DB GRAVITÉ

59. On appelle indifféremment pesanteur on gravité, la force qui précipite les corps vers la surface de la terre aussitôt qu'ils ne sont plus soutenus. Son action s'exerce sur tous les points matériel! , dant des directions perpendiculaires à cette surface, ou suivant des lignes verticales. Les directions prolongées de la pesanteur en différens lieux de la terre , convergent donc vers son centre, i cause de sa forme à peu près sphérique ; mais en ayant égard à la grandeur du rayon terrestre, relativement aux dimensions des corps que l'on considère ordinairement, on peut supposer, tant erreur tentible, la pesanteur parallèle à elle-même dans toute l'étendue d'un même corps.

L'observation a prouve que l'intenaité de cette force varie à la turface de la terre avec la latitude, et que tur une même verticale elle varie aussi avec l'élévation au-dettut de cette surface ; mais il faut que les changement de hauteur et de latitude

deviennent sensibles, et elles ne le sont nullement dans l'étendue d'un corps de dimensions ordinaires.

60. On conclut de là que la résultante des forces parallèles en nombre infini, qui agissent sur tous

les points d'un corps pesant , est indépendante de sa forme ; cette résultante est ce qu'on appelle le poids du corps. Dans les corps homogènts, le poids est évidemment proportionnel au volume; mais une expérience journalière nous montre que les corps de nature différente n'ont pat le même poids tout le même volume; ce qui peut provenir de ce que l'attraction de la terre , qui ett la cause principale de la pesanteur, comme on le verra par la suite, dépend de la nature des points matériels sur lesquels elle agit, ou bien, de ce que les corps hétérogènes renferment, sous des volumes égaux, des quantités différentes de points matériels également pesant. Roui expliqueront , dant un autre chapitre , comment on a conclu , du mouvement obtervé det corpt petans , que c'est le second de ces deux cas qui a lieu dans la nature.

Il en résulte que le poids d'un corps quelconque est en raison composée de sa masse et de l'intensité de la pesanteur dans le lieu où il est situé. Ainsi, en appelant P ce poids, H la masse, et g la mesure de la gravité, on a

Cette quantité g, indépendante de la nature par- I

ticuliérc de chaque corp», est, comme on voit, le poids de celui dont on prend arbitrairement la tmme pour unité. On verra par la suite comment sa vulcur a été déterminée en différens points de la terre, d'après le mouvement des corps soumis à la seule action de la gravité.

Nous pouvons aussi écrire

en désignant par m le poids du corps sous l'unité de volume, et son volume par V. Le poids m est ce qu'on appelle la pesanteur spécifujtie du corps que l'on considère; dénomination impropre, puisque la pesanteur est commune à tous les corps d'espèces différentes, et qu'on devrait remplacer par celle de poids spécifique.

Enfin, si l'on représente par D la masse, sous l'unité de volume, du corps que l'on considère, D sera ce qu'on nomme la densité de ce corps, et l'on aura

M — DV , P = oDV.

Telles sont les équations qui ont lieu entre les cinq quantités P, g, M, D, V, dont chacune doit <-tr<: exprimée numériquement, en la rapportant à une unité de son espèce.

61. Le gramme, ou l'unité de poids, est celui d'un centimètre cube d'eau distillée et prise à son tnaximum de densité , qui répond à environ 4° du thermomètre centigrade. Ce poids varie avec le lieu qu'il occupe; mais comme les poids des autres corps, qu'il sert à peser, varient exactement dans le même rapport, il s'ensuit que le poids d'un corps quelconque , exprimé en grammes , est partout le même , et qu'on n'a pas besoin de dire en quel endroit il a été déterminé. D'après les expériences de M. Hallstrom, le poids du centimètre cube d'eau distillée, à la température xéro, est

On prend communément pour unité de densité, celle de l'eau distillée à cette dernière température. Les densités d'un grand nombre de substances ont été déterminées par l'expérience, et exprimées en nombres au moyen de cette unité. Ainsi, par exemple, la densité du mercure à cette même température est

13,5975, et elle augmente ou diminue de

pour chaque degré de diminution ou d'augmentation de la température. La densité de l'air, prise aussi à la température de la glace fondante, sous la pression barométrique de 76 centimètres et à l'Observatoire de Paris, n été trouvée égale à

et, pour chaque variation d'un degré dans la température, elle varie, en sens contraire, de

comme celle de tout autre gas.

Le poids de la coloone de mercure qui exprime la pression barométrique , variant avec la latitude et l'élévation au-dessus de la surface de la terre , la densité de l'air, soumise a une pression d'une hauteur donnée, varie en même temps. Voilà pourquoi il ne suffit pas d'assigner cette hauteur; il faut encore dire a quel lieu elle se rapporte, comme ici a l'Observatoire de Paris. Le rapport de la densité du mercure à celle de l'air, qui répond aux nombres précédens, est

Dès qu'on attribue un phénomène, tel que la chaleur, par exemple, à une substance matérielle, cette substance est soumise à la pesanteur ; rt l'expression impondérable ne doit s'entendre que d'une matière dont la densité est si faible, qu'elle échappe à tous nos moyens d'investigation; en sorte que sa présence n'augmente ni le poids ni la masse mesurable du corps dont elle fait partie, en quelque quantité qu'elle s'y trouve.

62. Les poids sont les forces qui nous sont le plus familières, et dont nous pouvons, au moyen de la balance, déterminer les rapports avec le plus d'exactitude et de facilité. C'est pourquoi il est naturel de les faire servir de terme de comparaiton aux forces d'une autre nature. Ainsi , lorsque I la force musculaire d'un animal , ou toute autre I force , agit sur un corps par l'intermédiaire d'une corde attachée à sa surface, nous pouvons toujours concevoir que celte force soit équivalente à un certain poids déterminé , et nous pouvons même , sans changer sa direction, remplacer son action par celles de ce poids, en le suspendant à l'extrémité de la corde, après avoir fait passer celle-ci sur une poulie fixe convenablement placée.

Le poids fournit la mesure la plus commode de la masse ; sans le secours de la pesanteur, il serait, en effet, très difficile de déterminer le rapport des masses de deux corps. On verra par la suite qu'on pourrait, à la rigueur, le conclure du choc mutuel de ces corps; mais il est beaucoup plus simple de remplacer le rapport des masses par celui des poids, auquel il est égal en chaque lieu de la terre, en vertu de l'équation P = oM. Toutefois, on doit avoir une idée préalable de l'égalité et du rapport des masses , indépendamment de la pesanteur qui n'est qu'une propriété secondaire des corps, puisqu'elle deviendrait tout-à-fait insensible, sans que les masses eussent changé , en les transportant à une distance suffisamment grande de la terre. Nous reviendrons sur ce point daus un autre endroit de cet ouvrage.

63. Puisque tous les points d'un corps pesant sont sollicités par des forces parallèles, il s'ensuit

STATIQUE , PREMIÈRE PARTIE

que ti on lui fait prendre suceuse ventent diverse* positions par rapport à la direction de ces forces , leur résultante passera constamment par un certain point de ce corps. Ce point , que nous avons appelé , en général , centre de$ forcés paraUète* (n» 53), prend ici le nom particulier de centre de gravité. Sa propriété caractéristique dans les corps solides, qui ne sont soumis qu'à la seule action de la pesanteur , consiste en ce que, s'il est supposé fixe , le corps auquel il appartient reste en équilibre dans toutes tes positions possibles autour de ce point , puisque , dans toutes ces positions , la résultante des forces appliquées à tous les points du corps vient passer par le point fiie.

On conçoit aussi que quand un corps solide pesant est retenu par un autre point fixe, il est nécessaire et il suffit , pour l'équilibre , que la droite qui joint ce point et le centre de gravité soit verticale ; ce centre pouvant d'ailleurs se trouver au-dessus ou au-dessous du point fixe. En effet , le poids du corps étant une force verticale appliquée à son centre de gravité, sa direction coïncidera, dans celte hypothèse, avec la droite qui joint ce centre et le point fixe, ou avec son prolongement; par conséquent , cette force sera détruite par la résistance du point fixe, comme si elle y était immédiatement appliquée.

Par la même raison , si l'on suspend un corps solide pesant & un point fixe, par le moyen d'un fil dont l'extrémité inférieure est attachée à un point de sa surface, la direction de ce fil sera verticale dans l'état d'équilibre, et son prolongement ira passer par le centre de gravité du corps. Il en sera de même si l'on suspend , une ou plusieurs autres fois, ce même corps au point fixe, en attachant l'extrémité inférieure du fil à d'autres points de sa surface. Les prolongemens du fil , tracés successivement dans l'intérieur du corps, s'y couperont à son centre de gravité; ce qui fournit un moyen pratique de déterminer la position de ce centre dans un corps de forme quelconque, homogène ou hétérogène.

Dans toutes les questions d'équilibre relatives à un corps solide , on pourra faire abstraction de la pesanteur de ses diverses parties, pourvu qu'on ajoute aux outres forces données qui agissent sur ce corps , une force égale à son poids , et appliquée verticalement à son centre de gravité. Ainsi, par exemple, daus le cas de l'équilibre du levier, il faudra comprendre au nombre des forces données dont la somme des momens doit être nulle, par rapport au point d'appui ( n» 47 ), le poids du levier agissant à son centre de gravité suivant la direction de la pesanteur.

64. Lorsque l'on connaît les centres de gravité G et G' des deux parties d'un corps , et leurs poids p et pt, on en déduit immédiatement le centre de gravité K de ce corps; car ce centre est le point d'application sur la droite GG', de la résultante de« forces parallèles p et p\ qui agissent dans le

même sens à ses extrémités G et G' ; et , pour en déterminer la position, on a conséqnemment

GK : GG' Il p? '. p + p'.

De même, si Ton connaît les centres de gravité E et G d'un corps et de l'une de ses parties , et que les poids du corps et de cette partie soient P et p, on en conclura le centre de gravité G' de l'autre partie ; car ce point sera situé au delà du point K sur le prolongement de la droite GK , et sa distance ou point G sera déterminée par la proportion

GG' : gk. : : p : p — p.

Si un corps est divisé en un nombre quelconque de parties dont les poids et les centres do gravité soient connus , on eu pourra déduire son centre de gravité par une suite de proportions ; mais il conviendra mieux de déterminer ses trois coordonnées au moyen du théorème relatif aux momens des forces parallèles (n° 54).

Soient , pour cela , p, p', p", etc. , les poids des différentes parties du corps, et P son poids total, de sorte qu'on ait

P = p + p» + f + etc.

Soient aussi x, y, s, les coordonnées du centre de gravité de la partie dont p est le poids; r' , y', m', celles du centre de gravité de la partie dont le poids est p' ; etc. Toutes ces quantités seront données par hypothèse; et si l'on appelle $)% , JTi * ët $ le* coordonnées du centre do gravité du corps entier , rapportées aux mêmes axes que les précédentes, on aura, d'après le théorème cité,

Px, = px -f pV + p"x" + etc. , Py, = py + pfy> + p"y" + etc. , Pa, =p, +pV + p»z» + etc.,

ce qui fait connaître les valeurs de #, , y, , a, .

06. On peut , dans ces équations , remplacer les poids par les masses auxquelles ils sont proportionnels. En désignant donc par m, m', m", etc., les masses des différentes parties du corps dont les poids sont représentés parp, p', p" t etc., et représentant par H lu niasse tutoie , de sorte qu'on ait

M = m 4,- m'-}- m" -f" etc.,

il en résnltera

Mx, = mx -\- m'x' -\- m"x" etc. , i Sly, = my + m'y' + m'y" + etc., \ (l) mx t = ma + m'»' + »"s" + etc.; 1

ce qui montre que le centre de gravité est indépendant de l'intensité de la pesanteur, et qu'il sera toujours le même point du corps , à différente* latitudes et à différentes hauteurs au-dessus de la surface de la terre. En considérant que ce point ne suppose pas l'action de la gravité, et qu'il ne dépend que des masses et de leur disposition respective, Euler et d'antres auteurs l'oppellent centre

<r inertie; mais U dénomination de centre de gravité a plus généralement prévalu.

Si la masse M a été divisée en un nombre infini de parties infiniment petites m, m, m" t etc., on pourra prendre tel point qu'on voudra de chacune d'elles pour son centre de gravité, puisque les coordonnées, suivant chaque axe, de tous les points d'un même élément , ne différeront entre elles que d'un infiniment petit. Les seconds membres des équations (1) se composeront alors d'une infinité de termes infiniment petits , dont les sommes seront des intégrales définies , d'après le théorème du n° 13 étendu aux intégrales multiples. Par conséquent, on pourra toujours , par les règles du calcul intégral , déterminer exactement ou par approximation le centre de gravité d'un corps quelconque, sans connaître celui d'aucune de ses parties.

Dans un corps dont toutes les parties sont homogènes, leurs masses «ont entre elles comme les volumes ; on peut donc alors substituer les volumes aux masses , dans les équations (l); et si l'on représente par V le volume entier, et par v, v\v" , etc.,

à m, m\ m", etc., on

V = v + *» + «•" + etc., V*. = M + + v"x» + etc., Vy, = vu + ry + r"y« + etc., Vx» = ex + eV + «"s" + etc.

Le point qu'on détermine par ces équations est le centre des forces parallèles appliquées ft tous les pointsd'un corps,et proportionnelles aux élémensde son volume; ce point s'appelle le centré de gravité du volume , quoiqu'un volume n'ait ni masse ni pesanteur. On appelle aussi centre de gravité d'une surface ou d'une ligne , le centre des forces parallèles appliquées à tous leurs points , et proportionnelles à leurs élémens. On déterminera ses coordonnées eu remplaçant dans les équations précédentes , les volumes V, v, t*', v", etc., soit par les aires de la surface et de ses parties, soit par les longueurs de la ligne et de ses parties.

66. Les masses M, m, m', m", etc. , et les dislances mutuelles de leurs centres de gravité, sont liées entre elles par une équation facile à déduire des équations (1).

Pour cela , plaçons l'origine des coordonnées au centre de gravité de M ; ces équations deviendront

mx + m'x' + m"*" + etc. = 0, «•y + «V + «V + etc. = 0, mx -j- m'x' + «*"»" + c^. = 0.

En faisant le carré de la première, on en conclut

m» *• + m'i *'» + m"» *"» -f etc. = — 2mm'**' — 2mm"**" — 2mWV*" etc.

J'ajoute, aux deux nombres de cette équation , la quantité

m (m' + m" + etc.) *« + m» (m + m»+elc.)*'' + m» (m + m' + etc.) *"» + etc. ;

il en résulte

1 (mx* + m'*'» + m"»"* + etc.)=»im' (*—*']»

-f mm" (* — s")* + m'm" (*' — *")» + etc.

La seconde et U troisième équation (1) donneront de même

H(my» + m y» +m'V'' + etc.)=mm' (y— y')« + mm" (y - y-). + m'm" (y- - y")* + etc.,

M(ms« + mV» + m"s B ' + etc.)=mm'(s— s'y (x - *")« + m'm" (x' - x»)» + etc.

Or, ûm que non

(m - xy + (y - y»)» + (x - x').

H (mn + «V» + m'V». + etc.) = mm>.

+ mm» r '.+m'm7'. + etc.,

pour l'équation qu'il s'agissait d'obtenir, et dans laquelle p, f', p", etc., sont les distances mutuelles des centres de gravité de m, m', m", etc., et r, r*, r", etc. , les distances de ces poiuts au centre de gravité de M.

67. On déduit aussi des équations (1) une propriété curieuse de l'équilibre d'un point matériel entièrement libre. Voici en quoi elle consiste.

Soit 0 (fig. 23) le point en équilibre ; représentons en grandeurs et en directions , par les droites OA ,0A', OA", etc., les forces qui le sollicitent; si leurs extrémités A, A', A", etc., sont les centres de gravité de masses égales, le point 0 sera le centre de gravité de ce système entier.

Eu effet, en appliquant les équations (t) à ces masses , et supposant que ■ soit leur nombre , on

«y, = y + y» + y" + etc. , us, = x + x' -f x" + etc.

D'un autre côté, si l'on désigne par «, C, y, les angles que fait la force OA avec trois axes rectangulaires menés par le point 0; par »', C, y', ce qne ces angles deviennent relativement a la force OA'; par «", C", y", ce qu'ils deviennent relativement a la force OA"; etc., les équations d'équilibre de ces forces i

OA cos » + OA' cos •' + OA" cos •" + etc. = 0 , OA cos C + OA' cos C + OA" cos C" -f etc. sa 0 , OA cos y + OA' cos y' + OA" cos y" + etc. — 0.

STATIQUE, PREMIÈRE PARTIB .

Or, en plaçant l'origine des coordonnées au point 0, on aura

x = OA eos », y = OA cos C , s — OA cos y , *» = OA' cos •', y» = OA' cos C, %' = OA' cos y' , *» = O A" cos *", y" = OA"cos C", s" = 0 A" cos y",

pour les coordonnées des points A , A', A", etc. En vertn des équations d'équilibre , on aura donc

x + *' + *" + etc. = 0 , y + y' + y» + etc,= 0, s + s' + z" + etc. = 0;

d'où l'on conclut

», = 0, yi = 0, s, = 0 ,

ses égales ; par conséquent , ce centre coïncidera •vec le point Oj ce qu'il s'agissait de démontrer.

68. Il y a beaucoup de cas particuliers où le centre de gravité est immédiatement connu. Ainsi, le cenlro de gravité d'une sphère ou d'un ellipsoïde

est évidemment au centre de figure ; celui d'un parallélépipède , à l'intersection de ses quatre diagonales ; celui d'un cylindre à bases parallèles, au milieu de son axe. Le centre de gravité d'un cercle ou d'une ellipse est aussi au centre de figure, et celui d'un parallélogramme, a l'intersection des deux diagonales. Le centre do gravité d'une ligne droite est le milieu de cette droite ; d'où l'on conclut sans difficulté le centre de gravité du oontour d'un polygone quelconque , soit par une suite de proportions (n° 64), soit par les équations des raomens des forces parallèles. On voit de mémo que quand on aura trouvé les centres de gravité d'un triangle et d'une pyramide triangulaire, on en déduira , par l'un ou l'autre de ces deux moyens , les centres de gravité d'un polygone et d'un polyèdre donnés, que l'on peut toujours décomposer, soit en triangles , soit en pyramides triangulaires.

Mais , en généra], la détermination des centres de gravité exige l'emploi du calcul intégral ; et dans le chapitre suivsnt nous allons donner ' qu'on peut désirer sur ce problème.