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59. Transformation géométrique cl 'un abaque à droites entrecroisées en un abaque à points alignés. — Avant d'étudier la construction directe des abaques à points alignés, faisons voir comment on peut très aisément, si l'on possède un abaque à droites entrecroisées, le transformer en un abaque à points alignés.
Chaque droite PQ (Jig. 53) de l'abaque donné peut être définie par deux de ses points. Prenant les coordonnées x cly de chacun
<ie\ do.
de ces points et les reportant, comme coordonnées u et v, sur les axes parallèles du second abaque, on obtient les deux droites corrélatives dont le point de rencontre C est le point transformé de la droite PQ.
De préférence, il conviendra évidemment de prendre pour les deux points précédents les points P et Q, où la droite considérée rencontre les axes Ojc et Or.
Au point V(x = OP, y = o) correspondra la droite
BM(> = AM = OP, p = o):
(') Voir Coordonnées parallèles et axiales, formule (i\ ), p. i\.
l30 CHAPITRE III.
au point Q(# = o, y = OQ) correspondra la droite
AN(w = o, t> = BN = OQ).
La construction se résumera donc en ceci : Porter sur Ai/
et Bv les segments AM = OP, BN= OQ, et tirer les droites
AN et BM dont le point de rencontre C est le transformé de la
droite PQ (1).
Fig. 54.
(' ) Ici se placent deux remarques importantes : i° Pour que (ce qui est préférable) les points C, correspondant aux droites PQ, soient situés entre les axes Au et Bf, il faut que ces droites PQ aient un coefficient angulaire négatif; or on peut toujours faire en sorte qu'il en soit ainsi en choisissant convenablement le sens positif sur l'un des axes Ox ou Oy, celui de l'autre étant quelconque; 20 rien n'empêche, en passant de l'échelle de Ox à celle de Au, et de celle de Oy à celle de B^, de changer de module s'il doit en résulter une meilleure disposition, ces deux changements de module étant d'ailleurs indépendants l'un de l'autre (voir à ce propos les fig. 54 et 54 bis).
Voici un exemple (*) d'une telle transformation bien propre à mettre on relief les avantages de la méthode des points alignés.
La fig. 54 représente un fragment d'une Table graphique pour l'arpentage des coupes, dressée par M. Théry, professeur à L'École forestière.
Pour s'en servir, on prend le point de rencontre de la verticale cotée a, et de l'horizontale cotée <x2. La cote de l'oblique passant par ce point de rencontre fait connaître a3, et cette cote est précisément égale à celle du point où l'oblique rencontre l'axe Oy.
La transformation qui vient d'être décrite, appliquée à cet abaque, donne celui de la fig. 54 ois. Les cotes des points (a2) sont d'ailleurs obte-
Fig. 54 bis.
nues par la remarque que voici : puisque sur le premier abaque une oblique et une horizontale de môme cote se coupent sur l'axe Oy, un point de l'échelle curviligne du second abaque et le point de même cote de l'axe B v sont alignés avec l'origine A de l'axe Au.
Il suffit de jeter un coup d'œilsurles deux figures (2) pour que les avan-
(') On trouvera un autre exemple d'une telle transformation dans un article de M. Quiquet : Sur trois modes de réduction graphique des assurances mixtes aux assurances en cas de décès, paru dans le Bulletin de l'Institut des actuaires français (juillet 1897). Voir aussi n° 87.
(2) Encore convient-il de remarquer que les modules des axes de la fig. >'i sont supérieurs à ceux de la fig. 54 bis. S'ils avaient été les mêmes, la première de ces figures serait devenue à peu près illisible.
tages de la seconde par rapport à la première sautent aux yeux, en ce qui concerne les desiderata formulés au n° 30.
On peut faire, en outre, les deux remarques suivantes : i° Sur la fig. 54 les obliques (a3) se distinguent mal des horizontales (a2). On a même dû renoncer à les tracer pour les valeurs de a3 inférieures à o,o4, tandis que sur la fig. 5{ bis les points (a3) sont nettement séparés des points (a*) et ont pu être marqués jusqu'à a3 = o.
20 Sur la fig. 54 l'enveloppe des droites (a3) n'apparaît pas. Le seul aspect de la figure ne permettrait même pas d'affirmer si cette enveloppe se réduit ou non à un point. Sur la fig. 54 bis, au contraire, ainsi que sur tout abaque à points alignés, la construction même de ces points fait connaître le tracé de la courbe qui leur sert de support. On verra par la suite (n° 87) que cette circonstance est loin d'être négligeable.
60. Construction directe des abaques à points alignés. Supposons qu'une équation ait été mise sous la forme
D'après ce qui a été vu au 11 ° 57, nous n'aurons, pour obtenir un abaque à points alignés de cette équation, qu'à prendre les équations qui définiraient pour elle un abaque à droites entrecroisées et à y remplacer les coordonnées courantes cartésiennes x et y par des coordonnées parallèles u el v.
Nous avons ainsi les équations
(ai) m/i+p|;Pi + (1'i = Oî
( a2 ) uf% -h v cp2 -+- '^2 — °)
Pour construire chacun de ces systèmes de points cotés nous n'avons qu'à nous rappeler que, si nous prenons comme axes cartésiens O x et Or, la droite joignant les origines A et B des axes parallèles Au et Bt> et la parallèle équidistante de ces axes, le sens positif sur Ox étant celui de A vers B, et si nous prenons comme unité de longueur la moitié de la longueur AB, le point
a pour coordonnées (n° 57)
9t—fi
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. l3 !
Rien d'ailleurs n'oblige à supposer les axes 0.r et Oy rectangulaires, c'est-à-dire la droite AB perpendiculaire à la direction des axes Au et Bc; c'est même, en général, le contraire qui aura lieu.
Si P< et Q,, P2 et Q2 sont les points correspondant respectivement aux valeurs limites aK et Z>, de oth a2 et b2 de a2, on tirera les droites P1 P2, Pi Q2, P:>Qi, Qi Q2 c[uh sur ^e support du système (a3), détermineront quatre points, dont deux extrêmes et deux intermédiaires. En aucun cas on n'aura à construire de points (a3) en dehors de ces points extrêmes.
Ici encore la transformation homographique, qui conserve Palignement des points, pourra être utilisée. Gomme au n° 49, on obtiendra ainsi les trois systèmes de points
(a,)i u(l/i + p<pi H-vtpO -+- v(Vfx + fi-'cpt-h v'^) -^ X"/i -+• p'cpt-hv" tj/j = o,
(aj)! m ( X/3 -h [acp3 h- v^3) H- e(X'/3 + |a' cp3 -h v' ^3) -h X"/3 -f- fx"cp3H- v" ^3 = o.
les paramètres \, ix, ..., v" étant quelconques et astreints à la seule condition que leur déterminant
soit différent de zéro.
Les équations (a, ), , (a2)i, (#3)1 font alors connaître tous les abaques à points alignés correspondant à l'équation proposée. On fixera les valeurs des paramètres X, a, . . . , v" en vue d'obtenir la meilleure disposition de l'abaque. Nous reviendrons plus loin (n° 62) sur ce point.
Remarque. — Il arrivera souvent que, lorsque deux des systèmes de points cotés, (a,) et (a2) par exemple, auront été construits, le troisième (a3) s'en déduira immédiatement. Cette circonstance se produira lorsque, pour chaque valeur attribuée à a3, on pourra sans calcul, ou du moins par un calcul très simple, déterminer deux couples correspondants de valeurs pour a, et a2. Chacun de ces couples définira une position de l'index que l'on marquera au crayon. La rencontre des deux droites ainsi tracées donnera le point coté au moyen de la valeur de a3 considérée.
Si même le support du système (a3) est une droite connue d'avance, une seule position de l'index, et, par suite, un seul couple de valeurs de a{ et ou, suffira pour obtenir le point coté a3.
61. Emploi des coordonnées cartésiennes. — Les coordonnées parallèles nous ont permis de faire dériver corrélativement les abaques à points alignés du même principe que les abaques à droites entrecroisées; elles nous seront, en outre, d'un grand secours, pour définir immédiatement les points cotés correspondant aux divers types d'équations se rencontrant fréquemment dans la pratique (sections II et III). Mais nous devons faire remarquer que la théorie des abaques à points alignés peut se faire très simplement en coordonnées cartésiennes.
Il suffît de remarquer, en effet, que l'équation
f\ <Pi +1
fi <?3 ?3
n'est autre que celle qui exprime l'alignement des trois points
/et /'étant deux modules quelconques, ou, en coordonnées homogènes,
x = lA, y ^ /'?2, t = <]>2, x = if*> y = ï<?s, t = ty3.
Tous les abaques qui se déduiront homographiquement de celui-ci seront dès lors donnés par les formules
^o/i+ t*0 ?1 + Vp<W
*o/i Xo/2
Ko?i
KA-+- f^O ?2 "!- v0 +2
Ho?3
