IL = O

c'est-à-dire

puis les points cotés — 2 et — 3

c'est-à-dire

on fin le point coté ce

(oo) u -f- 2f -f- 5 == o,

c'est-à-dire x

L'échelle curviligne (/), projetée successivement de chaque point (—2) et ( — 3) sur une parallèle à la droite joignant ce point au point (»),

Fig. 87.

donne une échelle régulière, et, comme on connaît les points (1) et (o,5) de ces échelles régulières, la construction en est des plus aisées.

Echelle (/?). — Les quatre points (/) cotés (1), (o,5), ( — 1) et ( — 3)

sont les points (p) cotés ( — o,5), ( — - ) > (1) et (o,5), en vertu de la re-

marque faite au début de ce numéro, qui se vérifie d'ailleurs sur l'équation (p)->.

Quant au point (00), il est ici

u H- )V — 10 = 0, c est-a-dire x = -> y = -■

La construction sera la même que pour l'échelle (/), les centres de rayonnement étant ici

(-0,5) [ou (l = i)], et (-- |) [ou (/ = o,5)]. Echelle (A). — Pour l'échelle (/*), on a tout de suite les points

p = 1, c'est-à-dire x = 1, jp = 1,

On voit que les points (h) cotés o, i et c© coïncident respectivemenl avec les points {p) cotes , i et ce.

D'ailleurs, l'équation donnée montre que, quel que soit A, pour /— i.

on a

Donc les droites joignant le point (/), coté 1 aux divers points (A). passent par les points (p) cotés 2/1 — 1, ce qui simplifie grandemenl la construction de l'échelle (h), puisque, à une simple modification des cotes près, l'un des faisceaux qui ont servi à obtenir l'échelle (p) sert égalemenl pour l'échelle (h).

IV. — Application de la méthode des points alignés à la représentation de lois empiriques.

80. Abaque de la vitesse d'un train remorqué par une locomotive de type connu. — Lorsque trois variables sont liées entre elles par une loi qui n'est connue qu'empiriquement, on peut toujours, comme nous l'avons vu, en faire la représentation au moyen, d'un abaque cartésien (n°16). La méthode dés points alignés exigeant que l'équation représentée offre certains caractères fonctionnels, très généraux, il est vrai, on est en droit de se demander si elle pourra également se prêter à la représentation de lois empiriques à trois variables.

La meilleure façon de répondre à la question est de donner quelques exemples d'une telle représentation.

En premier lieu, il se peut que l'empirisme de la loi n'intervienne que dans la détermination d'une fonction de l'une des variables, liée aux autres variables par une formule mathématiquement déterminée.

C'est le cas pour une formule, traduite en abaque à points alignés, par M. M. Beghin, ingénieur de la Gie des chemins de fer départementaux ( ' ).

Soient :

M et R,„ le poids et la résistance par tonne de la machine; T et R^ les mêmes quantités pour le train remorqué; r la rampe de la voie en millimètres, E l'effort de la machine.

(') A. P. C., livraison d'octobre 1892, p. 54$.

On a, entre ces quantités, la relation

E = M(RIIt + r)-hT(R,-*r).

Pour une machine donnée, M est une constante; quant à E, Rm et R^, ce sont des fonctions empiriques de la vitesse V. L'équation ci-dessus lie donc en réalité les trois variables r, T et V.

Remarquons qu'elle peut s'écrire

Si l'on pose

P étant le poids total du train, qui peut être pris comme variable indépendante au lieu de T, elle devient

F(V) = P[*(V)-t-r] ou

Sous cette forme, et regardant les variables r, P et V comme at, a2 et a3, on voit immédiatement qu'elle rentre dans le type du n° 78. Il suffit donc, pour la représenter, de poser

ce qui donne

(V) l2u-h lx F(V)v-+-lll2&(Y) = o.

Les échelles (r) et ( P), respectivement portées par les axes Au et Bp, sont faciles à construire. L'échelle curviligne (V) peut également être construite lorsqu'on connaît empiriquement F(V) et 4>(V), c'est-à-dire un tableau, sous forme numérique ou sous forme graphique (nos 9 ou 12), des valeurs de ces fonctions correspondant à diverses valeurs de V. Au surplus, si les vitesses extrêmes entre lesquelles on applique la formule ne sont pas très éloignées, la fonction 4>(V) varie peu dans l'intervalle, et en représentant par k sa valeur sensiblement constante on voit que les points (V) sont distribués sur la droite, dont les coordonnées parallèles sont

u — — lik, ç = o.

Mais M. Beghin a fait la remarque que, à défaut même de la détermination empirique des fonctions F et <ï>, l'échelle (V) pouvait être construite lorsqu'on disposait d'un tableau d'essais. En effet, prenant des

couples de valeurs de /• et de P correspondant à une même vitesse \ , 01 n'a qu'à unir par des droites les points cotés, au moyen de ces valeurs su

QO

les échelles (/•) et (F). Ces droites devront passer par le point coté au moyen de la valeur de V considérée. Cette façon de procéder est conforme à la Remarque faite à la fin du n° 60. Elle a en outre, ici, l'avantage de per-

mettre de rectifier des erreurs d'expérience, attendu que toutes les droites répondant au cas où V a la valeur donnée doivent passer par un même point.

La fig. 88 reproduit l'abaque de M. Beghin, construit avec les modules lx = i im5 /2 = 4mm, pour la machine de 25 tonnes des chemins de fer corses.

La position de l'index tracée en pointillé, correspond à l'exemple numérique /• = iomm, T = 701, ou P — o/5 T, pour lequel on a V = 3>.km.

86.- Abaques du tir de siège. — Dans l'exemple précédent, il s'agissait d'une équation ayant mathématiquement la forme requise pour l'application de la méthode des points alignés, mais dans laquelle l'une des variables entrait sous des signes fonctionnels qui n'étaient définis qu'empiriquement. Il arrivera plus souvent que la loi unissant trois variables ne se présentera pas sous la forme d'une équation remplissant une telle condition, mais que, an degré d'approximation requis par la pratique, on pourra l'y amener. Voici un exemple remarquable de ce cas, que nous empruntons à un intéressant travail du lieutenant d'artillerie Lafay (*) (aujourd'hui capitaine).

La charge G d'un canon dépend de la vitesse initiale V qu'on veut imprimer au projectile, et celle-ci est fonction de la portée P et de ce que les artilleurs appellent V angle tabulaire <£.

Il s'agit donc, pour déterminer la charge G ou, ce qui revient au même, la vitesse Y, de construire un abaque donnant Y lorsque P et 4> sont connus.

Ayant remarqué que, pour de petites valeurs de <£, la relation qui unit ces quantités peut prendre la forme

sina* =/(V)F(P),

où y et F sont des fonctions connues empiriquement, on est conduit, pour chercher à étendre cette formule, à de plus grandes valeurs de <ï>, après avoir gradué les axes cartésiens Ox et Oy suivant les lois

x= /F(P), y = l sin 2<ï>,

à marquer sur le quadrillage ainsi obtenu les points correspondant à des couples de valeurs de P et de 4» donnant, d'après l'expérience, une même valeur de Y et à unir, pour chaque valeur de Y, ces divers points par une ligne {fig. 89).

Cette ligne passe par l'origine et reste d'abord presque confondue avec sa tangente en ce point, ce qui explique que,- pour les petites valeurs de 4>,

(') Revue d'Artillerie, octobre 1890.

Le colonel Langensheld, de l'artillerie russe, a étendu aux mortiers de côte le travail que le lieutenant Lafay avait réalisé pour notre canon de i55 long.

la formule ci-dessus est sensiblement exacte. Mais clic ne tarde pas à s'en écarter. Pourtant, si l'on ne considère que sa portion MN correspondant aux valeurs pratiques de la portée (;>ooo£ P £ 5ooo pour le mortier, par exemple), on reconnaît que l'arc ainsi limité diffère peu d'une droite qui, prolongée de part et d'autre, est dessinée en trait mixte sur la figure.

Fig. 89.

On peut, avec une approximation suffisante, substituer, entre les limites considérées, cette droite, à la courbe donnée par l'expérience, et eela pour toutes les valeurs pratiques de V. L'abaque défini en coordonnées cartésiennes peut, dès lors, être transformé en un abaque à points alignés (n°59).

C'est ainsi qu'a été obtenu l'abaque dressé par M. Lafay, dont \ajlg. 90 est une réduction.

A l'échelle de l'angle tabulaire a été accolée celle de la hausse correspondante, à l'échelle de la vitesse initiale celle de la charge pratique.

Nous nous sommes borné, pour les besoins de notre exposé, à extraire du travail très intéressant de M. Lafay l'exemple précédent, mais ce savant officier a traité de même les divers calculs que soulève le tir des pièces de siège et a réuni tous les abaques correspondants sur une même planche de 34cm sur 38cm, des lettres de référence indiquant la façon dont les diverses échelles doivent être associées.

Cette possibilité de réunir les divers abaques dans les limites d'un cadre étroit, par juxtaposition de leurs échelles respectives, est un avantage sérieux à l'actif des méthodes qui n'utilisent que des systèmes de points cotés.

87. Abacjue des consommations théoriques d'une machine à vapeur. — Voici enfin un cas bien remarquable, traité par M. Râteau, ingénieur au Corps des Mines (*), où, comme on va voir, l'emploi de la méthode des points alignés a permis non seulement de représenter une relation empi-

(') Annales des Mines, février 1897

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