Emploi des coordonnées parallèles
nant de réaliser sous une forme pratique la transformation dualistique dont l'effet vient d'être analysé.
(') Ce dernier procédé, outre l'avantage d'une plus grande rapidité, offre celui, plus précieux encore, de ne pas exiger que la feuille sur laquelle l'abaque est dessiné soit rigoureusement plane, pourvu toutefois qu'elle reste convexe comme les feuillets, par exemple, d'un livre ouvert. Si, en effet, on tend un iî 1 sur une telle surface, il se dispose suivant une ligne géodésique, trans formée d'une ligne droite du plan, et les points qu'il recouvre sont bien des points alignés.
Quant aux variations du papier dont nous avons signalé les conséquences en ce qui concerne les abaques avec transparent à trois index dans la note (2)au bas de la p. Go, elles n'ont ici aucun inconvénient lorsqu'on suppose, comme à l'en droit cité, le papier suffisamment bomogène pour que les variations dans chaque sens soient uniformes, puisque dans ces conditions des points situés sur une droite quelconque ne cessent, à aucun moment, de se trouver en ligne droite.
Le mcryen qui se présente tout naturellement à l'esprit consiste à regarder les coordonnées courantes dans les équations définissant les divers éléments cotés de l'abaque non plus comme des coordonnées ponctuelles, mais comme des coordonnées tangentielles donnant pour le point une équation du premier degré.
Parmi de telles coordonnées, celles dont l'emploi, pour ce genre d'application, est le plus avantageux sont les coordonnées parallèles dont nous allons, en quelques mots, rappeler la définition.
Les coordonnées parallèles (') u et v d'une droite sont les distances AM et BN, prises avec leur signe, des points M et N où cette droite coupe deux axes parallèles Au et B^, aux origines A et B respectivement choisies sur ces axes (voir la fig. 60 du n° 66).
Dans ce système de coordonnées, toute équation du premier
degré
flMH-6c + C = O
définit un point P qui peut être ainsi déterminé : Prenons pour origine O le milieu de AB, pour axe Ox la droite OB, pour axe Oy la parallèle à Au et Bv menée par O; si l'on pose OB = ô, les coordonnées du point P rapporté aux axes qu'on vient de définir sont
Ou peut encore dire que si la parallèle à Au et B(^, menée par P, coupe AB en G, on a
GA b
Il est, en outre, bien clair que la condition pour que trois points, donnés par leurs équations, soient en ligne droite, est la même
(') Nous avons étudié en détail ce système de coordonnées dans un Mémoire (N. A., 3e série, t. III, p. 4I0> 4^6, 016; 188/j ), Mémoire qui se trouve reproduit dans notice brochure : Coordonnées parallèles et axiales ( Gauthier- Villars, i885 ).
En môme temps que notre étude paraissait dans les Nouvelles Annales, M. K. Schwering publiait une brochure sur le même sujet sous le titre : Théorie und Anwendung der Liniencoordinaten (Leipzig; x88^).
Nous sommes revenu à diverses reprises sur ce sujet, notamment dans les N. A. (3e série, t. VI, p. 493î l- IX> P- 445; t- XI, p. 70).
que celle qui exprime que les trois droites obtenues en remplaçanl u et e par x et y dans ces équations passent par un même point.
Si a, b, c sont des fonctions d'un paramètre variable 9, L'équation en u et v du lieu des points correspondants s'obtient en éliminant 0 entre l'équation de ce point et sa dérivée prise par rapport à Q.
C'est ici le lieu de répéter ce qui a été dit au n° 54 à propos do abaques construits en coordonnées ponctuelles : on peut évidemment faire la théorie d'un abaque à points alignés au moyen d'un système quelconque de coordonnées tangentielles, mais l'emploi des coordonnées parallèles est préférable en ce sens que, dans la plupart des cas, il conduit d'une façon plus directe à l'abaque offrant la meilleure disposition.
On pourrait môme, si on le voulait, faire toute la théorie des abaques à points alignés au moyen des coordonnées ponctuelles cartésiennes, ainsi que nous le montrerons plus loin. Mais, d'une part, la théorie y perdrait en unité, puisque avec la première manière il n'y a simplement qu'à donner, dans les mêmes équations, une signification géométrique différente aux coordonnées courantes; de l'autre, l'emploi des coordonnées tangentielles permet, dans les cas usuels, d'opérer sans tâtonnements ce que nous avons appelé la disjonction des variables (n° 41), quitte à interpréter ensuite les résultats obtenus dans le système des coordonnées cartésiennes pour la plus grande facilité de la construction.
58. Abaques tangentiels généraux. — Il n'a été question dans ce qui précède que de la transformation des abaques à droites entrecroisées en abaques à points alignés. Qu'obtiendrait-on en faisant subir la même transformation à tout autre abaque à entrecroisement?
Considérons d'abord l'abaque le plus général constitué par trois systèmes de courbes quelconques (n° 41). Chacun de ces systèmes donnera corrélativement sur le nouvel abaque un autre système de courbes, mais alors que sur le premier abaque trois courbes correspondantes, prises chacune dans un des systèmes, devaient se couper en un même point, sur le second, trois courbes correspondantes devront être tangentes à une même droite que (sous
(orme de l'index d'un transparent ou d'un fil tendu) l'on appliquera sur l'abaque.
Au surplus, toute équation entre trois variables étant susceptible d'une représentation ponctuelle comportant deux systèmes de droites et un système de courbes, savoir celle que donne la méthode cartésienne (n° 16), elle pourra, de même, être représentée tangentiellement au moyen de deux systèmes de points et d'un système de courbes. Tl suffira, pour cela, si l'équation donnée est
(E) 4>(al5a2, a3) = o,
de poser, en appelant /, et /2 des modules quelconques,
(aj ) u = li y.],
ou
/ Il V
Les deux premières équations définissent des échelles régulières supportées respectivement par l'axe des u et l'axe des vy la troisième un système de courbes quelconques. Toute équation à trois variables pourra donc être ainsi représentée, et le mode d'emploi de l'abaque sera le suivant :
Lire la cote a3 de la courbe touchant la droite qui unit les points cotés respectivement a, et eu sur les deux axes.
La substitution d'un tel abaque à l'abaque ponctuel correspondant ne présenterait quelque avantage que si elle permettaitdé remplacer les courbes de cet abaque ponctuel par d'autres courbes d'un tracé beaucoup plus simple.
Si, par exemple, l'équation est de la forme
il suffira, après avoir pris deux axes parallèles distants de Ik et ayant leurs origines sur une même perpendiculaire à leur direction commune, de poser
pour avoir
(a3) («/3 + cç3+^)2 = /2/>2 -+-{<>— "<)->
lk
équation d'un cercle (*) de rayon - ayant pour centre le
point
ou, en choisissant des axes cartésiens, comme au n" 57,
__ lk y 3-, A
JL> — — ■ —ji ?
