II. — Abaques à trois échelles rectilignes
A. — ■ Abaques a tiiois échelles parallèles (').
66. Type des équations correspondantes . — Ces équations sont celles de la forme
(*) Tout abaque à points alignés comportant trois échelles reetilignes concourantes peut être ramené à ce type par une transformation homographique rejetant à l'infini le point de concours des trois supports.
[fi étant toujours mis là pour //(a/)], auxquelles est applicable la méthode des abaques hexagonaux (n° 32).
Rappelons qu'on y ramène aussi celles de la forme
/i / 2 = fz en les écrivant
log/iH-log/2 = log/3.
Pour représenter l'équation (E) ci-dessus par un abaque à points alignés, posons (' )
(ai) u = lif,
(a2) v = hfu
ce qui nous donne
équation qui, avec le choix d'axes que nous sommes convenus de faire (n° 57), définit le point
(as)o a?=o=— -y-, JK=t— — r/3.
L'expression de 3? ne renfermant que des constantes, on voit que les points (#3) sont distribués sur une parallèle Gw aux axes, dont le point de rencontre C avec AB {fi g. 60) est tel que (n° 57)
(') Nous supposons que a, et a2 sont les variables indépendantes naturelles de la question (voir le renvoi au bas de la page 32).
Quoique ee ne soit pas rigoureusement indispensable il est préférable, au point de vue de la précision, que l'échelle du résultat (a3) se trouve entre les échelles des données (a,) et(oc2). Elle pourrait d'ailleurs sans cela se trouver fort éloignée de celle-ci, voire même à l'infini si la condition imposée plus loin à lx et l2 conduisait à prendre ces modules égaux.
Pour que cette situation relative des échelles soit réalisée, dans tous les cas, il faut, si dans l'équation (E) les fonctions /, et f2 sont de signes contraires, adjoindre à l'une d'elles le signe — de façon que dans l'équation (a3)0 les deux termes du premier membre soient de même signe.
Par exemple, si l'équation (E) s'écrit
J\ J2 — J \1 les fonctions /, et /., étant positives, on pose
u = l{fn
»=- hU M. d'O. IO
l46 CHAPITRE III.
Si donc nous représentons par
(«s) w — hjz
l'échelle de la fonction déterminée sur cet axe, nous voyons, puisque w n'est autre chose que y, que nous avons
ou
En résumé, ayant choisi arbitrairement les modules /, et l2, et. en ayant déduit le module /3 par la formule (2), nous voyons que, pour construire l'abaque de l'équation (E) ci-dessus, il suffit, ayant pris sur la droite AB le point C tel que la formule (1)
soit vérifiée, de mener par les points A, B, C trois axes parallèles Au, Bc, Cw et de porter sur ces trois axes, à partir de leurs origines A, B, G, respectivement les échelles définies par les formules (a,), (a2) et (a3).
11 est d'ailleurs très facile de donner le principe de cette sorte d'abaque par un procédé purement élémentaire, équivalant au fond à l'emploi de coordonnées parallèles, mais ne faisant pas intervenir explicitement leur notion.
Si l'on coupe les trois axes Au, Bv, Gw par une transversale quelconque MN qui les rencontre en M, N, P, on a, par construction,
PM GA h h
PN : GB z ~ k~ 1
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. \(\r]
Donc le point P est le barycentre des points M et N respectivement affectés des coefficients T et T- Il en résulte qti<' (')
ÀM BN p / £ j^
ou, en vertu de l'égalité (2) supposée vérifiée, que
AM BN GP
ii U h
Or, toujours par construction, on a supposé les cotes a,, a2 et a3 inscrites aux points M, N et P, telles que
AM=7,/lï BN = /2/2, CP = /,/3.
L'égalité précédente devient donc
Remarque. — Dans le cas particulier où l'on prend pour les axes Au etBp» des modules égaux l{=- l2, la formule (1) montre que Cw se confond avec Ojk, et la formule (2) que l'on a /3 = -1 » ce qui d'ailleurs était évident a priori.
67. Disposition et limitation des échelles. — C'est la libre disposition que l'on a des modules lK et l2 qui fait toute la souplesse de la méthode. Rappelons que dans la méthode des abaques hexagonaux (2) ces modules sont nécessairement égaux; il en résulte
(l) Rappelons en deux mois le procédé élémentaire qui donne cette formule. On a
MP AG lt
PN ~~ CB ~~ T2' Mais
