, = ffydsdy.
Supposons que X soit alors terminée par la courbe ABC ( fig. 26 ) ; à chaque abscisse x ou OP répondront deux ordonnées PB et PN , que je représenterai par y et y', et qui seront données en fonctions de x par l'équation de cette courbe. Soient aussi « et C les abscisses OD et OE des points A et B où les tangentes sont parallèles aux ordonnées. Les intégrales devront être prises, d'abord depuis y = PIN jusqu'à y = PM , et ensuite depuis x= * et * = C ; et il en résultera
STATIQUE , PREMIÈRE PARTIE
An lieu d'être ABC, >i l'aire x est comprise entre deux courbes différentes et entre deux droites parallèles à l'axe Oy des ordonnées , on tirera de l'équation de la courbe supérieure la valeur de y, et de l'équation de la courbe inférieure celle de y', et l'on prendra pour « et C les distances de ces deux parallèles au point 0. Dans le cas le plus ordinaire, la courbe inférieure sera remplacée par l'axe Ox des abscisses ; on aura donc y" = 0 , et simpl
pour déterminer l'aire et le centre de gravité d'une portion de surface plane comprise entre une courbe donnée, l'axe des abscisses et deux ordonnées de cette courbe.
Observons aussi qu'on parvient directement aux équations (1) de la manière suivante.
Je partage l'uire ABC en élémens tels que MJÎJi'M', infiniment minces et parallèles a l'axe Oy. J'appelle u la longueur de la droite MN ; par ses deux citrémités H et !î , si l'on mène des parallèles à l'axe Ox, on ajoutera à l'élément MSN'M', ou l'on en retranchera des triangles infiniment petits du second ordre, qui n'en altéreront pas la grandeur; por conséquent, cet élément sera égal à udx. Si l'on désigne par c la distance du milieu de H N à l'axe Or , on pourra prendre x et v pour les deux coordonnées du centre de gravité de cet élément; car il est évident qu'elles n'en pourront différer que de quantités infiniment petites. D'après les autres notations précédentes , on aura doue
D'ailleurs , y et y' étant toujours les ordonnées PM et PN qui répondent à une même abscisse quelconque , on a aussi
ce qui fait coïncider ces dernières formules avec les équations (1).
70. Pour premier exemple , je suppose qu'on demande le centre de grov ilé du triangle ABC (fig. 27).
Je place l'origine des coordonnées au sommet C, et je prends l'axe des x perpendiculaire à la base AB ; je représente cette base par 6 , et la hauteur CD par h. Par le point quelconque P appartenant à CD, je mène la perpendiculaire MN à cette droite; CP et MU seront les variables x et si, et l'on aura la proportion
de laquelle on tire
On aura, en outre,
bx
ces râleurs , le* deux premières équations (3) don-
1/3 bh» ;
* — 1/2 5A, kx, ~ d'où il résulte
Au moyen de
On n'aura pas besoin de calculer Ja valeur de y; car si E est le milieu de AB, et qu'on tire la droite CE , elle coupera en deux parties égales tous les élémens du triangle parallèles à AB, et contiendra, conséquemment, son centre de gravité. Si donc on prend sur CD une partie
CF =: 2/3 CD = x, ,
et qu'on élève la droite FG perpendiculaire à CD , le point G où elle rencontrera CE sera le centre de gravité du triangle. La droite FG coupant CD et CE en parties proportionnelles , on aura aussi
