Systèmes de courbes cotées. - Soit l'équation

où a désigne un paramètre arbitraire, x et y des coordonnées ponctuelles quelconques, généralement des coordonnées cariésiennes.

A cbaque valeur de a correspond une courbe, et, lorsqu'on fait varier ce paramètre de — oc à -f- oo, on obtient un système simplement infini ou faisceau de courbes.

Supposons que, faisant varier a par échelons égaux entre les limites a et 6, nous construisions la partie de chacune des courbes correspondantes comprise à l'intérieur d'une certaine aire A en ayant soin d'inscrire à côté de chacune d'elles la valeur correspondante du paramètre a; nous obtenons ainsi un système de courbes cotées (a) (1).

Toutes ces courbes sont tangentes à une même courbe, leur enveloppe, dont l'équation est le résultat de l'élimination de a entre les équations

Mais, outre que la partie de cette enveloppe, qui est tangente aux courbes tracées, se trouve généralement en dehors de l'aire A, il faut remarquer que, sauf dans le cas où les courbes cotées sont des droites, elle n'offre aucune utilité pratique.

Si l'on est conduit à envisager une valeur de a autre que celles qui ont servi à la construction du système, on doit se figurer entre les courbes effectivement tracées les plus voisines, celle qui répondrait à cette valeur de a, en se laissant guider par l'allure des courbes environnantes. Cette interpolation à vue est, on le voit, assez délicate et la précision qu'elle peut donner dépend bien évidemment de l'habitude qu'en peut avoir le lecteur.

(') Rappelons, ainsi que nous l'avons déjà dit au n° 16, que ces courbes ont également reçu le nom de courbes d'égal élément (Lalanne) et de courbes isoplèthes (Vogler et Lalanne). Nous nous en tenons au ternie plus simple et pluexpress if de courbes cotées.

Lorsque, par la suite, nous parlerons des courbes cotées d'un système, on devra entendre par là non seulement celles qui seront effectivement tracées sur le tableau, mais encore celles qu'il est possible de leur adjoindre par une interpolation à vue.

Il convient d'observer que la construction d'un système de courbes cotées ne comporte pas, en général, à beaucoup près, un travail équivalent à la somme de ceux qu'exigerait la construction des courbes qui le constituent, prises individuellement. Il arrive, en effet, presque toujours que, une fois l'une de ces courbes obtenue, le tracé des autres s'en déduit avec une grande facilité. On peut citer, à ce point de vue, comme particulièrement caractéristique, l'exemple des systèmes de courbes qui se rencontrent plus loin aux noS 125 et 126.

43. Disposition des cotes d'un système. — On peut placer la cote d'une courbe d'un système en un point quelconque de cette courbe, il sera même bon, si le tableau est de quelque étendue, de la répéter de distance en distance le long de cette courbe, pour que, en partant d'un point quelconque, l'œil n'ait pas à effectuer un trop long parcours avant de rencontrer la cote cherchée.

Pour faciliter cette recherche, il conviendra aussi d'observer une certaine continuité dans l'inscription des cotes des diverses courbes, c'està-dire de les disposer le long d'une courbe d'allure régulière, d'ailleurs quelconque. Une bonne disposition consistera à choisir à cet effet une trajectoire orthogonale du système des courbes cotées, ou du moins une courbe s'en écartant peu.

On pourra également échelonner les cotes le long d'une trajectoire dont les arcs, compris entre les diverses courbes du système, seront tous égaux entre eux, de telle sorte que, sur cette trajectoire, les cotes seront régulièrement espacées.

On voit d'ailleurs immédiatement que, si les courbes cotées sont considérées comme les projections des courbes de niveau d'une surface, une telle trajectoire n'est autre que la projection d'une ligne d'égale pente de cette surface.

En vertu de la remarque qui termine le n" 31, on pourrait, pour transformer un abaque à parallèles en un abaque avec transparent à trois index, prendre comme trajectoire des cotes de chacun des systèmes de parallèles une courbe répondant à la condition ci-dessus. La partie restante de l'abaque se composerait alors de trois courbes graduées régulièrement. Mais cela n'a qu'un intérêt purement théorique.

Dans tous les cas, on simplifiera l'inscription des cotes, en même temps qu'on rendra la lecture plus sûre, par l'emploi de traits de force qui serviront au tracé des courbes prises de io en io, par exemple, des traits un peu

moins renforcés étant encore appliqués aux courbes médianes des intervalles laissés entre les premières. C'est là une extension toute naturelle de la Remarque qui termine le n° 2.

44. Systèmes de droites, du premier degré ('). Si l'équa tion d'une droite eontient algébriquement le paramètre a au degré ft, elle définit un système de droites, du /*,iùme degré. De telles droites admettent en général une enveloppe de la classe //, puisque, à un couple de valeurs données pour x et y, correspondent n valeurs de a, ce qui montre que, par tout point, on peut mener n tangentes, réelles ou imaginaires, à l'enveloppe du système.

Les cas les plus intéressants sont ceux de n = 1 et n = 2, pour lesquels l'enveloppe se réduit respectivement à un point et à une conique.

Considérons d'abord un système de droites (a) du premier degré. Son équation est de la forme

(1) U + aV = o,

où U et V sont des fonctions linéaires en x et y.

A a = o et a = oo correspondent respectivement les droites U = o et V = o, représentées sur la fig. 4?> par AB et AC.

Toute autre droite (a) ou AM du système passera par le point de rencontre A de ces deux premières droites.

Si l'on remplace U et V par leurs valeurs développées en x

(') L'étude des systèmes de droites du premier et du deuxième degré a été faite dans le Mémoire cité de M. Massau, où les résultats rappelés ici sont établis d'une façon un peu différente.

et y. on voit que l'équation (i) renferme, sous forme homogène, six coefficients. Il faut donc cinq conditions pour définir le système. La connaissance du point A équivaut à deux conditions, Il faudra donc connaître les cotes de trois droites menées par ce point pour que la détermination géométrique du système soit complète.

Coupons ce système par une droite BG quelconque. L'équation (i), conservant la même forme pour un changement quelconque des axes de coordonnées, nous pouvons, sans nuire à la généralité, supposer que cette droite BG se confond avec l'axe des x. Alors, pour avoir l'échelle déterminée sur cet axe par le système (a), il suffira de faire y = o dans (i), ce qui donne l'équation d'une échelle linéaire (n° 7).

D'après ce qui a été vu en cet endroit, on peut construire géométriquement une telle échelle lorsqu'on en connaît trois points. En particulier, on peut se servir des points B (a = o) et G(a =00), auxquels on adjoindra le point de rencontre M d'une droite quelconque (a) du système avec la droite BG.

Rappelons quelle est la construction donnée au n° 7 : si, par le point M, on mène la parallèle MB' à AC, l'échelle régulière ayant son point (o) en B' et son point (a) en M, projetée à partir de A sur BG, donne, sur cette droite, l'échelle demandée. On peut donc dire que le faisceau cherché détermine sur toute droite parallèle à AG une échelle régulière.

45. Systèmes de droites, du second degré. — Un tel système est défini par une équation de la forme

(1) U+aV + a^W-o,

où U, V, W sont des fonctions linéaires en x et y.

A a == o et a = co correspondent respectivement les droites U = o et W = o, représentées sur la Jig. 44 Par AB et AG. Soit, en outre, BG la droite V — o.

L'enveloppe du système a pour équation

V2— 4UW = o.

C'est donc une conique T tangente à AB et à AG en B et en C. L'équation (1) renferme, sous forme homogène, neuf coeffï-

ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. û5

cients. Il faut donc huit conditions pour définir le système. La connaissance de la conique Y équivaut à cinq conditions. Il faudra donc, si elle est donnée, connaître, en outre, les cotes de Mois de ses tangentes pour que la détermination géométrique du système soit complète. La conique F sera d'ailleurs définie si on a ses points de contact avec trois des tangentes cotées données.

En particulier, lorsque les droites AB, AC et BG ont été construites, on connaît, par le fait, deux tangentes cotées AB(a = o) et AG(a = oo ) avec leurs points de contact B et G. Il suffit alors de construire une autre droite quelconque MN de cote a, pour que le système soit géométriquement défini.

Quatre droites quelconques du système, prises avec leurs cotes, équivalant à huit conditions, permettront également de construire le système.

Cette construction repose, dans tous les cas sur le théorème suivant : Les points de rencontre, pris avec les cotes correspondantes, de toutes les droites du système avec V une quelconque d'entre elles forment une échelle linéaire.

En effet, les points de rencontre des droites du système défini par l'équation (i) avec la droite dont l'équation est

(2) U + a0V + agW = o se trouvent sur les droites du système

dont l'équation s'obtient par soustraction de (i) et (2), et comme

ce système est du premier degré, l'échelle qu'il engendre sur la droite (2) est linéaire. Le point coté a0 sur cette échelle est évidemment son point de contact avec la conique T.

En particulier, les échelles situées sur AB et sur AG sont données l'une par

(4) U = o avec V + aW=o, l'autre par

(5) W = o avec U-^-aV — o.

Si l'on connaît quatre droites cotées du système, on a, sur chacune d'elles, par sa rencontre avec les trois autres, trois points de l'échelle linéaire correspondante. On peut donc construire cette échelle (n° 7). Après en avoir ainsi obtenu deux, il suffit de tirer des droites entre leurs points de même cote pour avoir le système demandé.

Revenons au cas où l'on a tracé les droites AB, AC, BG et une droite MJN de cote quelconque a dans le système.

L'échelle linéaire sur AB est définie par les points B(o), M(a) et A (oc); celle sur AG par les points A(o), N(a) et G (00).

Si nous menons par M Ja parallèle MB; à AG et que nous construisions sur cette droite l'échelle régulière ayant son point (0) en B' et son point (a) en M, il nous suffira de projeter cette échelle à partir de G sur AB pour avoir l'échelle située sur cette droite. De même l'échelle située sur AG s'obtiendra par projection à partir de B de l'échelle régulière construite sur la parallèle NA7 à BG et ayant son point (0) en A; et son point (a) en N.

Le point E où la droite (a) touche son enveloppe Y est défini par l'équation (i) et sa dérivée par rapport à a,

(6) V+2aW = o.

Cette dernière équation, multipliée par \- et retranchée de (1), donne

Le point E se trouve donc à l'intersection des droites définies par (6) et (7). Or, la comparaison de ces équations avec (4) et (5) montre que la première représente la droite qui joint le point C

ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. <r

au point coté 2a sur l'échelle de AB, et la seconde la droite qui