TZ I

cos - = - 3 2

On peut donc, par une marche inverse, partir de ce théorème tout élémentaire pour établir le principe des abaques hexagonaux. C'est d'ailleurs ainsi qu'a procédé M. Lallemand pour établir la théorie de ce genre d'abaque (' ).

La voie par laquelle nous y sommes parvenus, un peu moins élémentaire sans doute, a toutefois l'avantage de rattacher plus intimement cette théorie au corps même de la doctrine exposée dans cet Ouvrage et qui embrasse la généralité des abaques.

34. Déplacement des échelles (2). — Si l'on se donne les limites des variables a, et a2 auxquelles correspondent respectivement les points KK et B, d'une part, A2 et B2 de l'autre, les limites de a3 en résultent attendu que lorsque les index 1, et I2 passent respectivement par A{ et A2, l'index 13 détermine sur la première échelle le point A3 ; de même pour B3. On voit, en outre, en vertu du théorème énoncé ci-dessus, que l'on a

Les points cotés sur A1 B, servent à déterminer la position de l'index 1, dont la direction, perpendiculaire à A,B,, est fixe. Il résulte de là que si l'on déplace l'échelle A4 Bf dans cette direction pour la reporter en A\ B\ , chaque point coté continuera à définir la même position pour l'index ït {fig- 36).

La même remarque s'appliquant aux deux autres échelles, on voit que chaque échelle peut être déplacée d 'une quantité quelconque normalement à sa direction.

On pourra donc prendre pour supports des échelles (a,), (a2)

(') En dehors de la Note insérée, en 1886, dans les Comptes rendus, par laquelle M. Lallemand a porté sa méthode à la connaissance du public, il en a sous forme de feuilles autographiées, datées de i885, donné un exposé complet qu'il a bien voulu mettre à notre disposition et d'où nous avons tiré tous les renseignements relatifs à ses travaux personnels, qui ont trouvé leur place dans cet Ouvrage.

(2) Les remarques contenues dans les nos 34 et 35, faites par M. Lallemand à propos des abaques hexagonaux, s'appliqueraient aussi bien aux abaques du n° 31.

ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. j5

et (a3) trois droites quelconques X, Y, Z parallèles aux axes Ox, Oy et O: précédemment définis. Il faudra toutefois rigoureusement observer la condition que les origines A,, A;, et \{ des trois graduations se correspondent, c'est-à-dire qu'elles se hou vent simultanément sous les index I,, I2 et I3.

Fig. 36.

Nous sommes ainsi amenés au mode de construction suivant des abaques hexagonaux :

Ayant choisi trois droites X, Y et Z formant un triangle équilatéral, et ayant pris sur IL un certain sens positif, nous définissons les sens positifs sur Y et sur Z par la condition qu'ils fassent avec le premier des angles {comptés dans le sens

trigonométrique positif ) respectivement égaux à — - et à — •

Si aK et bK sont les valeurs limites de a,, a2 et b2 celles de a2, nous construisons sur X et Y, avec un même module l dy ailleurs quelconque, les échelles des fonctions /<(<*<) et /2(a2) entre ces limites, en faisant correspondre à at et à a2 des points A< et A2 quelconques.

Les perpendiculaires élevées à X et à Y en A, et A2 se coupent en un point dont la projection sur Z est A3. Nous construisons alors sur Z, toujours avec le module l, V échelle de la fonction

,/s(a3) en /disant correspondre le point A3 à la valeur a3 telle que

££ «ow.ç /a prolongeons jusqu'au point qui est la projection sur Z du point de rencontre des perpendiculaires élevées à X et à Y par les points B< et B2 qui répondent aux valeurs limites bi et b2 des variables a4 et a2.

Remarque. — Rien n'empêchera, le cas échéant, s'il en résulte une meilleure disposition de l'abaque, de prendre, pour le support de l'une des échelles, une première droite jusqu'à une certaine valeur, puis une autre, parallèle à la première, à partir de cette valeur (voir les fi g. J\\ et 142).

35. Fractionnement des échelles. — Entre les limites aK et bK d'une part, a2 et b2 de l'autre, prenons des valeurs intermédiaires quelconques C\ et c2.

Quatre cas peuvent alors se présenter :

I ai est compris entre ai et Cj a2 entre a2 et c2

II at » Ci et bi a2 » a2 et c2

III at » <^i et Cj a2 » c2 et è2

IV ai u Ci et bi a2 » c2 et 62

Nous pouvons dès lors, sur une même feuille de papier, construire, d'après la règle qui a été donnée au numéro précédent, les abaques correspondant à ces quatre cas, indépendamment les uns des autres, mais en conservant de l'un à l'autre la même direction pour les axes.

Si l'on aligne sous une même position de l'index I{ les limites inférieures «4 et cK des deux tronçons de la graduation (a4), et sous une même position de l'index. I2 les limites inférieures a2 et c2 des deux tronçons de la graduation (a2), il en résulte que les limites inférieures des quatre tronçons de la graduation (a3) sont aussi alignées sous une même position de l'index I3 (fig. 3y).

Il faut bien remarquer, d'ailleurs, que chacune des graduations (a3) des cas II et III est formée de parties empruntées aux graduations (a3) des cas I et IV, puisque l'ensemble de celles-ci représente la graduation complète allant de (a4, b^ ) à (a2, b2).

L'ensemble des quatre abaques, ainsi réunis sur le même tableau, équivaut à l'abaque unique construit précédemment, et,

Fig. 37.

grâce à ce fractionnement, il occupe une place beaucoup moindre.

En outre, le travail que représente l'établissement de cel abaque fractionné n'est guère supérieur à celui que comportait l'abaque unique. En effet, les deux échelles (a,), ou les deux échelles (a2) respectivement mises bout à bout reproduiraient les échelles (a,) et (a2) non fractionnées; de même pour les deux échelles (a3) construites pour les cas I et IV. Quant aux deux autres échelles (a3), correspondant aux cas II et IN, nous venons de voir qu'elles sont constituées par des parties empruntées aux deux précédentes. Une fois celles-ci construites, leur établissemenl représente donc un supplément de travail insignifiant, à savoir eelui qu'entraîne le report sur un axe d'une partie de graduation relevée sur un autre axe.

Ici se place, d'ailleurs, une remarque essentielle : il arrive très fréquemment en pratique que les valeurs des deux variables indépendantes a, et a2, entre leurs valeurs extrêmes a{ et bt, a, et 62, ne s'associent pas d'une manière quelconque, mais que

leurs variations simultanées, quoique indépendantes, sont de même sens.

Dans ce cas, très fréquent, jele répète, on pourra trouver dans les intervalles de ci\ à bK et de a2 à b2 des valeurs moyennes c{ et c2 telles que af et ou leur seront ensemble respectivement supérieures ou inférieures. Dès lors, n'ayant jamais à associer une valeur de a4 inférieure à c, à une valeur de a2 supérieure àc2, et inversement, les combinaisons II et III ci-dessus ne se produiront jamais et la construction des échelles (a3 ) correspondantes devient inutile.

La construction de l'abaque à échelles fractionnées ne représente alors pas plus de travail que celle de l'abaque à échelles non fractionnées.

En tout cas, pour éviter qu'il y ait confusion dans la manière d'associer les divers tronçons d'échelles, on placera à côté de chacun d'eux certains signes, des chiffres romains par exemple, se référant aux abaques partiels dans lesquels il intervient, de sorte qu'on n'aura pour chaque lecture qu'à associer trois tronçons portant le même chiffre romain.

On pourrait aisément généraliser ce qui précède, et supposer que l'on fractionne les échelles (aH) et (a2) respectivement en nK et n% tronçons, ce qui conduirait à construire n{ n2 tronçons d'échelle («3), à moins que la remarque précédente ne s'appliquât; mais une telle généralisation, théoriquement sans difficulté, est pratiquement sans intérêt : il est donc inutile d'y insister.

Il arrivera, au contraire, très fréquemment, qu'il ny aura lieu de fractionner que l'une des échelles (a,) et (a2), la seconde, par exemple.

11 suffit, pour tomber sur ce cas, de supposer dans ce qui précède Ci = b{.

36. Exemples : i° Cinquième type d'abaque de multiplication. — L'équation de la multiplication étant mise, comme au n° 29, sous la forme

log^-t-loga, = loga3,

on voit que l'abaque hexagonal correspondant, emprunté à M. Lallemand, se construira immédiatement suivant le mode indiqué au n° 34, les trois échelles fonctionnelles étant ici de simples échelles logarithmiques données

par un même étalon. C'est là un cas où se manifeste bien nettement l'avantage signalé dans le premier alinéa du n° 32.

Sur l'abaque de la^. 38 les échelles de (ai)et de (a2) à côté desquelles

Fig. 38.

AA

AB

on lit la lettre A ont été l'une et l'autre fractionnées au point 3, et leurs seconds tronçons B ont été disposés de telle sorte que, pour le tronçon de l'échelle (a3) correspondant aux tronçons B, les points de division soient les mêmes que pour le tronçon de cette échelle (a3) correspondant aux tronçons A. Pour qu'il en soit ainsi, il a suffi, ayant pris le point 1 du premier tronçon AA de l'échelle (a3), d'en faire le point 10 du deuxième tronçon BB. Le point 9 de ce deuxième tronçon s'est dès lors trouvé déterminé, et il a suffi de placer les points 3 des tronçons B de (ai) et de (a2) sur les parallèles aux index Ij et I2 menées par ce point 9.

Associant ensuite le tronçon A de l'une des échelles avec le tronçon B de l'autre, on a obtenu, vu l'identité de ces échelles, le même tronçon AB constitué par la partie 3 à 10 de AA et la partie 10 à 3o de BB mises bout à bout, le point 3 se trouvant sous la position de l'index I3, quand les index ït et I2 passent respectivement par les points 1 et 3 d'un tronçon A et d'un tronçon B conjugués.

i° Abaque des corrections dynamiques de niveau. — Les corrections d'altitude r\± et de latitude ri2, exprimées en décimillimètres, qu'il faut faire subir à une différence brute de niveau d, exprimée en mètres, pour

So CHAPITRE II.

obtenir la différence correspondante de niveau dynamique, sont données par

7)2 = — 26 d cos 2X,

H étant l'altitude moyenne exprimée en mètres, X la latitude moyenne exprimée en grades.

Remarquons que, sauf le cas très exceptionnel de régions situées en contre-bas du niveau de la mer (pour lesquelles H est négatif), la correction d'altitude 7)t est de signe contraire à celui de la différence de niveau.

En outre, la correction de latitude 7)2 doit être prise avec le signe de la différence de niveau ou le signe contraire suivant que la latitude X est

supérieure ou inférieure à - ou 5oG.

Nous sommes ainsi amenés à négliger les signes des seconds membres, et, par suite, à prendre la même valeur de r/2 pour deux valeurs de X supplémentaires, ce qui montre qu'il n'y aura lieu de faire varier X qu'entre

o et — •

Gela posé, pour traduire ces formules en abaques hexagonaux, il suffira de les écrire

log rf-f- logH + logO, OOI9 = log | 7)i |, log<:/ -h log COS'2 X -t- log 26 — log j 7)2 |.

Pour la première, on aura donc à construire :

Sur l'axe X, l'échelle x — /loge/,

» Y, » y= /(logH -h logo, 0019),

» Z, » z = Zlog| 7)1 J;

pour la seconde :

Sur l'axe X, l'échelle x = /logé/,

)> Y, » y = Z(logcos2X -h logaô),

» Z, )> Z — /log | 7)2 |,

/ étant un module quelconque.

On voit que de l'un à l'autre abaque les échelles portées sur X et sur Z sont les mêmes. On pourra donc les prendre en commun, et construire parallèlement l'une à l'autre les deux échelles (H) et (X) portées sur les axes Y.

En outre, on pourra fractionner l'échelle ( d) commune au point d — 10, en faisant coïncider le point 10 du second tronçon avec le point 1 du premier, ce qui entraînera de même la coïncidence de tout point 10 a du second tronçon avec le point a du premier.

D'ailleurs, les corrections riX et rt2 étant proportionnelles à d, le tronçon

ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. 8l

correspondant de l'échelle (r^, r)2) s'obtiendra simplement en multipliani par 10 les cotes des points du premier tronçon (').

C'est ainsi qu'a été obtenu l'abaque de la fig. 3g emprunté à M. Lallemand (2).

Fig. 39-

Mètres

(') On reconnaît là une application du principe des multiplicateurs correspondants ( n° 21 ).

(-) Nivellement de haute précision (tirage à pari), p. 3i.

Pour éviter toute confusion, on a souligné les cotes des seconds tronçons des échelles (d) et (r;1, y)2).

Le mode d'emploi de l'abaque, moyennant cette distinction des deux tronçons des échelles (d) et (r;1, ï]2), se résume donc en ceci :

Le transparent étant orienté, et son index \^ passant par le point coté d de la première échelle, on le fait glisser dans la direction de cet index de manière à amener son index I2 à passer successivement par les points cotés H et \ des secondes échelles (verticales); dans ces deux positions, l'index I3 donne sur la troisième échelle d'abord rit) puis rj2.

On trouvera plus loin (n° 109) une autre application de la méthode des abaques hexagonaux dans le cas des équations à trois variables.

37. Juxtaposition d'abaques hexagonaux. Abaques à glissement. — Le principe des abaques hexagonaux a été étendu par M. Lallemand lui-même à des équations contenant un nombre quelconque de variables, grâce à un artifice qui peut revêtir la forme analytique que voici :

Prenant un nombre quelconque de fonctions d'une variable, posons

( n — •>, ) ffl-i ( a„! ) -H <7a-l = °n .

Nous pourrons représenter ces diverses équations par des abaques hexagonaux définis par les mêmes axes Ox, Oy et Oz, en ayant soin d'écarter les unes des autres les échelles parallèles à un même axe par application de ce qui a été vu au n° 34, c'est-à-dire en alignant les origines de ces échelles sur une perpendiculaire à leur direction commune menée par l'origine O.

Nous définirons, d'ailleurs, les échelles des divers abaques par les formules (où, pour plus de simplicité, nous faisons le module / égal à i)

-f-/2(a2) = ff3>