L'intégrale de la première équation (A) est

dx T — dt

cla

s tante arbitraire. Au point

dx

B, on a — = l et T = c; si donc ou représente la dt

en ce point le plus bas , par le poids d'une h du fil , on aura c=f>», et, eu un point

dx

équation (b) deviendra

Ad. — = dt ; dx

d'où l'on tire

ds

qu'on a , en

Cet

— = 0 au point B. Ces équations feront connattre dx

immédiatement l'arc «et la tension T, lorsque Pordonnéey aura été déterminée en fonction de r.

En mettantdans l'équation précédente, à la place de ds, sa valeur

dy dx

En intégrant et observant qu'on a ars au point B, on en déduit

ày

:0 et— =l>

dx

et , par conséquent ,

• étant , à l'ordinaire , la base des logarithmes népériens. Je multiplie cette équation par

/ . / dy dy - - ;

il eo résulte

en observant que » = 0 et * = 0, au point B , et prenant l'origine 0 des coordonnées à U distance k au-dessous de ce point , de sorte qu'on ait y = h quand * = 0.

dy

Ces équations (c) donnent #= * — , comme plus

dx

haut. La seconde est l'équation de la chaînette, sous la forme la plus simple; elle montre que cette courbe est symétrique de part et d'autre de son point le plus bas.

La valeur précédente de T deviendra

dt

T = ph - — py; dx

en aorte que la tension en un point quelconque H est exprimée par le poids d'une longueur du fil , égale à la perpendiculaire HP aboissée de ce point sur la droite horisontale, passant par le point 0. C'eit au point B que cette tension est la plus petite ;

et m valeur en ce point est ph , comme on l'a supposé.

296. Il ne reste plus qu'à déterminer b constante h qui entre dans ces formules. L'expression de y fera ensuite connaître la figure de la chaînette ; mais pour que sa position soit connue dans le plan vertical passant par les points A et C , il faudra oussi déterminer la distance de l'axe Oy à l'un de ces points fixes.

Pour cela , je mène par le point A une horisontale qui coupe Taxe Oy en un point Q . et par le pointC , une verticale qui rencontre cette horisontale au point D. La position du point C, par rapport au point A, étant connue , les distances AD et DC seront données. Je les représente par a et 6 ; je désigne aussi par k la distance AQ ; en sorte qu'on ait

AD = a, DC = A, AQ = *, OU — h ,

met b étant des quantités données , et k et k les deux inconnues qu'il s'agira de déterminer.

J'appellerai k' la distance QD,/ la longueur donnée de la courbe ABC, y et g ses parties AB et bC , /'la fièche bO , on aura

en regardant k' et y' comme des quantités positive* ou négatives , selon que le point C appartiendra au prolongement de AB ou à AB même. Les ordonnées des points A et C seront k + f tth +f — !,«• considérant aussi la quantité 6 comme positive on comme négative , selon que C sera au-dessous ou au-dessus de la droite horisontale , menée par le point A.

Si Ton fait dans les équations (c), d'abord m = *, $ ss y, y = * + f t et ensuite

il en résultera

De là et de k 4- kf = o, on conclut

l* — b* = k* \» + « — 2 / , et, par conséquent,

STATIQUE , SECONDE PARTIE

Cette quantité n étant composée de quantité* donnéei, l'équation (cf fera connaître la valeur de », et par suite celle de k. En général , cette équation se résoudra par des essais; et l'on en déduira la valeur numérique de « d'après celle de m, aussi exactement qu'on voudra. Si h diffère très peu de l'unité, la valeur de « sera très petite ; eu développant alors les exponentielles, et négligeant la quatrième puissance de », on aura simplement =

* = j a + K, k' — ~ a — hZet la valeur précédente de 4 deviendra

ce qui fera connaître la valeur de C , d'après celle de h , c t , conséquemment , les quantités k et V. Le signe de ** décidera de quel côté de Oy, le point C sera placé.

Le cas le plus simple aura lieu quand les points fixes A et C seront situés sur une même droite horixontale. On aura alors 4 = 0; l'équation (a) don-

C = 0 , et , par suite, * = k? s= — a, comme

k l'axe Ay',

ce qui fera connaître les tensions aux points A et C , ou les charges que ces points fixes auront à supporter, après que la valeur de h aura été calculée. Dans le cas général, ces tensions extrêmes se déduiront des valeurs de y, correspondantes à x = A et * = -*'.

206. Parmi toutes les courbes de même longueur, qui aboutissent aux points donnés A et C , la chaînette est celle dont le centre de gravité est le plus bas.

En effet , menons par le point A (fig. 73) un axe horizontal Ay f , et un axe hx 1 vertical et dirigé dans le sens de la pesanteur. Soient s' et y' les coordonnées d'un point quelconque M , rapportées a ces axe*. En appelant r t la distance du centre de

4 étant la valeur de x' qui répond au point C , et I désignant la longueur donnée de cette courbe , de sorte qu'on ait

Or, d'après la formule (a) du n° 201 , la courbe dans laquelle la première intégrale est un maximum entre toutes les courbes de même longueur, a pour équation différentielle

c'aV

cet c' étant des constantes arbitraires. En intégrant et observant que les variables x' et y sont nulles en même temps, il vient

y = c' io g

et, par

*' + • + VX^ + •? - C» = y a", en faisant , pour abréger,

On tire de là

x> + c — \/( x' + c )» — tf* r= >' $ en faisant aussi

On

pour l'équation de la courbe qui jouit de la propriété demandée. Au point C, on aura

4 + c = L ye~+ L

a étant la distance donnée de ce point à l'axe A*', de sorte qu'on ait à la fois x' = 4 et y* = a. Cette équation particulière et la longueur / de la courbe serviront à déterminer les deux constantes c et c'.

Maintenant , pour faire coïncider l'équolion [f) avec celle de la chaînette , désignons par ■ une constante indéterminée, et changeons les coor-

; é et 1 en d'autres , telles que Ton ait

de manière que cet nouf elles coordonnées * et y soient dirigées en sens contraire de y' et x', et rapportées à une autre origine. Par ce changement, l'équation (f) détiendra

la « »

et désignons par — h , la valeur < denx quantités égales, de sorte qu'on ait

Comme on a yy' = c'« , il en résultera k = c'; et l'équation précédente de la courbe deviendra

ce qui coïncide avec la seconde équation (c) que nous avons trouvée pour la chaînette.

297. Si la force verticale qui agit sur chaque élément du (il suspendu aux points A et C (fig. 74), au lieu d'être proportionnelle k la longueur de l'élément ds , est proportionnelle à sa projection horitontale dx, la seconde équation (i) deviendra

d.T — = pdx; *

p étant une constante donnée qui représente le poids d'un prisme dont la hauteur est l'unité linéaire. En vertu de la première équation (b), qui

ds

T = P k -, ds

en désignant par h une ligne de longueur inconnue, et par pk un poids équivalent à la tension au point B, le plus bas de la courbe. Il en résultera dono

hd. — — dx; ds

d'où l'on tire

dy

h — = a , 2fcy = *• , dx

en plaçant l'origine des coordonnées s et y au point B. Dans ce cas, la courbe sera , comme on voit, une parabole qui aura son sommet au point le plus bas ; et l'on aura

pour la tension en un point quelconque.

En employant les notations du n» 29S , on aura , aux points A et C,

Zhf = h , «(/-*)« ,

et à cause de k -f- *' = a, on en conclura

2kb = a (* — k');

ce qui fera connaître k, k', f, quand on aura déterminé k, dont la valeur se déduira de la longueur / du fil. On aura , en effet ,

- = - l/k> + x', kl^Ç \ /».+ *•*., dx h f J -V

ce qui donne, en effectuant l'intégration par le* règles ordinaires ,

2kl ~ fc. .0* ^ *'+*'+ * y >

Eu supposant , pour plus de simplicité, les deux points A etC dans une même droite horizontale,

l'équation précédente se réduira à

et l'on en déduira, par des essais, la valeur approchée de h , lorsque les valeurs numériques de / et k seront dpnnées.

Cette inconnue h se déterminera plus facilement quand la longueur / de la conrbe différera très peu de sa projection a; ee uni rendra la Valet» de k

très grande par rapport à a. On aura alors, en séries très convergentes ,

, *• ki

k + |/a> + *• * , * 5 log . = -f - + etc

Au moyen de ces valeurs , l'équation précédente devient , à très peu près ,

d'où l'on tire

4 V AiJ - a)

STATIQUE , SECONDE PARTIE

On a choisi cet exemple , parce qu'il trouve une application utile dans la construction des ponts suspendus, où il est important de calculer la tension de la chaîne de suspension et la charge de ses points d'appui.

298. Supposons actuellement que tous les points du 61 soient sollicités par des forces quelconques. Il formera , en général , une courbe à double courbure; les équations d'équilibre de chacun de ses élémens seront an nombre de trois ; et, en supposant toujours le Cl parfaitement flexible, on obtiendra ces équations par les considérations que i avons exposées en détail dans le n° 203. De

dx

d.T — + X . * ds

dy

d.T - + Y , ds d»

d.T — + l . * ds

*» y* *» éUnt les coordonnées rectangulaires d'un " ique M de la courbe, ds l'élément sa longueur, • le produit de la deni fil et de la section perpendiculaire à sa I on r, qni ont lieu an point M, de sorte que %ds soit l'élément de la masse du fil ; T la ftnsion en ce même point , ou la force, de grandeur inconnue , qui tire cet élément %ds suivant chacun de ses prolongemens; X, T, Z, les forces rapportées à l'unité de masse et parallèles aux axes des *, y, a, qui répondent au point M et seront des fonctions données de ses trois coordonnées.

En vertu de la tension T, l'élément ds aura éprouvé une extension et la quantité • une diminution , telles que la masse tds n'ait pas changé; en désignant donc par ds 1 et s*, ce que ces quantités étaient dans l'état naturel du fil, on aura

s* ss *'ds> {

et en supposant l'extension proportionnelle a la i qui la produit (n° 288), nous aurons,

<fr = (l + . T)«V; (2)

• étant un coefficient très petit, dépendant de la matière et de l'épaisseur du fil au point M. Quand le fil sera homogène et d'une épaisseur constante dans toute sa longueur, et m seront des quantités constantes; mais , en général , ces deux quantités pourront être regardées comme des fonctions données de l'arc s' t compté d'un point déterminé du fil et aboutissant au point M.

299. Si le fil , de nature quelconque, est seulement soumis à la pesanteur et suspendu verticalement à un point fixe que j'appellerai A , les deux

dernières équations ^disparaîtront, et la troisième sei

dT + g,dx = 0 ,

en prenant l'axe des * vertical et dirigé dana le sens de la pesanteur, et désignant cette force par y. Je place au point A l'origine des * , et j'appelle Q la valeur de T qui répond à x = 0, c'est-à-dire, la charge que ce point aura à supporter. Au point quelconque M, on aura

T = Q - aftdx ;

l'intégrale étant nulle en même temps que x.

Appelons B l'extrémité inférieure du fil; attachons en ce point on poids P, et désignons par / la longueur de AB. Il est évident que P sera la tension au point B ; on aura donc, en même temps, * sa /, etT= P; ce qui de

et, par conséquent,

T = p + oy^'«i»o/^.

Or, le second et le troisième terme de cetlcformule sont les poids du fil entier et de sa partie AH ; il s'ensuit donc que la tension au point M est le poids de la partie BM, augmenté du poids P; ce qui est d'ailleurs évident.

La loi de l'allongement du fil dans toute sou étendue, dépend de sa nature et de son épaisseur. Je suppose, par exemple, qu'il soit homogène et partout d'une même épaisseur, ce qui rendra constant le coefficient «. En appelant x' la longueur de la partie A M, avant que le fil soit tendu , laquelle longueur devient* par l'effet de la tension, et mettant, en conséquence, dx 1 et ds au lieu de dé et ds, dana l'équation (2), on aura

ds = ( 1 -f .T) al»'.

Soient aussi l la longueur totale du fil avant son allongement , et p son poids entier. Le poids de la p fl — x')