MP AM — CP

PN == CP — BN * Donc

AM — CP lA

CP — BN == t2 ou

(2) Rappelons aussi qu'outre le passage des index correspondants parles points (a,) et (a2), cette méthode exige le maintien de l'orientation du transparent, sujétion dont est affranchie la présente méthode.

que si, en appelant aK et bK , a2 et b2 les limites respectives de a, et de a2, les différences fK {bK ) — /< («, ) et f2 (b2) — f^a*) présentent entre elles un notable écart, les longueurs des échelles (a,) et (a2) offrent le même caractère. Avec la méthode actuelle, rien de pareil; on est même libre, dans tous les cas, de donner aux deux échelles la même longueur.

Plaçons nous d'abord dans ce cas idéal, quittes, dans la pratique, à nous en écarter plus ou moins pour satisfaire à d'autres convenances.

On peut tout d'abord se donner arbitrairement la longueur L des échelles qui appartiennent en général à la catégorie des échelles dites usuelles (n° 5) ou de leurs dérivées (n° 6). Les modules /, et l2 sont alors donnés respectivement par

fi(bi)— /1O1)

et le module /3 par la formule (2) du n° 66. On peut faire alors l'analyse des échelles (a,), (a2) et (a3), comme cela a été indiqué

au n° 2.

Si cette analyse faisait reconnaître que certains intervalles sont trop petits, il n'y aurait qu'à multiplier les trois modules d'abord choisis par un même nombre.

Portons alors sur deux axes parallèles les échelles (a,) allant du point P< au point Q,, et (a2) allant du point P2 au point Q2

(aa)

L'inclinaison de l'axe AB, non tracé, des origines, par rapport aux axes de coordonnées Au et Bv étant quelconque, nous sommes libres de choisir les points Pi et P2 sur une même perpendiculaire

( ') Sur cette figure et les suivantes la portion graduée de chaque axe est indiquée par un trait gras.

à ces axes. Les longueurs des échelles étant égales, la figure ^iQiC^Pa formée par ces échelles est un rectangle. Puisque l'échelle (a3) sera parallèle à celles-ci, le plus petit angle sous lequel elle sera rencontrée par l'index servant à la lecture sera égal à l'angle QiP<Q2. Gomme, d'autre part, l'écartement des axes est quelconque, nous pourrons en disposer de façon à donner à cet angle telle valeur qu'il nous plaira. Si, par exemple, nous

adoptons la valeur --, nous n'aurons qu'à prendre l'écartement

ï\ P2 des axes égal à la longueur P1 Q, des échelles. Le quadrangle limite de l'abaque sera alors constitué par un carré et l'index coupera toujours les supports des échelles sous un angle compris entre

r il

7 et-.

Traçons alors la parallèle P3Q3 aux axes telle que

P1P3 = fiy 1 3 P2 1%

et choisissons un couple de valeurs v!x et a' , des variables oq et a2, pour lesquelles la valeur correspondante a'3 de la variable a3 se déduise très aisément de l'équation donnée.

Tirant sur la figure la position correspondante R, R2 de l'index nous obtenons sur P3Q3 le point R3 coté a'3. Connaissant ce point et le module l3 nous pouvons très aisément construire l'échelle de la fonction f3, en la limitant d'ailleurs aux droites P< P2 et Q< Q2.

Tel est le type théoriquement le plus parfait de l'abaque à supports rectilignes parallèles. On pourra en pratique s'en écarter plus ou moins.

Il est bien évident, par exemple, que si les valeurs de l{ et l-2 calculées plus haut ne s'expriment pas par des nombres simples, on les arrondira pour qu'il en soit ainsi, ce qui introduira une inégalité entre les longueurs des échelles; d'autre part les nécessités du format pourront conduire à réduire l'écartement des axes et,

par suite, à abaisser un peu la limite inférieure - qu'on s'était

d'abord imposée pour l'angle de l'index avec les supports.

Il peut arriver d'ailleurs que pratiquement les valeurs limites de chaque variable at et ou n'aient à être associées qu'à une certaine partie de l'échelle de l'autre. Dans ce cas l'échelle (a3) pourra être réduite de longueur.

Supposons, par exemple, que l'abaque ne soit utilisé que pour des valeurs de a1 et de ou satisfaisant à une égalité telle que

Considérons toutes les positions limites de l'index, c'est-à-dire celles qui joignent les points dont les cotes satisfont à l'équation

Ces positions limites enveloppent une courbe C (Jig. 62 et 62 bis) et l'inégalité de condition signifie, selon le cas, que l'index doit ou être extérieur à cette courbe, ou, au contraire, la rencontrer. La position extrême de l'index sera l'une des tangentes menées de Qi et de Q2 à la courbe C. Si l'inégalité donnée exprime que l'index doit être extérieur à la courbe C, l'échelle (a3) ne devra être construite qu'entre les points P'3 et Q3 (Jig. 62); si, aucon-

Fig. 62.

Fig. 62 bis.

traire, elle exprime que l'index doit rencontrer la courbe C, l'échelle (a3) devra être construite entre les points P3 et Q'^ (Jig. 62 bis).

68. Fractionnement des échelles. — On peut effectuer le fractionnement des échelles comme dans le cas des abaques hexagonaux. Soient cK et c2 des valeurs des variables af et a2 intermédiaires entre leurs limites respectives aK et b^ a2 et b2.

On pourra fractionner l'abaque en quatre autres ainsi limités :

I ai entre ci\ et Cj, a2 entre #2 et c2,

II oci >i Ci et 61, a2 » c-2 et ô2,

III ai » ai et Ci, a2 » c2 et 62,

IY ai » Ci et 61, a2 » a2 et c2.

ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. l5i

Nous pourrons construire L'abaque 1 an moyen de dois axes parallèles (a,), (a2), (a3), gradues sur leur coté gauche par exemple (Jig . 63), et l'abaque II au moyen des mêmes axes gradués sur leur côté droit, le rapport j- des modules étant, bien entendu, supposé le même dans les deux cas.

Fig. 63.

(IV

(IV