Desiderata à réaliser dans la lecture d'un abaque

L'anamorphose, sur laquelle nous venons de nous étendre, en permettant de constituer l'abaque de certaines équations, uniquement au moyen de systèmes de lignes droites et, plus particulièrement, de droites parallèles, introduit une large simplification dans la construction des abaques, mais sans qu'il en résulte de changement essentiel dans leur mode d'emploi.

Celui-ci se réduit toujours à ce qui suit : prendre le point de rencontre de deux droites cotées, et lire la cote d'une ligne, droite ou courbe, passant par ce point.

Or, du fait qu'une cote inscrite en un point d'une ligne s'étend à toute cette ligne, il résulte qu'il faut, soit en partant de cette cote pour chercher un point d'intersection situé sur la ligne, soit en partant de ce point pour chercher la cote, suivre la ligne sur une certaine étendue.

Cette opération s'appliquant à trois lignes pour chaque lecture, on risque, pour peu qu'on ait quelque défaut d'attention, de passer de la ligne qui devrait être suivie à la voisine et, par suite, de commettre une erreur de lecture.

En outre, si les valeurs des variables auxquelles on a affaire ne sont pas de celles auxquelles correspondent des lignes effectivement tracées sur l'abaque, il faut, par la pensée, faire une interpolation entre ces lignes, opération qui n'est pas tout à fait aussi simple que lorsqu'il s'agit de placer, également à vue, un point intermédiaire entre ceux d'une échelle portée sur une ligne.

Enfin, l'enchevêtrement des lignes sur les abaques précédemment décrits peut, à la longue, produire une certaine fatigue de la vue.

Ces inconvénients ne sont pas, tant s'en faut, de nature à faire renoncer à l'emploi des abaques construits comme on vient de le dire; on peut d'ailleurs les atténuer, dans une certaine mesure, par l'emploi de traits de force convenablement espacés dans le réseau des lignes tracées (n° 43) ; ils sont assez sensibles cependant pour qu'on se soit préoccupé des moyens de s'en affranchir.

Le but à atteindre peut, d'après ce qui vient d'être dit, être défini ainsi qu'il suit : faire en sorte que, sur l'abaque, une cote ne soit attachée qu'à un seul point, l'équation à représenter se traduisant par une certaine relation de position entre plusieurs points.

On trouvera plus loin (Gh. III) une méthode d'une grande généralité permettant d'atteindre ce but. Mais nous possédons dès maintenant le moyen de réaliser cette condition pour les équations représentables par trois systèmes de droites parallèles, grâce à une nouvelle extension de l'usage des transparents dont il a été question aux nos 13 et 18.

31. Transparent à trois index. — Si nous nous reportons au n° 26, nous voyons que pour construire l'abaque de l'équation

nous n'avons (en prenant les modules /, et l2 égaux entre eux et les désignant alors par la seule lettre /) qu'à porter sur les axes Ox et Oy supposés rectangulaires et sur leur bissectrice Os les

échelles définies par

y =- lfi(*2),

et à élever, par les points cotés de ces échelles, des perpendiculaires respectivement à ces trois axes.

Si donc nous avons recours à l'emploi d'un transparent tel qu'il a été indiqué aux nos 13 et 18, nous voyons que nous pourrons, grâce à ce transparent, rendre inutile, non seulement le tracé des perpendiculaires élevées aux axes Ox et Oy respectivement par les points des graduations (a() et (a2), mais encore celui des perpendiculaires élevées à Oz par les points de la graduation (a3) pourvu que, par le centre du transparent, point de rencontre des index I, et I2, nous fassions passer un troisième index I3 perpendiculaire à Oz {fig. 33).

Lorsque nous déplacerons ce transparent, en lui conservant son orientation , ses trois index lt , I2 et I3 coïncideront à chaque

instant avec trois des droites que l'on s'est dispensé de tracer el dont les cotes se correspondent en vertu de l'équation donnée.

En d'autres ternies, il suffit, le transparent avant une orientation convenable ( « ), de faire passer les index I, et I2 respectivement par les points a, et a2 des axes Ox et Oy pour que V index I3 donne a3 sur l'axe Oz.

L'abaque, dans ce cas, se réduit donc aux trois échelles rectilignes (a, ), (a2) et (a3), complétées par le transparent portant les trois index Ij, I2 et I3 (2).

Cet emploi du transparent mobile a été proposé par M. Blum, à l'occasion des calculs de terrassements, dans une Note sur laquelle nous aurons occasion de revenir (3) (n° 108).

(') Pour le maintien de l'orientation du transparent, voir ce qui a été dit au n° 13.

(2) Il y a lieu de se préoccuper des variations du papier en longueur et largeur; avec un papier de bonne qualité, ces variations, bien que pouvant différer d'un sens à l'autre, sont uniformes dans chaque sens, ainsi que permet de le constater ce fait qu'un rectangle dont les cotés sont parallèles aux bords de la feuille de papier ne cesse pas d'être un rectangle. S'il reste semblable à lui-même, c'est que tous les angles se sont conservés sur la figure, les droites restant des droites. Par suite, l'application du transparent à trois index donne les mêmes résultats que s'il n'y avait eu aucune variation. Si le rectangle ne reste pas semblable à lui-même, c'est que, les droites restant encore des droites, les angles ne se sont pas conservés; par suite, le transparent précédent ne peut plus servir. Mais, si l'on a eu soin de figurer sur l'abaque les directions des normales aux trois échelles, elles donneront, à chaque instant, les directions corrigées des trois index du transparent.

(3) A. P. .C., ier sem., p. 455: 1881.

Remarque. — Il n'est pas essentiel que les trois échelles donnant les cotes des trois systèmes de parallèles, non tracés, auxquels on substitue les index du transparent, soient perpendiculaires à la direction de ces systèmes; il n'est même pas nécessaire qu'elles soient rectilignes. Supposant, en effet, les trois systèmes de parallèles d'abord construits, nous pouvons inscrire leurs cotes à leur rencontre avec des lignes quelconques et effacer ensuite ces systèmes en ne conservant que leurs graduations avec les lignes leur servant de support. L'application du transparent convenablement orienté sur le tableau formé par les trois échelles curvilignes conservées tient lieu des systèmes de parallèles effacés.

On peut même, si les trois graduations ne se gênent pas mutuellement dans les limites admises, les inscrire le long d'une seule et même ligne.

Mais, si des circonstances spéciales peuvent, en certains cas, conduire au choix de telles dispositions, il est, d'une manière générale, préférable sous le rapport de la précision, d'adopter des échelles perpendiculaires à la direction des index correspondants.

32. Principe des abaques hexagonaux. — Si l'on se reporte au numéro précédent, on voit que, moyennant l'emploi du transparent à trois index, la construction de l'abaque d'une équation représentable par trois systèmes de droites parallèles se réduit à la construction des échelles des trois fonctions^ (a, ), /^(ao) et /"3(a3) respectivement portées sur les axes Ox, Oy et leur bissectrice Oz, avec le même module, d'ailleurs quelconque, pour les deux premières, et ce module divisé par \J i pour la troisième. Or, il arrive souvent que ces trois échelles dérivent d'un même étalon (n° 6), l'étalon logarithmique par exemple; il y aurait donc avantage à pouvoir constituer l'abaque au moyen de trois échelles de même module. Cette considération fait ressortir a priori l'intérêt qui s'attache à l'artifice, dû à M. Lallemand, dont il va être maintenant question et qui a encore l'avantage d'une disposition plus symétrique des échelles, celles-ci étant parallèles aux trois côtés d'un triangle équilatéral.

Cet artifice, auquel l'auteur est parvenu par une voie qui sera indiquée plus loin (n° 33), consiste à faire usage des coordonnées ainsi définies : Ayant pris deux axes Ox et Oy faisant entre eux

un angle de -~- ou i :ïo°, les coordonnées d'un point sont les

distances de l'origine O aux pieds des perpendiculaires abaissées de ce point respectivement sur Ox et Or.

Dans un tel système de coordonnées, toute droite est représentée par une équation du premier degré

ax -f- by h- c = o.

On trouve, en outre, bien aisément, que la distance de l'origine à cette droite est donnée par

a2H- 62-f- lab cos -—

En particulier, si l'on prend une droite perpendiculaire à la bissectrice Oz de ûcOy, droite dont l'équation est de la forme

x-hy = h,

on a