En vertu de l'équation (a), on a

fxydy = fy \Zax — x' dx, et la valeur de y peut s'écrire ainsi.:

>= i "(1/2o-*)dr a p ** 1 J |/ «x - x» ]/^=x7-

1/2 o , ou , autrement dit, Taire de la cycloïde entière est égale à trois fois celle de son cercle générateur.

/*' *9 = V2 af \/ax — x' dx -/(l/îa- x) |/ax -x» dx.

La dernière intégrale s'obtient immédiatement ; et à cause qu'elle doit s'évanouir, quand x =0,

équation qui fera connaître U valeur de x, d'après

celle de x supposant que cette intégrale soit nulle comme

toutes les

i le cas de la demi-cyclolde CAD , où Ton a , m = «, y = l/8wa, y = l/8«» , x = 3/3

quand * = 0 , on aura y = \/ax — x» + 1/2 as; d'où il résultera

fxydy=\ftax' — \/3xi+l/2af ,y ax-x» dx.(») Parce que Ton a fait

y =/|/ox - x>dx, on aura , en intégrant par partie ,

f* V ax - x« = yVda. («)

On peut écrire Teipression de y sous la forme

y 4 J |/ax x. / IX^TIT ' et en intégrant par partie dans le second terme, il

Wb=r-(T'-'K"-* , ->^^= ï -*i

d'où Ton conclut

>=l/8a'i - 1/2 (l/3a — s) \/ ax — x»

/^rfs = 1/16 a» s* ~ 1/4 (o* - «• ).

Je substitue ces valeurs de y et /ydx dans l'équa-

tion (6); il en résulte

del/nx— x» ds =dx, on aura donc

fi \/ax - x« dx = û» *» — ~ ° ~ X ) — ** + 7" («*—*■){

(7) se

fxydy = I/80» x + 3/3 ox» - 1/3 xS

+ l/J2o»s»--l/4a»(l/2o x)|/a*-*«.(7) An moyen de cette valeur et de celle de % , sa-

plus rien de y, pour

la troisième équation (4) ne d'inconnu , et fera connaître la nn segment quelconque CMP.

Dans le cas de la demi-cyclolde CAD, on * = a, » = arc (coa = .) = »;

et à cause de

y = 1/2 wfl, x = 3/3 «a» ,

la troisième équation (4) donnera

ce qui , joint à la valeur de x> du numéro précédent , déterminera complètement la position do centre de gravité.

TRAITÉ DE MÉCAMQl'B.

81. Soit 8 l'aire d'une 1 tion , comprise entre deui plans perpendiculaires a ion axe de figure. Cet aie renfermera le centre de gravité de S : je le prendrai pour l'aie des x; et je désignerai par s , la distance de ce centre à l'origine des coordonnées , et par • et C les distances à la même origiue, des deux plans qui terminent S; la détermination du centre de gravité de cette tone se réduira à celle de la valeur de x, .

Je décompose S en élément dont chacun sera la surface d'un cône tronqué décrite par le côté infiniment petit de la courbe génératrice , comme dans le n° 74 ; celui qui répond au point H de celte courbe d ont les coord onnées sont * et y, sera égal à 2iryL^ dx» -j- dy' ; il aura aussi son centre de gravité sur l'uxe des x, et l'on pourra prendre * pour la distance de ce point à l'origine des coordonné! s , puisqu'elle ne pourra différer de x que d'un infiniment petit. Cela étant , on aura ( n°» 13 et 65),

ds>

\/i+ d JL

dx,

en considérant y comme une fonction de x, par l'équation de la génératrice.

Si celle courbe est, par exemple, un arc de cercle; que l'on place l'origine des coordonnées à son centre, et qu'on appelle a son rayon, on

y = [/a- — x» , d'où il résultera

S = 2,a (C — .), Sx, = «a («• — •« ),

et, par conséquent,

ce qui montre que le centre de gravité d'une zone •pliérique est au milieu de lu partie du diamètre comprise cnlre les deux plans qui la terminent, et perpendiculaire à ces plaus.

82. La cycloîde nous fournira deux exemples de l'application des formules (8) , en faisant tourner successivement l'arc CM (fig. 86) autour de l'axe Cx et de l'axe Cy.

Dans le premier cas , on aura, en vertu de l'équation (a) du n° 73,

les intégrale! étant prises de manière qu'elles s'évanouissent au point C, où l'un a » = 0. En intégrant par partie, et ayant égard a la valeur de dy

i (a), il vient

S = 4*y l/JT— An \/âf \/a — x dx ,

Sx, =— yx l/ÔT - — \/âfs \/a — s dx ; 3 3

et, par conséquent,

S — 4wy l/a7 + ^a-x)^- - «• ,

4« 8w Sx, =-yxl/ax + — x |/a(a — *)*/• 3 0

ce qui fait connaître la surface concave vers l'axe de figure , engendrée par l'arc CM , et la distance de son centre de gravité au point C. Quand cet arc devient la demi-cycloïde CA, on a x=a et y=l/2 wa, et, i

Dans le second cas, il faudra, pour faire usage de l'équation (a) du n° 73, permuter* et y dans les formules (8), lesquelles deviendront, IN»».

Sy, = 2-Ay|/ 1 + ^-dx;

y, étant la distance au point C, du centre de gravité de S situé sur la droite Cy, et les intégrales s'évanouissant au point C, c'est-à-dire, quand x — 0. D'après l'équation (a), nous aurons

x |/ —dx = — x\/ax ;

la valeur de Sy, sera la même que celle de Sx, du premier cas, et en lu divisant par cette valeur de S, on aura lu distance au point C , du centre do gravité de lu surface convexe vers l'axe de figure, engendrée pur l'arc CM. Lorsque cet arc deviendra la demi eyetoïde CA, lu surface engendré égale à -lira» ; en même temps, la distance y, pour valeur

On peut remarquer que quand un même arc de courbe tourne successivement autour de deux aies rectangulaires et passant par une de ses extrémiroilés, le second membre de la seconde éqnation (8) ne change pas de valeur , et , par

STATIQUE , PREMIÈRE PARTIE

de gravité des deux surfaces engendrées, sont en raison inverse des sires de ces surfaces.

83. Si la courbe ABC (fig. 26) tourne autour de Taxe 0», compris dans son plan et qui ne la traverse pas, sa surface engendrera un solide de révolution dont le volume que je représenterai par V, pourra s'exprimer au moyen de l'aire de cette surface et de l'ordonnée y ( de son centre de gravité.

En conservant toutes les notations du n» 75 , il est aisé de voir qu'on aura

En efTet, la tranche infiniment petite de ce volume , engendrée par l'élément MPLYH' de l'aire génératrice, sera la différence «-y» dx — «y» dx des deux cylindres dont les rayons sont PH et P3 , et qui ont dx pour hauteur commune ; car on peut négliger les volumes infiniment petits du second ordre, engendrés par les triangles que l'on retranche de cet élément , ou qu'on y ajoute , en menant par les points M et Pi des parallèles à Taxe Os. Or, si l'on compare celte expression de V à la troisième formule (1) du numéro cité , on a

V = 2*xy, ;

ce qui montre que le volume engendré par l'aire x d'une courbe plane, est égal à cet aire multipliée par la circonférence 2*yi du cercle que décrit son centre de gravité; théorème analogue à celui du n° 74, et qui servira à déterminer le volume V quand le centre de gravité de x sera connu à priori. Il subsistera encore, lorsque la surface génératrice, au lieu d'être circonscrite par une courbe fermée , sera comprise entre deux courbes différentes et deux perpendiculaires à l'aie de figure, pourvu que cet axe ne passe pas entre ces deux courbes planes.

Si Taire génératrice est un demi cercle tournant autour de son diamètre, la distance de son centre

de gravité à cet axe de rotation , sera égala —

(n« 79} , en désignant par a son rayon ; la circon-

ce point aura donc — pour lonl'aire du demi-cercle est 1/2 *a» ,

le centre de figura , on aura yi = c; d'où il résul-