VÎ

Hû

vj*i

cp2

vï+«

XÏ/.+.fxî^-hvît,

!e déterminant

étant supposé différent de zéro.

On voit que l'abaque correspondant à un système de valeurs de A0, |A0, • • . , y"0 sera identique à celui que donnent les formules (a,)n (a2),, (a3), du numéro précédent avec un certain système de valeurs de A, jji, • • • , v/;, lorsque l'on aura

lX0 = — lX >

En particulier, on retrouvera l'abaque donné par les formules (a,), (ou), (a3) du numéro précédent, en prenant

Po = 1 >

62. Transformation homo graphique des abaques à points alignés. — Quadrangle limite. — - La transformation homograpbique conservant l'alignement des points peut être d'un grand secours pour donner à un abaque du genre ici étudié la meilleure disposition.

En particulier, si l'on considère le quadrangle P, Q, P0Q2 formé par les points qui correspondent aux valeurs limites aK et b,, a2 et b2 des variables a! et a2 prises comme indépendantes, quadrangle qui forme le cadre de la partie utile de l'abaque, on peut le faire coïncider avec un rectangle dont les sommets seront définis, par exemple, par

Le problème est analytique ment le même que celui qui a été traité au n° 50, et, par suite, les valeurs à adopter pour A, ku, . . . . v" dans les équations (a,),, (a2), et (a3), du n° 60 sont celles qui

sont données par les équations (i) à (4) du n° 50, où l'on n'aura qu'à faire h r— k. On trouvera plus loin (n° 84) un exemple détaillé d'un tel calcul.

Si l'on se propose de substituer à un abaque déjà construit, dont le quadrangle limite PiQ)PoQ2 est quelconque, un autre abaque ayant pour quadrangle limite un rectangle P,Q', P!>Q!, donné (fig. 55), il suffira de recourir à la construction géométrique suivante :

Soit M un point quelconque du premier abaque ayant pour transformé M' sur le second. Tirons les droites P1 M et P, M' qui coupent P0Q2 et Po Q» Gn S et en S'.

Fig. 55.

La conservation des rapports anharmoniques dans la transformation homographique montre que

(IP2SQ2) = (a>P'2S'Q'2).

Si la parallèle au côté P, Q, menée par le sommet P2 coupe la diagonale P, Q2 au point q2 et la droite Pi S au point s, on a

Donc

(IP2SQ2) ='- (<*>?*sqt).

(ooP'2S'Q'2) = (ooP2sgr2

P'2S; PoS

S^ : sq-i '

De même, si la droite P1 q{ est parallèle*» PoQo,

On voit donc que la ponctuelle formée par les points du pre /nier abaque projetés, à partir de Pj sur P2 q2 et (a ponctuelle

formée par les points du second abaque projetés et, partir de P, sur P.',Q2 sont semblables.

De même pour les ponctuelles Pi qK et P', Q' .

Mais la transformation homographique peut encore être utilisée à d'autres points de vue, par exemple, pour remédier au défaut consistant en ce que les intervalles correspondant à des échelons égaux se resserrent trop dans une partie d'échelle, alors qu'au contraire ils se dilatent notablement dans une autre. Pour définir la transformation homographique qui convient en pareil cas, le capitaine Lafay a eu l'idée de recourir à un procédé, en quelque sorte expérimental, qui mérite d'être signalé (').

Imaginons qu'on ait dessiné sur deux transparents portant chacun un axe, A, ou A2, deux faisceaux de droites identiques avant leurs centres G{ et C2 sur ces axes et déterminant sur chaque pa-

Fig. 5G.

rallèle à ces axes des segments égaux entre eux, puis plaçons ces transparents sur l'abaque construit en mettant en coïncidence leurs axes A, ou A2 qui se réduisent alors à un seul A. En faisant varier la position de la droite A sur le transparent, et celle des

(') C'esl au moyen de ce procédé que le capitaine Lafay a obtenu notammenl son abaque des formules de Fresnet, dont il est question plu- loin (n° 100, j°)-

centres C, et C2 sur la droite A, on engendre une infinité de réseaux auxquels on peut supposer l'abaque rapporté, et l'on arrive, par tâtonnement, à placer les divisions les plus dilatées de l'échelle que l'on veut transformer dans les mailles les plus dilatées de ce réseau, les divisions les plus resserrées dans les mailles les plus resserrées ( fig. 56). Si donc, par une transformation homographique rejetant la droite A à l'infini, on substitue à ce réseau, formé de deux faisceaux convergents, un quadrillage régulier formé par deux systèmes de droites à angle droit (fig- 56 bis), toutes

Fig. 56 bis.

les mailles devenant identiques, les parties, qui tout à l'heure étaient trop dilatées, se seront contractées, et réciproquement. Cette idée théorique est ingénieuse, mais il s'agissait de la rendre pratique; voici comment M. Lafay y est parvenu :

Il a considéré l'abaque déjà construit %, comme une perspective de l'abaque %' qu'on veut lui substituer, en prenant les points C( et C2 comme points principaux de distance. Dans ces conditions, les faisceaux de centres G, et C2 de la perspective deviennent des systèmes de droites parallèles inclinées à 45°, les unes dans un sens, les autres dans l'autre, sur la ligne de terre, ou, ce qui revient au même, sur la ligne A prise comme ligne d'horizon. Tl suffit alors de se donner la ligne de terre A' B' parallèlement à A ou AB, pour pouvoir effectuer la restitution perspective {fig- 5 7).

Si, par C4 et C2, on mène les droites C^Vet G2V à 45° sur C4C2, on a le rabattement V du point de vue sur le Tableau. Par suite, la transformée de toute droite sera parallèle à la droite joignant le point V au point de rencontre de cette droite et de A. En particulier, aux axes Ox et Oy correspondront les axes O'x' et O'y'

menés respectivement par les points A' et B' parallèlement aux droites VA et VB.

De même, si la bissectrice 01 de l'angle des axes Ox et Oy coupe AB en I et A'B'en F, la droite OT qui correspond à 01 esl parallèle à VI.

Si l'on rapporte l'abaque ,31 aux axes Ox et Oy, et l'abaque 51' aux axes O'x' et O'y' , puisque, d'une part, Ox correspond à OV, et Oy à Oy, que, d'autre part, la droite AB correspond à la

droite de l'infini sur Q' x' y' , on voit que les formules de transformation seront

bx -+- a y — ab

en posant 0A= «, OB = b.

Pour déterminer les paramètres \ et jji, ou plutôt leur rapport, il suffit de remarquer que l'équation de la droite OT, qui correspond, ainsi qu'il vient d'être dit, à 01, ou x =y, est

{xx;= \y.

Or, nous venons de voir que O'x' ', O'y' et OT sont respeeti-

l/jO CHAPITRE III.

vement parallèles à VA, VB et VI. Si donc nous menons par I parallèles IL et IM à VB et VA, nous avons