TET

^-JLo.so

jÉr 0.51

loy*

Il- 0'5S

ïo,S9

Il vient alors, pour (.3),

( •S >0 /1 /-> -S3 + /2Zii + /1C= O,

o.ec!

ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. l8o

ou, en appelant toujours 20 la distance AP> des origines,

L«s échelles (/>) et (7) ci-dessus sont les mêmes que celles de l'abaque de l'équation du second degré (n° 79). Pour la troisième, l'expression de x esl aussi la môme que dans le cas du second degré. Autrement dit, la projection de l'échelle (z) faite sur l'axe AB parallèlement à ku et Bp sel la même.

Nous avons vu au numéro précédent comment on pouvait construire cette échelle projetée.

Nous allons maintenant faire voir comment, pour une valeur quelconque de s, on peut passer du point M projeté sur AB au point/? correspond;) m de l'échelle curviligne (z) {fig. 83). Bendons-nous compte pour cela de la nature du support Z de cette échelle.

Fig. 83.

rtoo

L'équation en u et v de la courbe Z, obtenue en exprimant que l'équation (z)0 a une racine double (n° 57), est

C'est donc une courbe de la troisième classe. D'ailleurs les expressions (z) de x et y montrent que la courbe Z, unicursale, est égalemeni du troisième ordre. C'est donc ce que Salmon a appelé une cubique cuspidale (*), c'est-à-dire une cubique unicursale douée d'un point d'inflexion et d'un point de rebroussement. Il est d'ailleurs très facile de vérifier que le point d'inflexion se confond avec le point B où la tangente est AB et

(') Courbes planes, traduction Chemin, p. 186.

IQO CHAPITRE III.

le point de rebroussement avec le point situé à l'infini sur la partie négative de l'axe Au, cet axe constituant lui-même la tangente en ce point.

Si, en effet, on transporte l'origine du milieu O de AB au point B, les coordonnées du point M coté z deviennent

hh

Elles montrent que, à l'origine B, la tangente est Bx, puisque, pour z y tendant vers o, lim — = o.

En outre, y, négatif pour z très petit et positif, devient positif pour z 1res petit et négatif, d'où résulte que la courbe est située de part et d'autre de sa tangente en B, c'est-à-dire que ce point B est un point d'inflexion.

Pour z = ± :o, x = — 20, y == — oo, ce qui montre que l'axe Au est une asymptote de rebroussement pour la branche de courbe située du côté des y négatifs.

Les tangentes au point d'inflexion B et au point de rebroussement Rœ se coupant au point A, le théorème général sur la construction point par point des cubiques cuspidales que nous avons fait connaître (J ) montre • pie :

Si l'on Joint le point A au point de rencontre K de la droite BP et de la symétrique de PM par rapport à Oy, la droite AK et l'ordonnée PM se coupent sur une droite fixe issue de B.

La vérification de ce théorème est d'ailleurs bien aisée avec le dernier choix d'axes de coordonnées qui vient d'être fait, c'est-à-dire avec l'origine au point B.

Les coordonnées du point K, immédiatement déduites de celles de P,

sont, en effet,

— •il^

ce qui donne pour équation de la droite AK

2ô72jk = — l\z{x -h 2§).

La première des formules (z)' qui donne Yx du point H peut s'écrire

( l ) N. A., 3e série, t. XI, p. 386, et t. XII, p. 345. Dans la première de ces deux Notes, p. 388, 2e ligne, au lieu de « par le point T », il faut « par le point I ». La démonstration ne laissait d'ailleurs aucun doute au sujet de cette faute d'impression.

Un autre théorème donné dans cette même Note (p. 3gi) montre {fig- 83) que si la parallèle à BP menée par A coupe PM en N, il suffit de prolonger AN de la moitié NT de sa longueur pour obtenir la tangente PT à la courbe Z en P.

Divisant membre à membre les deux dernières égalités, on a