Exemples. — i" Si nous prenons

fi(*i) = «* 0' = i,2,3), nous obtenons ainsi une représentation fort simple de l'équation

qui se rencontre fréquemment, notamment en Physique dans la théorie «les miroirs et lentilles sphériques. C'est aussi l'équation qui lie les modules de trois échelles à supports parallèles (n° 06).

Si l'on prend to = — (fig. 76), on a

•1 cos — == 1 cos -

Fig. 76.

Ainsi donc, si Von coupe par une transversale quelconque trois échelles régulières (ai), (a2), (a3) de même module portées sur les côtés d'un angle de 1200 et sur sa bissectrice (le point coté o de M. d'O. 12

chacune de ces échelles se trouvant au sommet de l'angle), on a, entre les cotes des trois points alignés, la relation

Avec cette disposition des axes la transversale les coupe en général sous

des angles trop petits. Il est préférable de prendre a> = — • Dans ce cas

2 COS — — 2C0S- = i/j.

D'ailleurs, quel que soit l'angle w , la graduation de la bissectrice s'obtient, en projetant celle de l'un des côtés de l'angle parallèlement à l'autre.

A titre de curiosité on peut se rendre compte de la façon dont cette disposition d'abaque peut se déduire de celle que nous avait, au début, donné l'emploi des coordonnées parallèles (n° 66).

Pour plus de simplicité nous prendrons le cas où w= —• La marche

serait la même dans le cas général.

Les formules définissant le premier abaque montrent que l'équation peut se mettre sous la forme

Multiplions-la par le déterminant

Gela nous donne

d'où les équations

t| (i ï définissent respectivement les points

Ces points reproduisent la seconde disposition de l'abaque lorsqu'on fait coïncider la bissectrice de l'angle des supports, qui font entre eux

l'angle — -■> avec Oy.

i° Soit encore l'équation

sinaj sina2 = sina3

qui se rencontre dans la théorie de la polarisation elliptique. Ecrivons-la

log sin Xy -t- Iog sina2 = log sina3.

Lorsqu'un angle varie de o° à go° son log sin varie de — oo à o. Nous sommes ici dans le cas d'appliquer la remarque qui termine le n" 73. Ecrivons donc cette équation

h — k log sin ocj h — k log sin a2 ih — k log sin x:i

Posant, en appelant / un module quelconque,

h — k log sin y.{

h — k log sina2

nous aurons sur Ox et Oy deux échelles (at) et (a2) pareilles.

Pour avoir l'échelle (a3) il suffit de remarquer que pour ctv — 900, l'équation donne a3 = a2. Gela montre que l'échelle (a3) s'obtient en projetant, à partir du point (xi) coté 900, l'échelle (a2) sur la bissectrice de xOy.

Avec les données numériques xOy = 6o°, l = 6cm, h = 1, k = 10, l'abaque obtenu est celui de la fig. 77, réduction de celui qui a été construit par le capitaine d'Artillerie Lafay en vue de ses recherches sur la polarisation elliptique (1).

77. Echelles non concourantes. — Soient, maintenant, trois échelles (a, ), (a2), (a3) portées par trois droites non concourantes, c'est-à-dire formant un triangle UVW (/?#'. 78). Voyons

quel est le type d'équation représenté par l'alignement de trois points pris respectivement sur chacune de ces échelles. Le théorème des transversales donne

AV.BW.CU AW.BU.CV :

AV BW GV AW ' "BU" ~ CÏJ

Puisque la position de chaque point sur l'échelle correspondante dépend de sa cote, on peut poser

AV BW

AW:^h BU ~Ju

On voit ainsi que l'équation représentée est

On retombe ainsi sur la forme du n° 72, ce qui devait être.

(') Journal de Physique, 3e série, t. IV, p. 178; 189").

puisque les dispositions d'abaque correspondantes sont transformées homographiques Tune de l'autre.

En réduisant les fonctions /?(a,-) simplement à a/, on aurait tin abaque de multiplication transformé homographique du huitième type ci-dessus (n° 74, 2°). Il est très digne de remarque que ce type d'abaque a été proposé jadis par Môbius (').

Si la fonction /3 varie de o à 1 , le point C se déplace à partir de V jusqu'à l'infini sur le prolongement du côté UV. Un artifice bien simple permet de ramener à distance finie la position limite du point G. Il suffit, en effet, d'écrire l'équation

et de poser

eu = 7^<

AV BW .

"Âw"-"-'1' ~ bv = /lfi'

Il étant une constante quelconque inférieure à 1. C'est d'après ce principe qu'a été construit par le capitaine Lafay, tou-

Fi§- 79-

to ?o

jours en vue des recherches physiques dont il a été question plus haut, l'abaque de l'équation

tangos tanga2= sina3

(') Werke, t. IV, p. 620. C'est à l'obligeance de M. Mehmke que nous devons celte indication.

dont la jlg. 79 est une réduction. Pour cet abaque la constante h a

, , , 5 ete prise égale a - -