V SB

ce qui est, effectivement, le volume de la sphère.

Supposons encore que la courbe fermée ABC soit une ellipse , et représentons par a et b ses deux demi-axes , et par c la distance de son centre à Taxe de rotation. L'aire >■ sera, comme on sait, égale à «ai; et son centre de gravité étant évidemment

V = 2w» abc ,

quelle que soit l'inclinaison de l'un ou l'autre des axes de l'ellipse sur l'axe de rotation.

84. Il est évident que le segment du solide de révolution compris entre deux plans passant par l'axe de figure, est au solide ent ier comme l'angle de ces deux plans est à quatre angles droits, ou, ce qui est la même chose , comme l'arc décrit entre les deux plans, par le centre de gravité de l'aire génératrice , est à la circonférence entière 2*y,. Donc, en appelant / la longueur de cet arc , et L le volume du segment , on aura

x étant toujours l'aire génératrice qui , par hypothèse, n'est point traversée par Taxe de rotation.

Cette formule peut s'étendre de la manière suivante à d'autres segmens qui n'appartiennent pas k des solides de révolution.

Supposons, en effet, qu'une courbe plane se meuve sans glisser ni tourner dans son plan , et de telle sorte que ce plan soit constamment perpendiculaire à une ligne donnée, qui peut être une courbe plane ou à double courbure. Dans ce mouvement , le même point de ce plan demeurera toujours sur la directrice , et les autres points décriront des courbes semblables à cette ligne. Soient x, L, /, l'aire de la courbe génératrice, le volume engendré parcelle surface, et la longueur de la courbe parcourue par son centre de gravité. Si / était un arc de cercle , L serait un segment de solidc de révolution ; mais , dans tous les cas , on peut diviser / en parties infiniment petites, dont chacune se confondra avec le cercle osculateur qui lui correspond. Désignons par a l'une de ces parties, el par p le volume du segment correspondant de L ; et supposons que les plans perpendiculaires à sa direction, par lesquels t> est terminé, se coupent suivant uno droite qui ne traverse pas l'aire de la génératrice. Cet élément v de I. sera un segment de solide de révolution ; et d'après l'équation précédente, on aura

Donc , en prenant la somme de toutes les valeurs de r et observant que le facteur x est constant, il en résultera que le volume L est égal au produit de / et X , comme dans le cas d'un solide de révolution. La règle que celte équation L= x/ renferme est utile dans la pratique, et susceptible d'un assex grand nombre d'applications ; toutefois , on ne devra point oublier qu'elle n'a plus lieu quand les génératrices consécutives se coupent sur la surface engendrée, et forment, par leurs intersections successives , ce qu'on appelle une arête de rebrouttiment.

85. La considération du centre de gravité fournit une règle pour évaluer le volume d'un |

Ml d'un cylindre à base quelconque , tronqué par un plan incliné sur cette base.

Soient y l'aire d'une section de cylindre perpendiculaire à sa génératrice, x l'aire de la section inclinée qui le termine, I l'angle de ces deux plans, « un élément quelconque de A , i sa projection sur le plan dey, ou l'élément correspondant de l'aire y, qui est elle-même la projection de x. D'après le théorème du n° 10 , on aura

y = y cos • , t = • cos t.

Cela étant, je suppose que x soit la surface à laquelle se rapportent les formules générales du n° 75 , et que ( représente l'inclinaison de son plan aur celui des s et y. Je multiplie la troisième de ces formules par cos », et je fais passer ce facteur constant sous le tigne//} en vertu des Taleura de y

y*i =ff*u

Or , cette intégrale double est le volume du cylindre tronqué compris entre les deux sections y et X , et décomposé en filets infiniment minces et perdeudiculaires à y , en supposant , toutefois , que ces deux sections ne se coupent pas mutuellement ; il s'ensuit donc que le cylindre tronqué est égal a un cylindre droit ayant la même base y t et pour hauteur la distance s, à cette base, du centre de gravité delà section inclinée.

Ce théorème est évident dans le cas ordinaire , où la base du cylindre est un cercle et la section inclinée une ellipse; car en menant par le centre de celle courbe un plnn parallèle à la base, ce cylindre ne change pas de volume puisque le segment qu'on en retranche est évidemment égal à celui qu'on y ajoute.

Si les aires désignées par y et X se coupent mntuellemcnt, le volume se composera de deux tegmens dont l'intégrale ffn exprimera la différence et non pas la somme. Quand le cylindre sera terminé par deux sections inclinées dont les aires ne ■e coupent pas , on pourra toujours le diviser en deux parties, dont la base commune et perpendiculaire h la génératrice, ne coupera ni l'une ni l'autre de ces deux sections ; et en observant que leurs centres de gravité se trouvent sur une même droite perpendiculaire à cette base, on voit que le volume total sera égal à l'aire de cette base multipliée por la distance mutuelle de ces deux points.

et de$ corp$.

86. La détermination du centre de gravité d'un volume dépend , en général, de plusieurs intégrales triples; mais il y a des corps pour lesquels la position de ce centre se détermine par des intégrales simples. Ce sont ces corps que nous allons d'abord

e ou d'un

1* centre de gravité d'une

cône à base quelconque se trouve aur la droite qui va de ton sommet au centre de gravité de la base ; car cette droite rencontre toutes les sections parallèles à la base , en des points homologues qui sont leurs centres de gravité , et qu'on peut aussi prendre pour les centres de gravité des élément de ce corps, infiniment minces et parallèles à sa base. Par conséquent , la droite dont il s'agit contient le centre de gravité de la pyramide ou du cône, et il ne reste plus qu'à déterminer sa position sur cette ligne.

Soient 6 et X l'aire de la base et celle d'une section parallèle ; désignons par A et x les perpendiculaires abaissées du sommet sur leurs plant ; i auront , comme on tait ,

et,

bx* A»

De plus, on pourra prendre Xdx pour l'élément du volume du cône ou de la pyramide ; et ti l'on appelle V ton volume total , et x, la valeur de * corrrtpondante à la section qui contient le centre de gravité , on en conclura , comme dans les questions

= jf Xdx , Vx, =f xXds.

En substituant la valeur de X et tégrations, il vient

bh bh> V=-, Vx, = - ;

les in-

d'où l'on tire

xi = — A.

Hait si l'on mène par le centre de gravité un plan parallèle à la base, il coupera en parties proportionnelle! la hauteur A et la droite qui va du sommet au centre de gravité de la base; il s'ensuit donc que le centre de gravité du cône ou de la pyramide a base quelconque se trouve aux trois quarts de celte droite, à partir du sommet, ou au quart , a partir de la base.

87. Relativement a la pyramide triangulaire, ce théorème se démontre tan» le secourt du calcul intégral.

Soit ABCD (fig. 30) cette pyramide. Soient aussi E et F les centres de gravité des faces ACD et BCD ; tirons let droites BF cl AE, dont les prolongement se rencontreront au milieu H de l'arête CD; et ensuite dans le plan AIIB, tirons let droitet AF et BE, qui te couperont en un certain point G. Je dis que ce point sera le centre de gravité de la pyramide ABCD; car en la décomposant en élément parallèles è la baie ACD, on verra , comme dans le nu-

STATIQUE , PREMIÈRE PARTIE

roéro précédent , que son rentre de gravité doit se IrouTer sur la droite BE; et en la décomposant en élémens parallèles à BCD , on verra, de même, que ce point appartient à la droite AF. Ces deux droites AF et BE, qui sont effectivement dans un même plan , devront donc se couper, et leur intersection G sera le centre de gravité demandé.

Maintenant, dans le triangle ABU, la droite EF est parallèle à la base AB , puisqu'elle coupe les côtés AH et BH en parties proportionnelles, c'està-dire, au tiers à partir de H ; on aura donc

et,

fg : ga :: ef : ab :: eh : ah,