L " VM
En résumé, une fois placés sur l'abaque les points G< et C2, d'où se déduit immédiatement V, la transformation voulue est définie par les formules ci-dessus, lorsqu'on prend deux axes O' x' et O'y' comprenant entre eux un angle égal à AVB et que l'on fait a = OA, b = OB, ), = B.VL, u. = Q.VM, 8 étant un module dont on dispose en vue de l'échelle qu'on veut adopter.
63. Fractionnement des abaques à points alignés. — Le dessin d'un abaque à points alignés ne comportant que. trois échelles curvilignes, on pourra sur une même feuille placer côte à côte plusieurs abaques de cette espèce. De là la possibilité de fractionner un tel abaque, ses diverses fractions étant groupées sur un même tableau. Pour nous placer à un point de vue tout à fait général, supposons l'échelle (a,) fractionnée entre ses limites a{ et bK en nK tronçons, et l'échelle (ou) fractionnée entre ses limites a2 et b2 en n2 tronçons. Associant chacun des premiers à chacun des seconds, on voit qu'on aura ainsi à construire n{ n2 abaques partiels.
Mais, ainsi qu'on l'a déjà remarqué au n° 35, il arrivera souvent en pratique que l'on n'aura pas besoin d'associer toutes les valeurs de <7H comprises entre a, et />, à toutes les valeurs de ou comprises entre a2 et b2. Cela permettra, dans bien des cas, de réduire le nombre des abaques partiels à substituer à l'abaque total qu'on aura fractionné. Si, par exemple, il existe respectivement dans les intervalles de at à b{ et de a2 à b2, des valeurs c{ et c2 telles que les variables a, et a2 soient ensemble supérieures ou inférieures respectivement à C\ et à c2, on n'aura besoin que d'associer le tronçon de a. à c( au tronçon de a* à c» et le tronçon de C\ à b\ au tronçon de c2 à b2, ce qui ne fera que deux au lieu de quatre abaques partiels à construire à la place de l'abaque total qui associerait l'intervalle de aK à b{ à lintervalle de a2 à b2-
Il arrivera, en outre, que plusieurs des tronçons des échelles fractionnées seront superposables, sinon comme graduation, du
ÉQUATIONS A TllOIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. \\\
moins comme support, ce qui introduira encore une simplification
notable dans le dessin.
64. Systèmes algébriques de points cotés. — Avani d'examiner quelques types particuliers d'équations représentables par la méthode des points alignés, nous dirons quelques mots de la construction de certains systèmes de points cotés qui se rencontrent fréquemment dans les applications.
Si l'équation d'un système de points cotés (a), linéaire en u et i>, est algébrique et de degré n en a, on dit que le système (a | est algébrique et de degré n. Dans ce cas, le support du système est en général une courbe d'ordre n. Puisque, en e(Tel, à un couple quelconque de valeurs données pour u et r l'équation lait correspondre, en général, n valeurs pour a, c'est que sur une droite donnée quelconque, il se trouve n points du svstème considéré, ce qui établit la proposition.
Parmi ces systèmes algébriques, les plus intéressants à envisager, au point de vue des applications, sont ceux du premier et du deuxième degré.
Un système (cl) du premier degré est défini par une équation
telle que
U + aV-o,
où U et V sont des fonctions linéaires en u et v.
Le support de ce système est la droite qui joint les points U = o et V =: o, et puisque la position du point (a) sur cette droite dépend linéairement du paramètre a, on voit que ces points (a) forment une échelle linéaire. Ainsi donc tout système de points du premier degré se confond avec une échelle linéaire, et, par suite, d'après ce qui a été vu au n° 7, un tel système peut être aisément construit lorsqu'on a déterminé trois de ses points.
Un système du second degré est défini par une équation telle
que
U + aV+an\'= o,
où U, V et W sont encore des fonctions linéaires en u et v.
Le support de ce système est une conique V dont l'équation en coordonnées parallèles est
V2— 4UW=o.
Mais il sera généralement plus commode de former son équation cartésienne par l'élimination de a entre les formules donnant les coordonnées x et y du point défini par l'équation ci-dessus.
Nous pourrions reprendre corrélativement ici tout ce qui a été dit à propos des systèmes de droites du deuxième degré (n° 45). Nous aboutirions ainsi au résultat corrélatif que voici :
Les droites qui joignent tous les points du système à V un quelconque d'entre eux forment un faisceau linéaire.
Un tel faisceau déterminant sur une droite quelconque une échelle linéaire, on peut dire que les projections de tous les points du système (a) à partir de V un d'eux sur une droite quelconque forment une échelle linéaire.
Il suffira de prendre cette droite parallèle à celle joignant le centre du faisceau au point coté (ao) pour que cette échelle soit régulière ( ' ).
De même aussi que dans le cas d'un système de droiles, on aura {fi g. 58)
pour a — o, le point U — o ou M,
pour a = ce, le point W = o ou N
Fig. 58.
et le point de rencontre des tangentes en ces points à la conique F
sera
V=o ou P.
(') Il va sans dire, puisqu'on peut prendre une parallèle quelconque à cette direction, qu'on la choisira dans la pratique, de façon que son module soit exactement égal à l'une des subdivisions de l'étalon régulier dont on dispose, c'est" à-dire du double décimètre.
Déterminons, en outre, le point Q correspondant à une valeur particulière a, et par le point Q menons les parallèles Qlî <i QS àMNetNP.
Les droites du faisceau de centre M passant par les points (o), (a) et (co) coupent QLl en 11, en Q et à l'infini. Donc, la projection du système faite à partir de M sur QR. est une échelle régulière ayant R et Qpour points (o) et (a).
De même, la projection faite sur QS à partir de .M est une échelle régulière ayant S et Q pour points (o) et (a).
65. Système particulier du second degré. — Prenons comme exemple le système défini par l'équation
Ici, t étant une variable d'homogénéité, on a
* pour a = o . . . . v = o ou B, pour a = ce ... . t = o ou le point I à l'infini sur A.u et Bv.
Les tangentes en B et I se coupent au point u — o ou A {fig. 5g I.
Fig. oç).
La conique T est donc une hyperbole tangente en B à AB et ayant A« pour asymptote.
Pour a = i, on a
c'est-à-dire le point Mx situé sur la parallèle équidistante des axes, et tel
que OM! = — -•
Si nous projetons les points B, M{ et I à partir de B sur OM, nous
avons les points O coté (o), Mj cote (i) et J, à l'infini, coté (co), donc une échelle régulière. Par suite, en portant sur OMi les segments M1m2, m2/n3, m3m4, ... égaux à OMj, nous aurons les rayons Bm2, Bm3, B/«t) . . ., sur lesquels devront se trouver M2, M3, M4, ....
Projetons maintenant les points B, M] et J à partir de I sur AB ; cela nous donne les points B coté (o), O coté (1) et A coté (ce). Prenons le symétrique N de Mi par rapport à O; tirons BN qui coupe A u en C et projetons l'échelle AB à partir de G sur ON. Les points B, O et A nous donnent les points N coté (o), O coté (1) et I, à l'infini, coté (ce). L'échelle sera donc régulière et, puisque par construction NO — OM1? le point coté (2) coïncidera avec Mj, le point coté (3) avec m2, le point coté (4) avec m3, .... Les rayons CMi; Gm2, Cm3 ... nous donneront donc sur AB les points m2, m'^, m'^.. ... A leur tour les rayons unissant ces points au point I, c'est-à-dire les parallèles aux axes menées par ces points couperont les rayons correspondants Bm2, Bm3, Bm4, ... aux points M2,M3, M4, . . . qui sont les points cotés (2). ( 3), (4 ), ... dans le système considéré.
La construction est absolument générale : pour avoir le point Ma,
y. ce
coté (a), porter sur OMi les segments O ma = - •> Nma 1=-; tirer la
droite Cm^-i qui coupe AB au point ma; la parallèle aux axes menée par />?a coupe le rayon B/?i0L au point Ma cherché.
Si on prolonge Bma jusqu'en sa rencontre />a avec A u, et C ma jusqu'en sa rencontre qrx avec Bc, on voit que
Apa— iQma= a
et
Brjx=-- 2N/%-i — ce.
De là une variante de la construction, indiquée sur la figure pour a = -•
Nous allons étudier maintenant plus en détail quelques types d'équations rentrant dans le type général auquel s'applique la méthode des points alignés.
