ET UJ\E ÉCHELLE CURVILIGNE
78. Type des équations correspondantes . — Ces équations sont celles de la forme
où y3, co 3 et d/3 ne sont pas à la fois linéaires, sans quoi l'on serait ramené au cas précédent.
Il suffit, pour les représenter, de poser
il = /i /i ,
ce qui donne
Les points définis par cette équation sont distribués sur une certaine courbe dont l'équation en u et v s'obtiendrait en éliminant a3 entre l'équation (a3)0 et sa dérivée prise par rapport à a3 ; mais il est tout aussi facile de former l'équation cartésienne de ce support. En effet, en appelant toujours o la demi-distance des origines A etB, on a
(oc,)
hfz
Tfi'
Il o
et l'équation cartésienne du support de (a3) s'obtient par l'élimination de a3 entre ces deux dernières équations.
On n'aura d'ailleurs généralement pas besoin de connaître la nature géométrique de ce support curviligne, chaque point (a3) étant construit individuellement. On aura souvent avantage à effectuer cette construction suivant le mode signalé dans la Remarque du n° 60 en se servant des échelles (a,) et (a2) préalablement construites.
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. l83
Il sera toujours bon de faire en sorte que les points (a3) se trouvent entre les axes parallèles, ce qui exige que dans l'équation (a3)0 les coefficients de a et v soient de même signe.
Si cette circonstance ne subsistait pas dans tout l'intervalle considéré on aurait recours à un fractionnement avec changement de signe sur l'un des axes. On en trouvera plus loin un exemple (n°83).
L'étude de la variation de l'angle sous lequel l'index rencontre l'échelle (a3) ne saurait se faire avec la même simplicité que dans le cas où le support de cette échelle était rectiligne (n° 73).
Mais il arrive souvent dans les applications que l'arc de courbe sur lequel est distribuée l'échelle (a3) diffère peu de sa corde. On peut alors appliquer la règle donnée à l'endroit cité comme si le support curviligne se confondait avec cette corde.
79. Premier exemple : Abaque de l'équation du second degré ('). — La présente méthode est de celles dont les applications sont le plus fréquentes dans la pratique. Nous croyons donc utile de nous étendre avec quelque détail sur plusieurs de celles-ci.
Soit, en premier lieu, l'équation du second degré
(E) z'~-+-pz -h q = o.
Pour obtenir son abaque, posons
(p) u — lip,
ce qui donne pour (z)
(Z)0 /j /2^2+ 1-2ZU -f- li V — O
ou, en appelant toujours 20 la distance AB des origines,
. rx 1 1 — L 0 z — 1 1 IvZ-
Les échelles (p) et (q) étant régulières, il n'y a pas lieu de s'y arrêter. Pour l'échelle (z), remarquons d'abord que, d'après l'expression de x, cette échelle projetée sur AB parallèlement aux axes Au et Bt> donne une
( ') C'est précisément à l'occasion de cette application et de la suivante (équation trinôme du troisième degré) que nous avons, dans notre Mémoire O.l, fait connaître le principe de la méthode des points alignés.
i84 chapitre in.
échelle linéaire ayant son point coté o en B et son point coté oo en A. Il est très facile de construire cette échelle soit comme transformée d'une échelle régulière ( n° 7), soit comme dérivée d'un étalon segmentaire, si l'on a pris pour AB la longueur de cet étalon {Remarque finale du n° 7).
Si d'ailleurs /j = /2, cette échelle se confond avec l'étalon segmentaire même.
Pour achever de déterminer les points (3), il suffit de remarquer que, pour v = o, l'équation (z)0 donne
ce qui montre que la droite joignant le point B au point (z) coupe Vaxe Ku au point de V échelle (p) dont la cote est égale à z.
Donc, en coupant le faisceau des droites qui unissent le point B aux points (/>) par les parallèles aux axes menées par les points de l'échelle linéaire construite sur AB, on obtient l'échelle curviligne {z) (l), dont le support est une hyperbole facile à déterminer.
Transportons, en effet, l'origine des axes cartésiens du milieu O de AB au point B. Les coordonnées du point (z) deviennent
— •*/, ùz —LUz*
Elles montrent immédiatement : i° qu'à l'origine B la tangente est l'axe des x, c'est-à-dire AB; 20 que l'axe Au(x = — ô) est asymptote, pour
Z = co.
Tl suffit d'ailleurs de construire la portion de l'hyperbole correspondant aux valeurs positives de z. et qui est tout entière comprise entre les axes A m et Bç. Gela revient à ne construire l'abaque que pour les racines positives de l'équation (E). Ses racines négatives sont données, en valeur absolue, par les racines positives de la transformée en — z qui se déduit de la précédente par le simple changement de p en — p.
On n'a d'ailleurs besoin le plus souvent, dans les applications, que des racines positives.
En prenant l{ = l2 = 6mm,5, on obtient ainsi la courbe G2 de la Jïg. 80 ( - ).
(') On a déjà indiqué, au n° 65, une construction de cette échelle (fig- 5g), dans le cas où l{ = l2.
(2) Les relations fondamentales entre les racines zl et z2 de l'équation et ses coefficients p et g, savoir
montrent que l'abaque constitué par les axes A u et B v et la courbe C2 peut servir d'abaque d'addition et de multiplication, la droite joignant les points cotés z{ et z2 de la courbe C, coupant l'axe ku au point coté p et l'axe B^ au point coté q. De même, la droite, joignant le point (z) coté zx au point (p) coté 2Z„ passe par le point (q) coté z\.
ÉQUATIONS A TIIOIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. l85
80. Cas particuliers divers. — Pour les applications où interviennent des équations du second degré, on dispose de lx et de /2, «le façon à donnei aux échelles parallèles, entre leurs limites respectives, des longueurs égales ou à peu près.
Fig. 80.
i° Épaisseur des lentilles plan-convexes. — Soit, par exemple, l'équation
ou
e2 — iRe ~ — - = o.
qui lie l'épaisseur e, le rayon de courbure R et le diamètre d d'une lentille plan-convexe.
L'abaque correspondant, pourt/, variant de 20mmà 100""". et II de roomi
l86 CHAPITRE III.
à 5oomm, a été construit (l) en posant
avec lx = omm,i, /2 = on,m,5.
La y?^". 81 donne une réduction de cet abaque. On voit qu'ici la portion
Fig. 81.
Millimètres
u-so-
— tf
to
ce
(') A la demande de M. Carpcntier, le constructeur bien connu d'instruments de précision.
ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. In-
utile de l'hyperbole se confond très sensiblement avec sa corde, et, par suite, qu'en se servant de celle-ci au lieu de la courbe entre les droites joignant les points limites des échelles parallèles, on pourrait, en vue de la meilleure disposition de l'abaque, appliquer ce qui a été dit à propos des abaques constitues par trois échelles rectilignes dont deux parallèles
i° Volume du ballast. — Le demi-profil du ballast d'une voie de ch . min de fer est un trapèze-rectangle ayant un côté incliné à |. Si donc A est la largeur en plate-forme de ce demi-profil, h la hauteur du ballast, le volume par mètre courant, abstraction faite des traverses, est donné par
Y = bh +0,70 A2.
Ici, l'inconnue étant toujours V, on fait en sorte que l'échelle corres pondante soit située entre les deux autres. II suffit, pour cela, de poser
u='llb, v = l2V.
La fig. 82 donne une réduction de l'abaque qui a été ainsi établi pour le service de la construction de la Compagnie des Chemins de fer de l'Ouest avec
/, = 25cm, /2=i6cm.
On voit qu'ici encore la portion utile de l'hyperbole portant la graduation (h) se confond très sensiblement avec sa corde.
Pour tenir compte des traverses, il suffit de retrancher de la lecture \ une constante t représentant le volume occupé par les traverses sur un mètre courant. On peut éviter cette soustraction en dessinant sur le transparent qui porte l'index, un demi-cercle de rayon l^t ayant son centre O sur l'index (1). Appliquant alors le transparent sur l'abaque, de façon que le point O se trouve sur l'axe des v et la demi-circonférence (t) du coté des V décroissants par rapport à O, on voit que le volume V demandé sera donné par la cote du point de l'échelle (V) qui se trouvera sous le cercle ( t).
On peut même tracer ainsi plusieurs cercles (t) correspondant aux divers types de traverses employés.
Sur la fig. 82, la position de l'index marquée en pointillé montre que pour b = 3m,4, h = om, 5o, on a V=imc,8.
81. Second exemple : Abaque.de l'équation trinôme du troisième degré {-). — Reprenons maintenant l'équation trinôme du troisième degré déjà envisagée au n° 23 (20), soit
(E) zz^pZ .+- q — o.
(') Un tel artifice avait été déjà employé par M. Lallcmand pour un autre abaque (n° 137).
(2) Voir le renvoi, p. i83.
Posons
iP)
Fig. 82.
im3i-
%-vy*
jL 0,3^>
jj
jF
JL
""^ Jr-0>9
