I. — Abaques généraux à points alignés

56. Principe des points alignés. — Nous avons déjà exposé au n° 30 les raisons pour lesquelles il est désirable, chaque fois que la chose est possible, de ne faire intervenir comme éléments cotés, dans la représentation d'une équation, que des points.

(') C'est dans notre Mémoire O.l paru en novembre 1884 que le principe de cette méthode a été donné pour la première fois.

Nous y sommes revenu dans la Note 0.2 avant de l'exposer plus en détail dans notre brochure 0.4, Ch. IV.

Nous avons à cet endroit donné à la méthode le nom de méthode des points isoplèthes pour rappeler que les systèmes de points qui y interviennent sont corrélatifs des systèmes de droites isoplèthes qui figurent sur les abaques construits par la méthode de Lalanne. Or, nous avons déjà dit ( n° 16) pourquoi nous nous étions décidé à abandonner le terme d'isoplêthe pour nous en tenir à celui de coté. D'autre part, on verra par la suite qu'on peut construire des abaques où n'interviennent que des points cotés, maison la relation de position établie entre ceux-ci est autre que l'alignement. Il nous a donc semblé que la meilleure manière de caractériser la présente méthode consistait à rappeler qu'elle reposait sur l'emploi de points alignés.

11 n'est pas indispensable, lorsqu'on n'a en vue que les applications les plus courantes de la méthode, de l'envisager avec toute la généralité que nous lui donnons ici et qui s'impose évidemment dans un exposé d'ensemble. Le lecteur surtout désireux de s'initier au côté pratique du sujet pourra se reporter immédiatement à la Section II.

Nous ajouterons que la plupart des exemples d'application donnés dans ce Chapitre sont empruntés soit à notre brochure 0.4, soit aux travaux énumérés dans notre article 0. 24. Depuis l'achèvement du manuscrit de cet Ouvrage, nous avons eu connaissance d'une intéressante Note de M. Mehmke (Z. S., t. XLI\ , p. 56 ; 1899) où sont signalés d'autres exemples d'application dus à MM. Adler, Maurer et à M. Mehmke lui-même.

Nous avons vu, en outre, comment l'emploi d'un transparent à trois index permettait de réaliser ce desideratum en ce qui concerne les équations représentables par trois systèmes de droites parallèles (n° 26), c'est-à-dire de celles qui sont de la forme

jNous allons maintenant exposer une autre méthode qui permet d'atteindre le même but pour la catégorie beaucoup plus générale des équations représentables par trois systèmes de droites quelconques, comprenant, par conséquent, les précédentes à titre de cas particulier, c'est-à-dire de celles qui sont de la forme

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L'idée de principe qui permet, a priori, de se rendre compte de la possibilité d'un tel résultat se confond avec celle de la dualité, fondamentale aujourd'hui dans le domaine de la Géométrie pure.

On sait qu'on peut, d'une infinité de manières, faire correspondre à une figure composée de droites une figure composée de points, telle qu'à trois droites concourantes quelconques de la première figure correspondent trois points en ligne droite, ou trois points alignés, sur la seconde. Toute transformation jouissant d'une telle propriété, dont le type est la transformation par polaires réciproques, est dite dualistique.

Supposons donc que nous appliquions une telle transformation à un abaque constitué par trois systèmes de droites quelconques, en conservant, bien entendu, dans le passage d'une figure à l'autre, la cote de chaque élément.

Nous obtiendrons ainsi un nouveau diagramme {Jig- 5a) sur lequel, à chacune des variables a, , ou et a3, correspondra un système de points cotés distribués sur une courbe, dite leur support, qui sera, dans la transformation effectuée, la corrélative de l'enveloppe des droites du système correspondant sur le premier abaque.

Ces trois systèmes de points cotés constitueront des échelles curvilignes.

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De même que sur le premier abaque, 1rs trois droites cotées moyen d'un système de valeurs de a,, ou, a3 satisfaisant à l'équation représentée étaient eoncourantes, ici les trois points corres pondants seront alignés.

Fi g. 52.

De là le mode d'emploi de l'abaque : la droite joignant les points cotés a, et a2 sur les deux premières échelles curvilignes rencontre la troisième échelle au point coté a:i.

Pour n'avoir pas à dessiner cette droite, on pourra se servir d'un transparent à un index ou encore d'un fil fin que l'on tendra entre les points (a, ) et (a2) ( ' ).

Il s'agit mainte