V. — Abaques dérivés des abaques à points alignés

A. — Abaques a double alignement (2).

88. Principe général. — Supposons que les variables a, a, et a2 d'une part, a, a3 et a4 de l'autre soient liées par des équations

(*) On doit encore à M. Râteau l'idée d'un ingénieux dispositif qui permettrait de réaliser mécaniquement l'abaque à points alignés ci-dessus (A. F. A. S.; congrès de Pau; 1892). Supposons une masse gazeuse, de pression p, emprisonnée sous une cloche flottante. Les variations de p entraîneront des variations de niveau de la cloche, et l'on conçoit que l'on pourra déterminer le profil de celle-ci de façon que ces variations de niveau soient proportionnelles à celles de log/?. Les extrémités de deux tiges verticales fixées respectivement sur deux telles cloches donneront ainsi, par leurs déplacements, les variations de log/? et de logP, et pourront, par suite, servir à marquer, sur les échelles parallèles de la fig. 92, les points cotés (p) et (P). Si donc un fil est constamment tendu ( grâce, par exemple, à deux petites poulies et deux contrepoids égaux) entre les extrémités de ces tiges, il coïncidera à chaque instant avec la position de l'index qui, par sa rencontre avec l'échelle intermédiaire, fait connaître la valeur de K.

(2) Désignés dans notre Note O. 30 sous le nom d'abaques à pivotement.

telles que

/(a) cp(a) ^(a)

/i(«i) ?i(*i.) <W(ai)

/2(a2) cp2(a2) ^2 ( ^2)

/3(a3) cp3(a3) ^3(a3)

/4(at) cp4(a4) <K(a4)

Chacune d'elles sera représentable par un abaque à points alignés, et l'on voit, puisque les fonctions/, <p, <|/ sont les mêmes dans les deux équations, que leur échelle curviligne (a) sera la même. Par suite, les deux abaques pourront être construits avec cette échelle en commun {fig. 93).

Fig. 93.

Si l'on se donne les valeurs de trois des variables a,, a2, a3, aJ les équations (E) et (E;) permettent de calculer celle de la quatrième, en plus de celle de a.

Sur l'abaque la droite passant par les points cotés at et a2 et la droite passant par les points cotés a3 et a4 se coupent au point coté a.

Or il peut arriver qu'une équation entre quatre variables al5 a2, a3, a4 résulte de l'élimination d'une variable auxiliaire a entre deux équations telles que (E) et (E').

Le diagramme qui vient d'être construit fournira donc dans ce cas une représentation de l'équation considérée.

Son mode d'emploi, pour obtenir a4, par exemple, connaissant ai5 a2 et a3, se réduira à ceci :

Faire passer l'index par les points cotés ol{ et a2, puis le faire pivoter autour du point oit il rencontre V échelle (a)

jusqu'à ce qu'il passe par le point coté a3. // coupe alors la dernière échelle au point coté a4.

Comme, en général, on n'aura pas besoin de connaître la valeur correspondante de la variable auxiliaire a, on pourra se dispenser de marquer la graduation relative à cette variable; il suffira de tracer son support qui sera dit la ligne des pivots. Si pourtant on veut, dans chaque cas, repérer la position du pivot, on n'aura qu'à marquer sur cette ligne une graduation absolument quelconque.

L'abaque ainsi constitué par l'accolement de deux abaques à points alignés ayant une échelle commune sera dit, pour rappeler son mode d'emploi, un abaque à double alignement.

On peut, dans le cas le plus général, former le type des équations ainsi représentables.

Remarquant que l'une des fonctions/, cp, ^, la dernière, par exemple, peut toujours être remplacée par l'unité, et posant, pour abréger l'écriture

at bt ajbj

= [aibj],

nous voyons que les équations (E) et (E') peuvent s'écrire

/(a)[?3^] + ?(«)[ W^J + LA^J^ o.

De là, en posant encore pour abréger,

[atbj] [ciclj] [akcti] [ckd{]

= [aibj, ckdi],

nous tirons

[?i<ta<kA]

Donc, si G et T sont les fonctions inverses respectivement de/ et de cp, le résultat de l'élimination de a sera

\L?l4'ï><kA]/ ~ \L?1(V2, ^3/4

La forme de cette équation est, comme on voit, assez compliquée; mais il n'y avait qu'un intérêt purement théorique à faire voir la façon dont elle pouvait être obtenue.

cp2 (j;2

Dans ce cas l'équa-

2l6 CHAPITRE III.

En pratique, on n'aura guère à appliquer la méthode que dans

le cas où l'échelle auxiliaire (a) sera une échelle régulière,

c'est-à-dire où, dans les équations (E) et (E'), la fonction /(cl) se

réduira à a, la fonction <p à i et la fonction fy à o. Ces équations

s'écrivent alors

et l'élimination de a, faite immédiatement, donne