CD

par le déterminant

où les lettres A, p, v, )/, ja', ... désignent des nombres quelconques, mais tels que D soit différent de zéro.

La règle bien connue de la multiplication des déterminants montre que l'équation s'écrira alors

X/i "+■ !J-?i ■+■ v^i X'/, - H !J-'?i + v'^i X"/, ~~ lx"^i ■+■ v" ^1

Af.2 — |J.Cp2 -T- V<12 X/3 + (a'f 3 — V<^3

Elle sera par suite représentable par les trois systèmes de droites

(a,) a?(X/!+ jiOi-4- v4/1)+^(X'/1+ n'^-hv'^) + X"/,- - F"?1+ v"^ = o, (a2 ) xÇkff, 4- {Jicp2 -h v62 ) -t-JK(X'/2-r- n'oj+v'^) — X"/2— ;jl"<?2— v"4>2 — o. (a3) #(X/3-+- jx<p3-+-v^3 >-hJK(X'/3-h fx'<p3-h v'63)- •- X"/3-- p."^3+v"4/3 = o.

Ainsi les nombres A, tx, . . ., v" étant astreints à la seule condition que leur déterminant D soit différent de zéro, les trois dernières équations écrites définissent V abaque à droites entrecroisées le plus général pouvant servir à représenter l équation (E) ci-dessus.

On peut d'ailleurs prendre pour fonctions /i, cp1? . . ., <j/3 celles qui correspondent à un quelconque des abaques à droites entrecroisées de l'équation proposée. Lors donc qu'on aura réussi à former l'un de ceux-ci, on aura du même coup obtenu tous les autres, pouvant s'en déduire homograpliiquement, avec conservation des mêmes axes de coordonnées.

Exemples : i° La première variante du second type d'abaque de multiplication { fig. 23) est constituée par les droites

aj x — loy = o.

qui conduisent, pour l'équation

de la multiplication, à la forint'

o to — a.

Remplaçons la seconde colonne par la somme des deux premières.

Gela nous donne

oli a.v — [o o

axx -+- ( at — io)/ = o,

d'où les équations

qui définissent précisément la seconde variante {fig. 23 bis).

Une simple permutation des colonnes du premier déterminant le Inins

forme en

! — io o at

d'où les équations

O - QC2 I

io — a;i o

— \ox -h ai = o,

ÏO.2? — a3y = o,

qui définissent un abaque du troisième type {fig. 28); 20 Un abaque de l'équation

étant constitué par les systèmes de droites dont les équations sont

on voit que l'équation peut se mettre sous la forme

1 o —fi !

o I — fi j = o.

I I —fi

Multipliant ce déterminant par

lOÔ CHAPITRE II.

nous obtenons, par la règle ci-dessus rappelée.

qui nous donne les systèmes de droites

x— f\ — x-±y<Jl — if2

Nous retombons ainsi sur les abaques hexagonaux. Les trois droites dont les équations sont ici écrites, qui font avec Ox respectivement les aneles -> - et -r-> sont, en effet, à des distances de l'origine égales à/,,/2 et/3.

oO. Quadrilatère limite. — On vient de voir comment, lorsqu'on conserve les mêmes axes de coordonnées, l'application du principe de l'homographie permet d'engendrer tous les abaques à droites entrecroisées d'une équation donnée.

On peut, en particulier, se proposer de faire en sorte, par ce moyen, que le quadrilatère limitant la partie utile d'un tel abaque coïncide avec un rectangle qu'on se sera donné d'avance.

Ce quadrilatère ABGD est formé par les droites correspondant aux valeurs limites a, et biy a2 et b2 des variables considérées comme indépendantes a, et a2 (').

Pour remplacer ce quadrilatère déjà construit par le rectangle A'B'C'D' il suffit d'effectuer géométriquement la transformation homographique de la figure en faisant respectivement correspondre aux points A, B, C, D les points A', B', G;, D'. Cette construction peut être réalisée ainsi qu'il suit :

( ' ) Il arrive fréquemment, en pratique, que les valeurs utiles a3 et b3 entre lesquelles reste comprise la variable a, tombent entre les valeurs limites théoriques définies par les cotes des courbes extrêmes du système passant à l'intérieur du quadrilatère ABCD.

Prenons une droite quelconque MIN du premier abaque ( fig. 46)

et cherchons à obtenir géométriquement sa transformée M'JY sur

le second.

Fig. 46.

On sait que la transformation homographique conserve les rapports anharmoniques; on a donc, en se servant de la notation entre parenthèses pour désigner de tels rapports,

(AMDJ) = (A'M'D'oo).

Par le point D, menons la parallèle DA0 à BG et tirons la droite BM qui coupe DA0 au point M0. Les points A, M, D et J projetés du point B sur DA0 donnent les points A0, M0, D, et le point à

l'infini. On a donc

(AMDJ) = (A0M0Doo)

et, par suite,

(A'M'D'co) = (A0M0Doo), M'A' M0A0

MoD

Donc, V échelle des points W est semblable à V échelle obtenue en projetant de B V échelle des points M sur DA0.

Un résultat analogue pourrait évidemment être établi pour les trois autres côtés du quadrilatère, ce qui conduit à l'énoncé général que voici :

Pour reporter du premier abaque sur le second V échelle E déterminée par les droites cotées sur V un des côtés G du quadrilatère limite, il suffit de mener par V un des sommets S qui

Io8 CHAPITRE II.

limitent le côté G, une parallèle P au côté opposé, et de projeter du sommet diamétralement opposé à S l'échelle E sur la droite P. L'échelle E' à construire sur le côté correspondant du rectangle limite du second abaque est semblable à V échelle ainsi obtenue.

En appliquant ce théorème aux quatre côtés du quadrilatère limite, on reporte toutes les droites qu'il contient à l'intérieur du rectangle limite qu'on veut lui substituer.

Mais, en général, la question ne se posera pas ainsi. Il s'agira de déterminer a priori, par voie analytique, les coefficients des systèmes de droites de l'abaque à construire, de façon à réaliser la condition requise. On procédera dès lors de la manière suivante :

Soient/,, 7/z,, ni et /', , m\, n\ les valeurs prises respectivement par les fondions /*,, cp,, <I^ pour a, = aK eta, — &,. De même pour ou.

Pour faire en sorte que le quadrilatère limite de l'abaque soit formé d'une part par les droites

de l'autre par les droites

il faut disposer des paramètres X, u., ..., v", de façon que, poules = as et a, — b\ , l'équation (a, ) du n° 49 donne les deux premières, et que, pour ou = a2 et ou — b2, l'équation (ou) donne les deux dernières.

Cela conduit aux équations de condition

( \h -h [am2 — v/i2 = o, \ X /'2 4- |i.m'2 4-v/i^ = o,

i X' lx -h \x' mt 4-v'«( — o,

( X /'j + |jl m'j -h v Tii ) A - ( X" / ■', + ii" m\ h- v" n\ ) = o, ( X7'2 + ja' m2 4- v' n[2 ) A- -+- ( X" l\ + {x m2 •+• v" n 2 ) = o.

De ces huit équations homogènes, il faut tirer des valeurs proportionnelles pour les neuf paramètres X, \j., . . ., v".

Des groupes (i), (2) et (3), on peut tirer respectivement des valeurs telles que

A-Hp,

ix = Kp,

v = Lp,

v =Lp,

0, p', p" étant des paramètres encore indéterminés. Portant ces valeurs dans les équations (4), on a des équations de la forme

Ap-t-Bp" = o, A'p'+B'p"=o,

d'où Ton tire p et p' en fonction de p". Les neuf paramètres X, u, . . ., v" se trouvent alors exprimés en fonction de p" seulement, auquel on peut attribuer une valeur quelconque, d'où résulteront les dimensions de l'abaque.

51. Exemple : Abaque du fruit ultérieur des murs de soutènement. Soient ABGD {Jig. 47) la section rectangulaire d'un mur de soutène-

Fig. Ln.

ment calculé en vue d'une certaine résistance, MBGN la section trapézoïdale de même hauteur et de même résistance.

Si l'on pose

BM AP

BA - l' AD "" "' et que l'on représente par p le rapport du poids spécifique de la terre

IJO CHAPITRE II.

soutenue à celui de la maçonnerie, ces trois quantités sont liées par l'équation

qui permet de calculer h lorsque l et p sont donnés. Nous allons faire connaître l'abaque qui a été proposé par M. Massau (*) pour cette équation.

Remarquons tout d'abord que si nous y regardons l, p et h comme o^, a2 et a3, cette équation rentre dans le type (i) du n° 48.

Elle est donc représentable par trois systèmes de droites dont les équations [(a^, (a2) et (a3) du n° 48], obtenues en posant

l(i-^-p) „ (i- l)(i-hip)

sont ici

(p) 2(2jp + i)a? + 3(/? + i)jK — (/>-hl)(2£ -+-i) = o,

(/*) hx-\-y — /t2=o,

Ces trois systèmes sont du second degré. Les deux premiers, d'après le théorème démontré au n° 48, auront pour enveloppe une même conique. Si, en effet, on écrit les équations (l) et (p) sous la forme

(/') fi{%x -\-Zy — i)-+-Z( 3^ -hi) — 2a? = o,

(/>') 2/?2 — /?(4a7 + 37 — 3) — (2a? + 3jk — i) = o,

on obtient pour les enveloppes correspondantes

(3^ + i)2+ 8a?(2x -+- Zy — i) = o, (\x -+- 3jk — 3 )2 -4-8(22?-+- 3jk — i) = o,

formes distinctes d'une même équation, savoir :

( f\x -+- 3jk)2 — 8a? -h 6j h- i = o,

qui représente une parabole tt.

En outre, l'équation (3) du n° 48 montre qu'une droite (/) et une droite (p) coïncident lorsqu'on a entre leurs cotes la relation

Mais ici chacune des variables restant, en pratique, comprise entre o et i , on va voir qu'on se trouve dans le cas signalé plus haut où les groupes utiles de tangentes à la parabole tt correspondant respectivement à l et à p sont distincts l'un de l'autre.

(•) Loc. cit., n° 298.

Voyons comment on peut construire chacun des systèmes (/). (/>)ei | /. i. Système (/). — Si l'on se reporte à la forme (/') de l'équation de ce système, on voit immédiatement que

pour / = o, on a la droite x = o.

» / = oo, » ix -h ïy — [ — o,

c'est-à-dire les droites AB et AC de la fig. 48 (*). Ces droites touchent la

Fig. 48.

parabole tt en leurs points de rencontre B et C avec la droite

Zy + 1 = 0.

On voit aussi que

pour /

on a la droite

ou Ox.

ou EH.

Pour trouver l'échelle des points de rencontre du système (l) avec AB, menons, suivant la construction indiquée au n° -45, la parallèle OB' à AC, et construisons une échelle régulière ayant son point (o) en B' et son point (1) en O, puisque la droite Ox est ici la droite (1). Divisons, par exemple. OB' en 10 parties égales. En projetant les points ainsi obtenus à partir de G sur OB, nous avons les points de rencontre de cette droite respectivement avec les droites (o, 1), (o, 2), . . ., (o, 9) du système (/).

(l) Cette figure, aux notations près, reproduit exactement celle du Mémoire de M. Massau (jîg. i40 qui, d'après la déclaration môme de l'auteur, ne doit être considérée que comme propre à faire comprendre la construction de l'abaque qui devrait être établi sous de plus grandes dimensions.

Pour achever de déterminer les droites (/), on pourrait prendre l'échelle qu'elles déterminent sur AC en projetant à partir de B, comme cela a été indique au n° 45, une échelle régulière marquée sur Ox, ayant son point (o) en O et son point (i) à la rencontre de Ox et de AG.

L'auteur de l'abaque a préféré, pour plus de précision, prendre l'échelle qu'elles déterminent sur la droite EH qui fait partie du système comme on vient de le voir, pour / = — 2. Pour obtenir cette échelle, il suffit de mener par le point E une parallèle EF à la droite AC(/ = co). L'échelle de EH, projetée à partir de G sur EF, donnera une échelle régulière. Or les points (o) ou E et (1) ou H de cette échelle se projettent en E et F. Divisant donc le segment EF en 10 parties égales et joignant les points ainsi obtenus au point C par des droites, on obtient sur EH les points (o, 1), ( o, 2), . . . , (o, 9) du système (/), qu'il suffit dès lors de joindre aux points de même cote de l'échelle déjà construite sur OB.

Système (p). — La forme (p) de l'équation de ce système montre, en vertu de la Remarque qui termine le n° 45, que les échelles déterminées par les droites du système sur l'une quelconque d'entre elles sont toutes régulières.

pour p = 0,

la droite ix -f- "S y -

— 1 — 0 ou AG,

— 1 — 0 ou EH,

» p = --it

x — 0 ou Oy,

y ----- 0 ou Ox.

Donc, après avoir pris les points de rencontre des deux premières avec les deux dernières, on n'aura qu'à diviser les segments obtenus sur celles-ci en 10 parties égales et à joindre les points correspondants pour avoir les droites (o, 1), (o, 2), .... (o, 9) du système ( p).

Système (h). — L'équation (h) montre immédiatement que la môme remarque s'applique au système correspondant. Ici

pour h = o, on a la droite y — o ou Ox,

» h = 1 , » x h- y — 1 — o ou EH,

» h — — 1 , » x — y Tt- 1 — o ou EG.

Donc, en divisant en 10 parties égales le segment de E(i) à G(o), on obtient des points des droites (0.1), (0,2). ...,(0,9). Pour achever de déterminer celles-ci, il suffit de remarquer que la droite (h) coupe Ox au point x = h.

On voit sur la fig. 48 que les droites (h), tracées en traits interrompus, font avec les droites (p) des angles très petits. Cette disposition est défectueuse et l'on pourrait chercher à y remédier par l'emploi de l'homographie, mais on verra plus loin (Ghap. III, I) qu'il y a avantage à combiner celleci avec un autre genre de transformation. Nous reviendrons donc sur la question en temps voulu (n° 84).

ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES V ENTRECROISEMENT. il >

52. Abaques à cercles entrecroisés . — Puisque, d'après ce (jui a été vu au n° 46, on esl libre de choisir, pour définir L'abaque d'une équation (E) donnée, deux sur trois des équations (a, ), (a2 i et(a:$), on pourra, dans certains cas où L'équation (E) ne rentrera pas dans le type des équations représentables par trois systèmes de droites (,n° 47), avoir recours à des cercles cotés.

Cherchons l'équation la plus générale représentable par trois systèmes de cercles cotés. Il faut, pour cela, éliminer xety entre les équations de trois tels systèmes, supposés rapportés à des a\< îs rectangulaires, équations qui peuvent s'écrire

a\ i x'2' - y% ) — x fi -i- y®i -i- <l>i .= o. a, ( a?2 +JK2 ) -+- a?/s +y <p* -+- ^2 = o, a 3 ( x 2 -T- y- ) - # /3 -L- 7 <p3 h- &8 -— o ,

at,a>, a* étant des constantes qu'on pourrait, dans le cas général, prendre égales à i, mais qu'il vaut mieux conserver quelconques pour être libre, en les annulant, de réduire le système de cercles correspondant à un système de droites.

Si l'on élimine x--\-y2 entre ces trois équations prises deux à deux, on obtient

'Il

Si l'on additionne ces équations après les avoir multipliées respectivement une première fois par cp,, cp2, cp3, et une seconde par fii Ai fii on obtient les deux suivantes :

ÎM. 1>"<>.

cp 3

ty?.

Si, après avoir posé

D = /a Çs

nous convenons de représenter par D^-, D?, D<j, ce qae devient ce déterminant lorsqu'on y remplace les /}, les co/ ou les +;par les a/, nous voyons que les équations précédentes peuvent s'écrire

Dùx— D

Portant les valeurs tirées de là dans l'équation (a,), nous avons

a j ( D } • -h D|) -h D.L ( /, D/ h- ?1 Dç -f- •% D^ ) == o. Or

«Pi

<*i «pi +i

«pi

a.2 cp2 +2

Cp3

f% aï +>

«2<pl

di2

«3 «pi

A «pi «î

cp2

d'où, en additionnant en colonne,

| «i/i «i«?i «i+i /i D/ -h cp i Dç -i- +t D^ = I /2 <p2

= atD.

L'équation ci-dessus devient donc

a2/i «2<pi

| «3/l «3<Pl «3+1

Dl--t-D£-*-DùD = o,

«1 «pi +1 a 2 cp2 i^2

/l «?1 al

ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES, ABAQUES A ENTRECROISEMENT. Il5

Telle est, sous forme symétrique, l'équation la plus générale représentable par trois systèmes de cercles entrecroisés.

Si l'un des systèmes de cercles se réduit à un système de droites, il suffit d'égaler à zéro la constante a correspondante, d'où l'utilité de l'introduction de ces constantes.

Dans le cas, notamment, où deux des systèmes de cercles, les deux premiers par exemple, deviennent des systèmes de droites ( ' ), on a, en faisant rt) = a;,= o, l'équation

A <pi <h

«3[(<?1^2— <P2<W)2-H<W/2— ^/l)2] -K/*l?2 — /2<Pl) A ?2 ^2

et si. le troisième système devient à son tour rectiligne, auquel cas «3=o,

| A «pi

ainsi qu'on l'a déjà vu au n° 47.

53. Exemple : Abaque des murs de soutènement pour des terres profilées suivant leur talus naturel. — On peut faire des hypothèses particulières sur les systèmes de droites et de cercles constituant l'abaque considéré, par exemple, dans le cas de deux systèmes de droites et d'un système de cercles, supposer que les cercles sont tangents entre eux en un même point. Prenant ce point comme origine et la normale commune comme axe des x, on voit que cette hypothèse entraîne tp3=t|>3=o et l'avant-derniôre équation du numéro précédent, où l'on peut d'ailleurs faire a3= i, devient

(?i<h- ?2<W)2-K<W/2— <kA)2+/3(/i<p2— AfrKvity*— ?2<W) = °-

On peut aussi supposer que toutes les droites du système (aL) passent par l'origine, ce qui revient à faire o% = — i, ^1 — °»/i représentant alors le coefficient angulaire de la droite (ai). L'équation précédente devient alors

Gomme exemple d'application nous prendrons l'équation k'1 -+- kp sin cp cos cp — {T cos2 cp = o,

(!) Sur l'application de ce mode de représentation aux équations quadratiques, voir plus loin (Ch. VI, II, C).

Il6 CHAPITRE II.

qui fait connaître le rapport k de la base à la hauteur d'un mur à section rectangulaire soutenant une terre profilée suivant son angle naturel cp, le rapport du poids spécifique de cette terre à celui de la maçonnerie étant égal -dp (i).

Remplaçant sincp et coscp par leurs valeurs en fonction de tangcp. on met cette équation sous la forme

k%+ kPlan%? P = o

i-t-tang"2cp 3(i h- tang'2cp )

X"2(i + tang2cp) -h p(k tangcp — - 1 = o,

On voit, en prenant cd, k et p respectivement pour a1? a2 et <x3, quelle rentre dans Le dernier type écrit ci-dessus lorsque l'on fait

fi= tangcp,

fi = — 5 t y 2 = k, iL2 = // -.

/ étant un module quelconque.

L'équation est donc représentable par les trois systèmes cotés que définissent les équations

< cp ) x tangcp — y = o,

(k) —% -+- ky -+- lk* = o,

( j> ) x- -h y- — Ipx — o.

On retrouve ainsi un abaque auquel nous avions été conduit naguère par une autre voie (2).

Les droites (cp) sont faciles à construire puisque ce sont précisément les

droites passant par l'origine et faisant l'angle cp avec O x. Pratiquement il

suffit de faire varier cp de 20" à 5o".

De même, les cercles (p) sont les cercles de rayon —t tangents en O

à Oy. On fera varier/? de 0,4 à 1.

Les droites (k) forment un système du second degré dans lequel la droite cotée (00) est rejetée à l'infini puisque le coefficient de k2 est une constante. Donc, ainsi qu'on l'a vu (Rem. finale du n" 45), ces droites déterminent sur lune quelconque d'entre elles une échelle régulière.

(') Collignon, Résistance des matériaux, 3" éd., p. 669.

(2) 0.4, p. 28. La PI. IV de cette brochure est fautive en ce sens que les cotes (p) y devraient être doublées.

Choisissons deux d'entre elles, par exemple celles qui correspondent à

k — o et k

-t dont les équations sont

Sur ces deux droites les autres donneront des échelles régulières, ce qui permettra de les construire très aisément lorsqu'on aura tracé celles qui correspondent aux valeurs limites de k résultant de celles qui ont été admises pour <p et p et qui sont k = o, 2 et k = o, 5.

En limitant l'abaque à sa partie utile, et prenant / = iocm, on obtient la fig. 49 i1). A titre d'exemple, on voit sur cette figure que, pour o = 3o% p = o , j5 , on a k — o , 3 .

Fi8- 49-

On peut, comme cela a été indiqué au bas de la p. 55 [note (2)] pour les abaques à radiantes, se dispenser de tracer les droites (cp) en conservant seulement l'échelle qu'elles déterminent sur le cercle extérieur auquel on les a limitées sur la fig. 49 (2).

54. Emploi des coordonnées polaires. — Nous avons jusqu'ici supposé que nous faisions usage de coordonnées cartésiennes rectangulaires, mais il est bien évident que le principe général énoncé au n° 46 sera également applicable avec un système quel-

(') La partie utile de l'abaque a été disposée dans le cadre de la figure, de façon que la droite cp = 200 soit parallèle au bord inférieur de ce cadre. L'axe Ox, dont l'origine est d'ailleurs confondue avec le point de convergence des droites (cp), ferait donc un angle de 200 avec ce bord inférieur et en dessous de lui.

(2) On trouvera un autre exemple d'abaque à cercles cotés dans un Mémoire sur les mines militaires, du capitaine Ricour, inséré dans le Mémorial de l'Officier du Génie (n° 21, p 323: 1873)

conque de coordonnées. On pourra donc, dans certains cas, recourir à d'autres systèmes, à celui notamment des coordonnées polaires lorsque l'une des variables entrera dans l'équation sous forme trigonométrique.

Il faut bien remarquer que les abaques ainsi obtenus ne seront pas essentiellement distincts de ceux que l'on définirait en coordonnées cartésiennes, attendu qu'une fois construit l'abaque en coordonnées polaires, il n'y a qu'à écrire en coordonnées cartésiennes les équations des lignes cotées qui ont été déterminées pour retrouver, par élimination de x et y, l'équation en a< , ou et a3 d'où l'on est parti.

Cet emploi de coordonnées différentes ne peut donc avoir d'autre objet que de mettre plus aisément en évidence certaines formes simples des lignes cotées, au moyen desquelles on peut constituer l'abaque d'une équation donnée.

Pour en donner immédiatement un exemple, reprenons l'équation du n° 53

k- -f- kp sin o cos cp — ~ cos2 o — o.

Si l'on appelle p et a) les coordonnées polaires courantes, il suffit de jeter les yeux sur l'équation pour remarquer qu'en posant

(cp) co = cp,

(p) p cos tu = p,

on a

r/x /•> / p COS 10

( A ) A 2 -f- A p si n co — * — - — — o,

et ces trois équations définissent précisément en coordonnées polaires les trois systèmes de lignes cotées obtenus au n° 53. On peut préciser ce qui précède de la manière suivante : Soient, conformément à ce qui a été vu au n° 46,

(ai) F! (a?, j, cLt) = o,

(«s) F3(^, jk, a3) = o

les équations des trois lignes cotées constituant un abaque. Pour

avoir les équations de ces mêmes lignes en coordonnées polaires, il suffit, dans les précédentes, de remplacer x et y par p coso) el o sinco, ce qui donne

(a,), Gi(p, (o, a.{) = o,

On peut, dès lors, indifféremment éliminer .r et y entre les trois premières équations, ou p et oj entre les trois dernières, pour

retrouver l'équation

représentée par l'abaque.

La même observation s'appliquerait à un système quelconque de coordonnées ponctuelles. Pour faire la théorie de tel abaque, tel système de coordonnées sera d'un emploi plus commode et exigera moins de calculs, mais tout autre système de coordonnées pourrait être utilisé.

OO. Abaques polaires. — Etant bien entendu, d'après ce qui précède, qu'un abaque obtenu à l'aide d'un système quelconque de coordonnées ponctuelles pourrait l'être au moyen de ton l autre, et qu'il n'y a là qu'une question de plus ou moins de commodité, on pourra, comme l'a proposé M. G. Pesci, appeler abaques polaires ceux qui seront définis en prenant

de même qu'on a appelé plus haut abaques cartésiens ceux qui ont été définis en prenant

X = li Xi, y = loOLi-

Soit donc une équation

*I>(al5 a2, a3 ) = o,

que l'on représente, en posant

(a2) (s) = lo y i,

ce qui donne

Les lignes cotées (a,) et (ou) sont respectivement des cercles ayant leur centre à l'origine et des droites passant par cette

origine.

Supposons que sur une droite D pivotant sans glisser autour de celte origine nous portions l'échelle définie par l'équation (a,) (fig* 5o) et que sur une ligne quelconque, de préférence un

cercle ayant son centre à l'origine, nous marquions ses points de rencontre avec les droites (ou), munis des cotes correspondantes. Dès lors, lorsque nous amènerons la droite D à passer par le point (a2) de la ligne L, cette droite D se confondra avec la droite (ou). Gomme, d'autre part, dans le mouvement de pivotement de cette droite, son point (a,) décrit le cercle (a,), on voit ({lie ce point (a,) sera venu a la rencontre de la droite (a2) et du cercle (a( ), c'est-à-dire au point même par où passe la courbe (a3) dont on doit prendre la cote.

De là ce mode d'emploi de l'abaque : La droite D étant amenée (i passer par le point (a2) de la ligne L, on lit la cote a3 de la courbe sur laquelle tombe le point (a,) de cette droite D.

L'abaque permet évidemment tout aussi bien d'obtenir a, lorsqu'on se donne ou et a3, ou ou lorsqu'on se donne a3 et a, .

Comme exemple d'un tel genre d'abaque, proposé par JY1. G. Pesci, nous emprunterons à cet auteur le suivant :

Soit à représenter l'équation