III
X = ff4,
(IV
Suivant que n sera pair ou impair, les formules relatives au dernier abaque seront
(N — II) a?=<r„, y=^—fn-\{<*-n-\\ z = <*n-i
ou
(N — II)' X=(Tn-U y=fn-l(«n-l), Z = (Sn.
On voit que les abaques des équations (k) et (Â-f-i) ont en commun l'échelle de Og si À est impair, celle de Ox si /.est pair. Par conséquent, pour faire passer le transparent de sa position sur V abaque de rang (k) à sa position sur V abaque de rang (k -\- i), il suffit, en maintenant son orientation, de le faire glisser perpendiculairement à Oz, c'est-à-dire dans lv direction de l'index I3, si k est impair, perpendiculairement à Ox, c'est-à-dire dans la direction de l'index I,, si k est pair.
Cela posé, remarquons que les équations (1) à {n — 2), additionnées ensemble, donnent
/i(ai)-+-/2(*2)4-. • •+/«-i(a«-i) = »».
Construisons sur l'abaque les échelles (a,), (ou), ..., (a,i,) à l'exclusion des échelles (0-3), (<74), . .., (s"//-i) et sur l'axe qui porterait l'échelle (o-/z), construisons celle de la fonction — fn(<Zn)i c'est-à-dire construisons l'échelle x =■ — fn{^n) si n est pair, l'échelle z=- — -fn(oi.n) si n est impair.
Nous aurons ainsi
et nous voyons, d'après ce qui vient d'être dit, que tout système de valeurs de a,, a2, ..,, OLn satisfaisant à l'équation ( E) sera tel que, si, après avoir fait passer l'index I, par le point (a,), on donne au transparent les glissements alternatifs qui viennent d'être définis, de manière à prendre successivement avec l'index I2 les points (.a2), (a3), ..., (a,,^), l'index^ si n est pair, I3 si n est impair, donnera, dans la dernière position du transparent, la \ aleur de an sur l'échelle correspondante.
En résumé, la représentation de l'équation (E) ci-dessus s'obtiendra comme suit ( fig. 4o et \o bis) :
En ayant soin d'aligner les origines des échelles parallèles à un même axe sur une perpendiculaire élevée en O à cet axe.
on construit parallèlement à Ox l'échelle de la fonction fK (a, ), parallèlement à Oy celles des fonctions f 2(0.2) , — ,/s (a3 )? /s(a4)5 — / s ( a s ) ? • • •■> (— *)nfn-\ (v-u-\ )•> enfin parallèlement à Ox si n est pair (fig- 4°)^ ^Os sj tt est impair (fig. 4° #w), celle de la fonction — fn(o.n)»
Fig. /Jo.
fa<s>
0/i trace, en outre, deux flèches F' <?£ F'; perpendiculaires V une à 0^, V autre à Ox.
Fig. 4o è/«.
fa7;
Et Je mode d'emploi de l'abaque est le suivant : Le transparent étant convenablement orienté, on fait passer son index \{ par le point (a,), son index I2 par le point (a2), puis on le fait glisser alternativement dans le sens desflèches ¥' et F'7, de façon à amener successivement son index I2 à passer par les points (a3), (a<(), (a5), .... Quand cet index I2 passe
par le point (a„f), l'index, I, ou I3, perpendiculaire à V échelle (aw), rencontre cette échelle en un point dont la cote est la valeur de oin demandée.
Nous rencontrons ainsi un premier exemple de représentation d'une classe d'équations à un nombre quelconque de variables.
38. Exemple : Abaque des sinus et des tangentes. — Nous emprunterons à M. Lallemand l'exemple suivant : Soit à représenter les équations
eux sina2 = a4 sina3, oli tang a2 = a4 tanga3,
qui sont d'un usage fréquent dans les applications de la Trigonométrie plane. Nous les écrirons
logotj-f- log sina-2 — logsina3 — loga4=o, loga! + log tanga2 — log tanga3 — loga4= o.
Pour représenter la première, nous n'aurons, d'après ce qui précède, qu'à construire parallèlement à Ox l'échelle des fonctions log»t et loga, qui n'en formeront qu'une, parallèlement à Oy celle des fonctions log sina2 et log sina3 qui se confondront également.
De même pour la seconde équation, en changeant les log sin en log tang. On pourra, d'ailleurs, faire coïncider les échelles logarithmiques (at), ou échelles des longueurs, des deux abaques. On obtient ainsi la fig. ^i sur laquelle l'échelle des tangentes a été fractionnée au point coté 45°.
Il n'y a ici à effectuer qu'un seul glissement dans la direction des parallèles équidistantes tracées sur l'abaque.
Le mode d'emploi sera donc le suivant :
Faire passer les index Ii et I2 du transparent convenablement orienté respectivement par les points (at) de l'échelle des longueurs et (a2) de l'échelle des sinus {ou des tangentes), puis faire glisser ce transparent dans la direction des parallèles équidistantes jusqu'à ce que son index I2 passe par le point (a3) de l'échelle des longueurs ; son index i y coupe alors l'échelle des sinus (ou des tangentes) au point coté (a^).
Si, après avoir pris l'échelle des sinus dans la première position du transparent, on prenait, après glissement, l'échelle des tangentes, on aurait résolu l'équation
aj sin a2 = a4 tanga3.
39. Définition de V anamorphose graphique. — Tous les abaques envisagés jusqu'ici dérivaient d'un type unique ainsi
constitué : un quadrillage coté sur lequel est dessiné un faisceau
de courbes cotées.
Les cotes des verticales du quadrillage se rapportent à une des variables a1? celles des horizontales à une autre variable a2, enfin les cotes des courbes à la troisième variable a3, et les valeurs de ces trois variables se correspondent en vertu de l'équation proposée lorsque cette verticale, cette horizontale et cette courbe se croisent en un même point.
Les diverses cotes croissant/^//- échelons égaux, le quadrillage pourra être régulier ou irrégulier, c'est-à-dire; que les deux sys tèmes de parallèles qui le constituent pourront être à intervalles égaux ou inégaux.
L'abaque d'une équation à trois variables, construit avec un quadrillage quelconque, pourra toujours être considéré comme transformé de celui que donne la méthode cartésienne (n° 1G), si l'on fait correspondre à chaque droite du quadrillage régulier que comporte celle-ci la droite parallèle de même cote du quadrillage irrégulier que l'on aura choisi.
Rien d'ailleurs n'est plus facile que de passer de l'abaque cartésien à son transformé. Si, en effet, un point du premier se trouve à la rencontre de la verticale a, et de l'horizontale a2, son transformé sera également sur le second à la rencontre de la verticale a, et de l'horizontale a2. Cette remarque, appliquée aux divers points d'une courbe tracée sur le premier abaque, permet de construire immédiatement la courbe correspondante sur le second.
L'anamorphose, telle qu'elle a été ci-dessus envisagée, a pour but de déterminer ce quadrillage irrégulier de façon que toutes les courbes données par la méthode ordinaire sur le quadrillage régulier deviennent des droites.
On vient de voir à quel caractère analytique se reconnaît la possibilité d'une telle transformation et de quelle façon elle se réalise pour une équation de forme donnée, mais on peut aussi tenter de l'effectuer sur un abaque cartésien dont les courbes ont été obtenues empiriquement, en transformant l'une d'elles, suivant le mode indiqué au n° 15 et voyant, avec le nouveau quadrillage ainsi défini, ce que deviennent les autres.
Une telle anamorphose est dite graphique. Lalanne en a fait connaître un exemple remarquable, relatif à l'abaque qui traduit la loi de mortalité de Demonferrand pour la population française (1).
M. Lallemand a utilisé l'anamorphose graphique à un autre point de vue, en se proposant non pas de substituer des droites à
(') Mémoire sur les Méthodes graphiques^ dans les Notices publiées par !<• Ministère des Travaux publics à l'occasion de l'Exposition de Melbourne (Imp. Mat.; 1880), p. 3;4 à 379.
des courbes, mais de remplacer des courbes coupant un des systèmes d'axes du quadrillage sous un angle trop petit par d'autres courbes ne présentant pas le même inconvénient par rapport aux axes du quadrillage transformé.
