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Pour analyser cette graduation, remarquons que, dans le cas théorique où les pressions d'amont et d'aval seraient égales, la consommation K serait infinie, quelle que fût cette commune valeur P de la pression. Or,
toutes les droites unissant deux à deux les points (p) et (P) de même cote passent, d'après les formules qui définissent ces mêmes échelles, parle point
c'est-à-dire par le milieu de la distance des origines non marquées AetB. Prenant donc le point de rencontre d'une quelconque de ces droites avec le support du système (K), on a le point E coté oo.
Si maintenant en chaque point de l'échelle (K) on élève une perpendiculaire proportionnelle à sa cote, on obtient la courbe représentative de la fonction définie par cette échelle (n° 3). Or cette courbe, qui a nécessairement pour asymptote la perpendiculaire élevée en E au support EF de l'échelle, semble au premier coup d'œil se confondre avec une hyperbole équilatère. Admettant cette hypothèse, on peut, au moyen de théorèmes connus sur l'hyperbole équilatère, en faire la vérification graphique (*); elle se trouve ainsi justifiée.
Il en résulte que la formule définissant l'échelle (K) est de la forme
ce qui aura lieu, en vertu de la formule écrite plus haut, si
b" = o, et
L'équation prend donc la forme
(a-+- 6K)log/?+ (a' + 6'-K)log P + a" *= o,
et comme, ainsi que nous venons de le voir, p = P doit toujours donner K = oo, il faut, en outre, que
Gomme d'ailleurs b et b' ne sauraient être nuls, car K disparaîtrait de l'équation, nous pourrons poser b = i, et nous voyons finalement que l'équation cherchée est de la forme
(a-f-K)logp-f-(a' — K) log P -h a" = o.
(') Soient, par exemple, M et N deux points quelconques de l'hyperbole. Menons par chacun de ces points des parallèles aux directions asymptotiques; nous formons ainsi un rectangle dont la seconde diagonale coupe l'asymptote connue au centre O de la courbe. Cela posé, si une droite quelconque menée par O coupe en I et en J les parallèles aux asymptotes menées par l'un des points M ou N, le quatrième sommet du rectangle, dont les trois premiers sont M ou N, I et J, appartient à la courbe. On trouve ainsi que si, pour construire l'hyperbole, on a porté perpendiculairement à EF les ordonnées y = XK, la seconde asymptote est définie par y — o,^.
ÉQUATIOx\S A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. 2l3
Portant dans cette équation des systèmes de valeurs de K,/> et P donnés par l'abaque, et traitant les équations linéaires en «, a', a" ainsi obtenues par la méthode des moindres carrés, on trouve
a = —o,85, a! = — 0,07, «" = 6,95. L'équation cherchée est donc, si l'on change tous les signes,
( o,85 — K) log/> + (K + 0,07) log P -- 6,95 = 0,
d'où
6,()5 — 0,92 log P
log P — log/?
Telle est l'expression mathématique de la loi suivant laquelle K dépend de P et p.
Elle cadre remarquablement avec les données de l'expérience, comme M. Râteau le fait voir dans son Mémoire (1).
Le point sur lequel nous insisterons ici, c'est l'importance qu'a présentée, pour la recherche qui vient d'être résumée, l'emploi de la méthode des points alignés. C'est elle, en effet, qui, en permettant de reconnaître que les éléments cotés (K) formaient une série linéaire, et en ramenant l'analyse de la graduation correspondante à celle d'une simple échelle rectiligne, a rendu possible la détermination complète de l'équation qui traduit analytiquement la loi suivant laquelle K dépend de P et p.
