II

quels que soient / et t. Or, il est évident qu'un fil attaché à un point fixe et tiré à son autre extrémité

dirigée suivant son prolongement , est dans le même état que s'il était tiré par cette même force suivant ses deux prolongemens. Si donc on appelle T la tension du cordon AM , et si l'on suppose qu'il se soit allongé dans le 1 + rà l'unité, on aura

itner cet allongement; et il en sera de même pour tous les autres côtés du polygone.

280. Soit que les points extrêmes A et B du polygone soient fixes , ou qu'ils soient libres , si l'un ou plusieurs des noeuds M, M', M", etc., sont remplacés par des anneaux , cette circonstance donnera lieu à de nouvelles conditions d'équilibre. Supposons, par exemple, que M" soit un anneau mobile qui puisse glisser le long du cordon M'M 'M" ; il est clair que dans ce mouvement la somme des distances M'M" et M" .U'", du point M" aux points M' et M' ', restera constante. Or, si l'équilibre existe, cet état ne sera pas troublé en rendant fixes ces deux derniers points; mais alors le point M'' sera dans le même cas que s'il était astreint à demeurer sur la surface d'un ellipsoïde de révolution, dont M' et M'" sont les deux foyers , et dont le grand axe est égal à U longueur donnée du cordon M'M"M"'j donc ce point ne peut rester en équilibre (n<> 36), à moins que la force P ' qui lui est appliquée ne soit perpendiculaire à cette surface; d'où il suit, d'après une propriété connue de l'ellipse, que la direction de cette force doit couper en deux parties égales l'angle des deux rayons vecteurs M"M* et M"M'".

Lors donc qu'en exécutant la construction du n°286, on sera parvenu à nn anneau mobile tel que M" et que l'on aura pris la résultante des deux forces dirigées suivant M' M' et M 'C", dont le prolongement sera le côté M''M"'; si l'on trouve que les angles C"M"M' et C' M"M'" ne sont pas égaux entre eux , il en faudra conclure que l'équilibre n'existe pas. En général, il faudra que la direction du cordon M"C", attaché à un anneau mobile, ne soit pas donnée d'avance, afin qu'on puisse, en la déterminant d'une manière convenable , remplir la condition de l'égalité des deux angles M'M"C" et M»'M"C".

Observons que dans l'état d'équilibre, les tensions des deux côtés adjacens à un anneau mobile seront égales entre elles ; cela résulte de ce que ces deux côtés font des angles égaux avec la direction rie la force appliquée à cet anneau, et que leurs

vant leurs propres directions ; mais cette de tension peut aussi être considérée comme évidente en elle-même , puisque les deux côtés le long desquels l'anneau peut glisser ne forment qu'un cordon , qui doit nécessairement la même tension dans toute son étendue.

STATIQUE, SECONDE PARTIE

«00. Ce que nous diiout à l'égard d'un obligé de glisser le long d'un fil considéré comme inextensible et parfaitement flexible , peut s'étendre a tous les points d'un système de points matériels en équilibre. Quelle que soit la liaison de ces points entre eui , on ne troublera pas cet équilibre en fixant tous les points du système , excepté un seul. Or, si la lUison de ce point avec les autres est telle qu'il puisse encore décrire une surface ou seulement une ligne courbe autour de ces points fixes, il est évident que le point mobile sera dans le même ces que si la surface ou la ligue courbe existait réellement; par conséquent , la direction de la force qui lui est appliquée doit être normale à cette surface ou a cette ligne.

Concluons donc que dans tout système de pointa matériels en équilibre , la force appliquée à chacun de ces points est perpendiculaire a la surface ou à la ligne sur laquelle ce point serait obligé de rester, si tous les autres points auxquels il est lié étaient regardés, pour un moment , comme des points fixes.

Quand cette condition, relative a la direction des force» et à la liaison des parties du système , n'est pas remplie , on peut être certain que l'équilibre n'existe pas ; mais elle ne suffît pas à elle seule pour assurer l'équilibre du système.

SOI. Si toutes les forces qui agissent sur un polygone fuoiculaire suspendu aux deux points fixes A et B, sont des poids donnés , il résulte de la construction du il» 286, que ce polygone tout entier sera contenu dans le plan vertical passant par ces deux points ; et cela est d'ailleurs évident en soimême, puisqu'il n'y aurait aucune raison pour qu'il «'écartât de ce plan plutôt d'un côté que de l'autre. En prenant alors la perpendiculaire à ce plan pour l'axe auquel répondent c, y, y, y', etc., tous ces angles seront droits , et la troisième équation (•) disparaîtra ; les deux

H coi • + I cos « = 0, HcosA +kco./- + n :

que les angles «,*,«, •', etc. , répondent à nn axe horizontal , et les angles b,f, C, C, etc., à un axe dirigé dans le sens de la pesanteur, et en représentant par II le somme des poids P. P*, P", etc., appliqués au polygone.

L'équilibre de ce polygone ne sera pas troublé si Ton rend sa forme invariable; par conséquent, la lerce II devra être égale et directement opposée à la résultante des forces H et EL En vertu des équations (ô), elle est déjà égale et contraire à cette ré- "b;H faudra donc encore qu'elle passe par 0 (fig. 72), où les prolongemens des corextrêmes Ait et BN viennent se couper, et qu'on peut prendre pour le point d'application commun aux deux forces H et k Ainsi , dans l'état d'équilibre , la résultante II des forces verticales P. P', P*', etc., sera dirigé «nivant la verticale

OD ; et , cela étant, oa aura les proportions (n»80) H ; n :: sin BOD : sin AOB,

i> : n :: sin aod : sin aob,

qui feront connaître les tensions des cordons extrêmes , ou les pressions H et K. exercées sur les deux points fixes A et B , quand on aura mesuré les angles AOD et BOD.

208. On peut faire sur les tensions des cordons qui supportent un poids donné , la même remarque que l'on a déjà faite à l'égard des pressions éprouvées par les points d'appui d'un plan horizontal sur lequel un poids est placé (n« 270).

Supposons que les trois cordons attachés aux pointa fixes A, B, C (fig. 73), se réunissent au point M , et qu'en ce point un poids P soit suspendu et agisse suivant la verticale ID. Prenons un point D' sur le prolongement de cette droite, et construisons leparallélipipède dont MD' est la diagonale, et qui a ses trois côtés adjacens MA', MB'.MC, sur les directions des trois cordons. Si l'on représente la force P par la droite MD 1 , ses composantes suivant ces directions seront représentées par les droites MA', MB', MC, et elles exprimeront les tensions des trois cordons MA, MB , MC, ou les charges des trois points fixes A, B, C, lesquelles se trouveront , dans ce cas, complètement déterminées. lais , lorsque les cordons aboutissant au point M seront au nombre de quatre f ou en plus grand nombre, on pourra décomposer la force P d'une infinité de manières différentes, suivant leurs directions; en sorte que leurs tensions et les charges des points fixes ne seront plus déterminées , et une ou plusieurs d'entre elles pourront ctre nulles ou prises arbitrairement. Or, cette indétermination aurait réellement lieu dans la question abstraite, où l'on n'a tenu aucun compte de l'extensibilité des cordons $ mais elle n'existe plus dès qu'on a égard à cette propriété de la matière : alors tous les cordons a'allongent un tant soit peu; leurs extensions dépendent de leur nombre et de leurs positions relative*; et si l'on mesurait ces petits ollongemens , on on pourrait conclure la tension de chaque cordon , ou la charge de chaque point fixe qui a réellement lieu.

Ainsi, en supposant que le cordon AM, par exemple , se soit allongé dans le rapport de 1 + * à l'unité, et sachant, d'ailleurs, qu'un cordon de même matière et de même diamètre s'allonge dans le rapport de 1 + « à l'unité , quand on le suspend verticalement a un point fixe, et qu'on attache le poids P à son extrémité inférieure , on en conclura (n» 288) que la tension éprouvée par ce cordon , ou la charge que supporte le point A , est égale au

produit — p.

Si l'on désigne par V et V et X", etc., ce que deviennent les fractions * et f relativement aux cordons MB, MC, etc., et par y, y», y», etc., les angles aigus que font les cordons MA, MB, MC, etc. ,

avec la verticale Mlr", il faudra qu'on ait t t l"

— «m» 7 + ~ cos >' + — co* y" + etc= 1 ,

afin que la somme des composantes verticales de toutes les tensions soit égale au poids P. En projetant les mêmes cordons sur un plan horiiontal mené par le point I, et désignant -, etc., les angles que les projections de MA, MB, MC, etc. t font avec une droite 90 tracée arbitrairement dans ce plan, on aura aussi

- sin y sin • + - sin y sin -f etc. = 0, / f

— sin y cos - + — sin y' cos + etc. = 0, « V

pour exprimer que la résultante de toutes les tensions est une force verticale.

Quand il n'y a que trois cordons , ces trois équations suffisent pour déterminer les rapports de leurs

tensions au poids P, ou le* râleurs de — , —, —,

au moyen des angles que ces trais cordons font avec la verticale MD', et des angles compris entre les plans de celte droite et de leurs directions. Quand il n'y en a que deux, leurs directions et cette verticale sont comprises dans un même plan ; ce qui réduit à une seule les deux dernières équations.

$ U. Équilibre d'un fU ftexiiU.

293 Considérons d'abord un fil pesant, homogène et d'un diamètre constant ; supposons-le parfaitement flexible et attaché par ses extrémités A et C (fig. 74) a deux points fixes ; et proposons-nous de déterminer la courbe ABC qu'il forme dans son état d'équilibre. On nomme cette courbe la chat-

nette ; elle est évidemment comprise dans le plan vertical passant par les deux points fixes A et C ; car il n'y aurait aucune raison pour qu'elle s'en écartât plutôt d'un côté que de l'autre.

rectangulaires Ox et Oy, qui seront ceux des coordonnées positives; prenons Ox horiiontal et dirigé du côté du point A, et Oy vertical, dirigé en sens contraire de la pesanteur, et passant par le point B, le plus bas de la courbe. Soient s et y les coordonnées OP et PM , rapportées à ces deux axes , d'un point quelconque H de la chaînette , et a l'arc B9 aboutissant en ce point et compté du point B; et désignons par x', y', é, ce que deviendront x, y, t, relativement a uu autre point H' de cette courbe, tel que l'on ait «' > $.

Si l'on appelle p le poids de l'unité de longueur du fil , lorsqu'il est couché sur un plan borisontal, p (#' — *) sera, dans cet état, le poids d'une longueur s — s J a même fil , puisqu'on le suppose homogène et d'une épaisseur constante. Quand il sera suspendu aux deux points fiies A et B, ses d i fférentes parties s'allongeront inégalement, à raison de leurs tensions respectives; et , en même temps, leurs densités ou leurs épaisseurs diminueront de manière que leurs masses ne changent pas ; par conséquent , le poids de cette longueur s' — a no sera plus exactement le même qu'auparavant; mais si la matière du fil est très peu extensible, et qu'on néglige les petites dilatations de ses parties, on pourra encore prendre p (a* — t ) pour le poids correspondant à l'arc MM' de la chaînette.

Soient , en outre , T et T* les forces inconnues qui agissent a ses extrémités M et M', et proviennent de ce que ces points sont liés aux parties CM et AM' de cette courbe. En joignant ces forces au poids ©(r* — «), on pourra considérer MM' comme entièrement libre; par conséquent, si l'on représente pur « et t les angles que fait la direction de la force T avec les prolongemens des coordonnées x et y de son point d'application , et par •' et C les angles analogues relativement à la force T', nous aurons

T cos • + T' cos •' = 0 , j T co, C + T' cos C = p (a* — .), } (•) T (a cos C - y cos •) + T» ( x' an C - y« cos ) = p {«' — #)**. , )

pour l'équilibre de ces trois forces comprises dans un même plan (n* 263) ; *■ étaut l'abscisse horilontale du centre de gravité de l'arc MM'. Elles auront lieu, quelle que soit la longueur de cet arc : si on la suppose infiniment petite , on pourra négliger, dans ces équations, les quantités infiniment petites du second ordre; mais il faudra conserver les quantités du premier ordre; ce qui n'empêchera pas qu'on ne doive considérer la force T < omme étant dirigée suivant ta partie MH de la

tangente,* l'extrémité H , et la force "T, suivant la partie M H de la tangente, h l'autre extrémité M' .

Pour le faire voir, prenons sur MM' un point m tel que l'arc Mm soit infiniment petit du second ordre; ce qui permettra de négliger le poids de cette partie de la chaînette. Si l'on fixe le point m, l'équilibre ne sera pas troublé ; or, le fil étant supposé parfaitement flexible , il n'y aurait rien qui empêchât la force T de faire tourner l'arc Mai au-

STATIQUE, SECONDB PARTIE.

de m, si elle n'était pat dirigée suivant son prolongement MB. On verra de même que la force T' doit être dirigée suivant M' 11'.

et en négligeant les infiniment petits du second

dx dx dy dy

COI » — (- d. — , cos C = — + al.

dt dt dt dt

On peut aussi prouver qu'on a T' =T -j- dT. En effet, la quantité T est une fonction des coordonpées du point quelconque M auquel elle répond , qui devient , conséquemment , T + dT au point ■' ; en ce point, elle exprime la force qui agit sur la partie supérieure A M' de la chaînette, suivant la direction M'B, , prolongement de B'H'. Or, si m' est un point de la courbe dont la distance à est infiniment petite du second ordre, la force qni agit en m sur la partie Ara', sera la même , en grandeur et en direction , que celle qui agit en H' sur AM' ; par conséquent , la partie M'as' de la chaînette est tirée en sens contraire, suivant Mil' etm'B,, par des force* T' et T + dT, qui doivent être égales pour qne ■'*»' demeure en équilibre.

Cela posé, je substitue ces différentes valeurs dans les deux premières équations (a), et j'j fais a> — t = dt; elles deviennent

d. T - «= 0, dt

d. T — = pdt.

Quant à la troisième, elle prendra la forme

. dy ds .

d. T (s y - ) =P*dt,

V dt dt'

en y négligeant les infiniment petits du second ordre , ce qui permet de remplacer x t par s dans son second membre. Or, cette équation est la me me

dy dx

xd. T yd. T — sa pxdt;

dt dt

on voit , elle est une suite des deux au- I , le problème ne peut dépendre équations, puisqu'il n'y a que deux inconnues y et T a déterminer en fonctions de *; la première, pour connaître l'équation de la courbe, et la seconde , pour savoir quelle est la tension en un point quelconque M, c'est-à-dire , la grandeur des forces égales qui tirent l'élément Ha* suivant