OC

joint le point B au point coté - sur 1 échelle de AG. De là une

facile construction du point E lorsque ces deux échelles onl été obtenues.

Remarque. — Pour qu'une échelle linéaire soit régulière, il faut que son point coté (oo) soit à l'infini. Il n'y aura donc, en gé néral, qu'une droite d'un système du second degré sur laquelle les autres détermineront une échelle régulière, à savoir celle qui sera parallèle à la droite cotée (oo), c'est-à-dire la tangente à la conique r parallèle à AC. Toutefois, si la droite (oo) est tout entière transportée à l'infini, ce qui a lieu lorsque W se réduit à une constante, auquel cas la conique F est une parabole, les échelles de toutes les droites du système sont régulières. La conique Y peut d'ailleurs être une parabole sans que sa tangente cotée (x i soit précisément celle qui est située à l'infini.

46. Abaque général à trois systèmes de courbes cotées. Considérons les trois systèmes de courbes cotées définis respectivement par les équations

(ai) Fi(#,7, a^)=o,

(as) F3(a?, y, a3)=o.

Si trois courbes prises respectivement dans ces systèmes concourent en un même point, leurs cotes sont liées par l'équation

(E) *(a1,a2,a3)=oJ

obtenue en éliminante et y entre les trois équations précédentes, et cela, bien entendu, quelle que soit l'espèce (cartésiennes, polaires, etc..) des coordonnées x et y.

L'ensemble des trois systèmes (a,), (a2) et (a3) constitue donc un abaque de l'équation (E), dont le mode d'emploi tient dans ce simple énoncé :

La valeur de la variable prise pour inconnue est donnée par la cote de la courbe du système correspondant, guipasse par le point de rencontre des courbes cotées au moyen des va- M. d'O. 7

leurs des deux autres variables dans les systèmes correspondants.

On voit que si l'équation (E) est donnée, on pourra choisir arbitrairement deux des trois équations de courbes cotées, les deux premières, par exemple, la troisième s'obtenant par l'élimination de a< et ou entre celles-ci et l'équation (E).

Mais, et c'est là un point essentiel, il faudra à la fois que les équations (a,) et (a2) qu'on se sera données et l'équation (a3), obtenue comme on vient de le dire, représentent des courbes réelles.

Lorsque, sous cette condition, on formera les équations (a,), (a2) et (a3), qui, par élimination de x et y, devront redonner l'équation (E), on pourra dire que l'on opère la disjonction des variables.

Il faut, en outre, remarquer qu'en pratique les variables a! et a2 prises comme variables indépendantes auront des limites aK et bK pour l'une, a2 et b2 pour l'autre. On commencera donc par construire les courbes correspondantes (a*) et(b^) du premier système, (a2) et (b.2) du second {ftg> 45)- Ces courbes détermi-

Fig. 45.

neront un quadrilatère curviligne, et il ne sera, bien entendu, nécessaire de construire les diverses courbes (a^),(a2) et (a3) qu'à l'intérieur de ce quadrilatère. Toutefois, si ces courbes sont

des droites ou des cercles, dont le tracé ne coûte pas plus de peine quand on l'étend davantage, on pourra, en vue par exemple d'une plus grande netteté dans l'inscription des cotes, les prolonger au delà des limites qui viennent d'être définies.

Remarquons enfin qu'il pourra y avoir lieu de pratiquer l'interpolation dont il a été question au n° 4-2 pour une, pour deux des variables, ou même pour les trois à la fois. L'opération mentale, qui consiste à se figurer, au milieu des courbes effectivement tracées, les trois courbes correspondant aux deux données et a l'inconnue, exige alors quelque attention et fournit des résultats dont la précision dépend évidemment de la plus ou moins grande habitude du lecteur et de la justesse de son coup d'œil.

On voit immédiatement comment les méthodes déjà exposées résultent du principe général ci-dessus.

Il suffit de prendre pour équations (a<) et (a2)

(ai) xr=lxau

pour obtenir comme équation (a3)

C'est la méthode cartésienne (n° 16).

Si l'équation (E) est de la forme

/i(ai)/3(a3)-h/2(a2)cp3(a3)+^3(a3) = o,

on n'a qu'à prendre pour équations (a, ) et (a2)

(aj) 3?= Ji/i(ai)i

(«0 y=hM<*2),

pour avoir comme équation (a3)

(a3) jM**)-*- f <?»(**) -i-ty*(**) = o.

On retrouve ainsi la méthode de V anamorphose (n° 24) telle qu'elle a été donnée par Lalanne.

Voyons maintenant quelle nouvelle extension de l'anamorphose peut résulter du principe général qui vient d'être indiqué.

Al. Abaques à trois systèmes de droites entrecroisés. L'anamorphose de Lalanne avail pour objet, en substituant à un quadrillage régulier un quadrillage irrégulier, de transformer un système de courbes cotées dessiné sur le premier en un système de droites sur le second.

Supposons maintenant qu'au lieu d'un quadrillage nous construisions un réseau formé de deux systèmes de droites quelconques et que, dans ces conditions, les courbes cotées correspondant à la troisième variable soient aussi des droites quelconques.

Si, pour abréger l'écriture, nous écrivons J), co;, tyi au lieu de fi(a.i), <p/(a*)> tyi(&i)i pour jf=i, 2, 3, nous voyons que nous aurons pour les systèmes (a, ), (ou) et(a3) les équations

a?/i-+-<7?i-*-tW= °<

Xf'2-J^y^2-1<- *\>2 = o,

L'élimination de x et y entre ces trois équations nous donne l'équation représentée qui peut s'écrire

Si donc une équation peut être mise sous cette forme, on pourra immédiatement effectuer la disjonction des variables par les équations (ai), (ou) et (a3) ci-dessus, et, en construisant les trois systèmes de droites définis respectivement par ces équations, on aura constitué un abaque à droites entrecroisées pour l'équation (E).

C'est en cela que consiste le principe de l'anamorphose généralisée, énoncé pour la première fois par M. Massau ( ' ).

Pour reconnaître si ce principe est applicable à une équation donnée, il faudra d'abord essayer de la mettre sous la forme (E) ci-dessus. Si l'on n'a pas recours pour cela à une méthode analytique rigoureuse (2) on se livrera à quelques tâtonnements. Ceux-ci seront d'ailleurs facilités si l'on a déterminé a priori certains

(') Intégration graphique, Liv. III, Ch. III, §2. (-) Voir le n° 154.

types d'équations susceptibles de revêtir la forme (E) ci-dessus (*). Il est intéressant à cet égard de s'arrêter au type ci-dessous <|ui a été rencontré par M. Massau (2).

48. Type d'équations rentrant dans la classe précède nie. — Ces équations sont celles de la forme

(i) ( m^-i- nx){nua,-^ ^2)/s-h(j[?1a1-h <7i)(/>2a2-h q2)v:i

-t- ( ri ai -+- *i (r2a2-H .ç2)^3= <>

où/:J, cp3 et ^:$ représentent des fonctions quelconques de a3.

Puisque nous sommes libres de choisir les équations (a,) et (a2) (n° 46) prenons celles qui résultent de l'élimination de ou d'une part, de a, de l'autre, entre les équations

(miaj-4- /ii )(msasH-/is) '(p\*\ -+-#i)(/>s«2-t- q-i)

(r1a1-t-*1)(r2a2-!-52) (/*iai-t- $i)(r2a2H- '*»)

L'équation (a3) sera alors

(a3) .r/3-f- jcp3H-^3= o.

Formons les équations (a, ) et (ou) ainsi qu'il vient d'être dit. Par un calcul qui exige quelques écritures mais n'offre aucune difficulté, puisque chacune des équations (2) est du premier degré par rapport soit à c/H, soit à ou, nous obtenons

, N D9S9 — r^qc, r»n<> — m.yS* m>q> — n»p«

{<Xi ) £- — ii x h — — y H -1±— — — = o,

/?i1a1-H/i1 Pi^\~~ Q\ r\a.i— Si

/„ \ P\&\—r\q\ ri/ii—fniSi miqv—nxpv

m2a2-h /i2 y?2a2+'72 r2a2-hs2

Ces deux dernières équations définissent des systèmes de droites du second degré.

L'équation ( 1 ) ci-dessus est donc représentable par trois systèmes de droites dont deux nécessairement du second de-

rrrp

Mais il y a plus : Ces deux systèmes du second degré admettent la même conique enveloppe.

(') Voir plus loin (Ch. VI, II B) l'étude des équations obtenues en supposant toutes les fonctions /, cp, 4» linéaires.

(2) Loc. cit. Les démonstrations ici données sont entièrement différentes de celles de M. Massau.

Pour le démontrer il suffit de faire voir que les droites (a,) et (a2) coïncident deux à deux, c'est-à-dire que, quel que soit al5 on peut déterminer a2 de façon que les droites (a,) et (a2) coïncident. La vérification directe de ce fait exigerait des calculs très compliqués; elle devient fort aisée grâce à l'artifice suivant :

Rien n'empêche, pour la construction de l'abaque, de substituer aux variables a, et a2 les variables a't et a'2 définies par

Il suffira seulement, lorsqu'on se sera servi d'une valeur soit de a'j, soit de a'2, pour construire une droite, de coter cette droite à l'aide non pas de cette valeur de a ou de a'2, mais de la valeur correspondante de a1 ou de a2.

Un calcul facile montre que

[ , qi^i — piSi \ Pi = »

r „ +1 =^iai -+- ^i avec

/)?a»+ff.) , , ! n±j\ — w2 s2

— = /?2a, -+- <?, avec <

1 rt2r2 — m2S2

Dès lors les équations (a,) et (a2) ci-dessus deviennent

Ces équations représenteront une même droite si l'on peut avoir

à la fois

Pî*z /?2a2-f- ?'2 9^ ^

/i«i "Pia'i + ^i " ^1 Or, ces deux égalités se réduisent évidemment à une seule

' 7 2 — °> 1 /7 ' — et

/>2 a2 P1&1 9i TT

Il suffira donc que a',, et a'2 satisfassent à cette équation pour que les droites (a'a) et (a'2) coïncident. Autrement dit:

Si a, et a2 sont liés par la relation

rxqx— sxp\ mtat

fti

''•) </-2 — s-i/>ï i>t.îy.î - n=>

m\q\—n\P\ ridx + si

m2<Jl — H-2P-2 '*2^2 *2

les droites (a4) et (a2) coïncident.

Ainsi donc les systèmes (a,) et (a2) seront constitués par les mêmes droites (tangentes à une certaine conique) affectées de cotes différentes. Tl n'y aura évidemment, pour éviter toute confusion, qu'à distinguer les cotes se référant à l'un ou à l'autre système au moyen d'un signe quelconque (indice, accent, tiret, ...). 11 arrivera d'ailleurs souvent que la portion utile de chaque système ne comprendra pas les mêmes droites. On aura dès lors affaire à deux groupes distincts de tangentes à une même conique et il sera superflu d'affecter leurs cotes de signes particuliers.

49. T r ans formation homo graphique d'un abaque à droites entrecroisées. — Les lignes, droites ou courbes, qui, par leur entrecroisement, constituent un abaque, peuvent évidemment être soumises à une transformation ponctuelle quelconque pourvu que leurs cotes se conservent.

En particulier, la transformation homographique la plus générale, avec laquelle toute droite donne une droite, sera applicable à tout abaque à droites entrecroisées, puisque à trois droites concourantes du premier abaque correspondront trois droites concourantes du second.

Pour obtenir l'expression analytique de cette transformation, il suffît de multiplier l'équation mise sous la forme

«pi