TU 2 COS

Dès lors, l'abaque de l'équation

étant défini, avec le module /, au moyen des équations

x = lfi(*i), y = //2(a2),

celles-ci, où ^r ety désignent nos nouvelles coordonnées, représentent, comme dans le cas des coordonnées cartésiennes, des droites respectivement perpendiculaires à Ox, à Oy et à la bissectrice 0,3 de l'angle de ces axes; mais ici les distances de l'origine aux droites du troisième système, qui définissent l'échelle portée sur Ov, sont données, en vertu de la formule ci-dessus, par

z = If 3(013).

On obtient donc alors sur Os une échelle de même module que celles portées sur Ox et Oy.

La construction de l'abaque se réduit par suite à celle des échelles

des fonctions/, (a,), f 2(3-2) el/3(a3), effectuée avec le même module, respectivement sur les axes Ox, Oy et O^ tels que l'angle xOy soit égal à — ou 1200, et que O: soit la bissectrice de cet

angle (fig. 34).

Ici, les index IM I2 etl3, respectivement perpendiculaires à Ox, Oy et Oz constituent les trois diagonales d'un hexagone régulier, d'où le- nom iïabaque hexagonal donné à ces sortes de dia-

grammes.

Si donc on veut constituer le transparent au moyen d'une matière rigide ayant des bords parallèles aux trois index, on lui donnera la forme d'un hexagone régulier.

L'orientation du transparent sera encore assurée au moyen de parallèles équidistantes à la direction de l'un des index f{ ), et son mode d'emploi ne différera pas de celui que nous avons précédemment indiqué pour les abaques à axes rectangulaires (n° 31). Nous croyons bon toutefois de le rappeler :

Le transparent étant orienté, et son index \{ passant par le point coté a, de la première échelle, on le fait glisser dans la direction de cet index (en appuyant une règle contre l'un de

(') Pour assurer rigoureusement cette orientation, il suffit de tracer sur le transparent un index I0 perpendiculaire à It. Cet index étant mis en coïncidence avec Ox de façon que le centre du transparent marque le point coté a, sur cet axe, on applique une règle contre un des bords du transparent, parallèles à I,, et l'on fait glisser ce transparent le long de la règle jusqu'à ce que l'index I2 passe par le point coté a2 sur Oy.

ÉQUATIONS A TKOIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. "jZ

■ses bords parallèles à I, s'il est rigide) jusqu'à ce que l'index L passe par le point a2 de la deuxième échelle. L'index l:! rencontre alors la troisième échelle en un point dont ht cote est la valeur a3 demandée.

33. Forme géométrique élémentaire du principe précédent. — Appelons A, B, C les points où les index In I2, I3 rencontrent respectivement Ox, Oy, Oz {fig. 35).

Fi g. 35.

Les segments OA, OB et OC représentent, d'après le numéro précédent, //,(a4), If '2(a2) et //3(a3). On a donc

OC = OA-i-OB,

et comme ces segments ne sont autres que les projections de la distance des points O et O' sur Ox, Oy et O^, on voit que l'égalité précédente exprime la propriété qui s'énonce ainsi :

La projection d'un vecteur sur la bissectrice d'un angle de 120° est égale à la somme des projections de ce vecteur sur les côtés de cet angle.

Cette propriété est d'ailleurs bien facile à démontrer directement. Elle traduit, en effet, l'identité trigonométrique

COS CD = COS r +W