Échelles rectilignes et parallèles

tion donnée est de la forme

On la décompose immédiatement en

On peut construire les abaques de ces deux dernières équations, dont l'accolement par l'échelle (a) produira l'abaque à pivotement demandé, par l'un ou par l'autre des procédés suivants qui, bien entendu, ne sont pas théoriquement distincts, mais qui, en pratique, présentent une différence sur laquelle on insistera plus loin.

Premier procédé. — Pour représenter l'équation (E') on peut poser

(ai) u\ = h/u

(a) u — — la.

Il vient alors pour a2, en vertu de ce qui a été vu au n° 66,

(a2) u2 = — h Ai

avec

Taxe A2 u2 {fié- 94) étant d'ailleurs tel que

ou, si l'on tient compte de (i), que (f)

Représentant par xK et x2 les distances des axes A, u{ et A2?/2

à l'axe Au des pivots, on peut écrire (2)

Xi li

De même l'équation (E") sera représentée par

^3 — hfzi 11 — — /a,

/ ayant la même valeur que ci-dessus, et

(!) On voit, que, dans ce cas particulier, on retombe sur le principe de la composition des échelles (n° 70).

avec

(3) et

On obtient ainsi la disposition de \&fig. g4 (').

Les cinq modules /, /,, /2, /3, /., ne sont astreints à vérifier que les égalités (i) et (3). On pourra donc chercher à les déterminer en vue de la meilleure disposition de l'abaque.

Comme on connaît les limites (2) entre lesquelles, pratiquement, reste comprise chaque variable, on peut calculer les différences 8,, o2, £3,84 entre les valeurs extrêmes des fonctions /i,/2,

Si, dès lors, on veut faire en sorte que les échelles (a< ) et (a2) d'une part, («■§-) et (a4) de l'autre aient même longueur, on posera

Ces deux équations jointes à (1) et (3) permettent d'exprimer quatre des modules en fonction du cinquième, / par exemple. On trouve ainsi

Les quatre échelles seront de même longueur si /< B< c'est-à-dire

0, Oo = Oq — Ô,..

(') On peut, sur cette figure, placer les systèmes (a,), (a2) d'une part, (a3), (a4) de l'autre, de côtés différents par rapport à l'axe Au des pivots, afin de la rendre plus claire. Mais rien n'empêche évidemment, pour réduire la largeur de l'abaque, de placer les deux couples de systèmes associés d'un même côté de l'axe Au.

(2) Théoriquement, les valeurs limites de trois des variables prises comme indépendantes entraînent celles de la quatrième ; mais, en pratique, celle-ci reste généralement comprise entre des valeurs plus resserrées que ces limites théoriques, et qui résultent des données fournies par l'expérience.

Il ne resle plus qu'à choisir le module / pour que les diverses graduations donnent le degré d'approximation exige'.

Second procédé. — On pose

enfin

(«) avec

la.

Dans ce cas, l'axe des pivots est situé à la fois entre les échelles (a<) et (a2) et entre les échelles (a3) et (a4) {fig> ç)5), les distances

( — ^Pj *

#,, ^2> ^35 2? 4 de cet axe aux supports parallèles de ces échelles étant telles que

Si l'on veut ici que les échelles (a,) et (a2) d'une pari, (a3) et (a4 ) de l'autre soient de même longueur, il faut avoir, en appelant toujours oM 3o, 83, ùrt les différences entre les valeurs extrêmes des fonctions ft, /2, /3, /4,

/jSjrrr /2 ^2j ^3°3 — ' 4 °4 >

ce q

ui donne

Les quatre échelles seront de même longueur si /± S1 = /3S3, ou

Dans ce cas, comme dans le précédent, si /1 = /3 et /2 = /4, on peut faire coïncider les supports des échelles (a4) et (a:î) d'une part, (ou) et (a4) de l'autre. Il suffit, pour cela, de placer les deux graduations d'un même support de part et d'autre de ce support, en adoptant le même côté pour celles qui doivent être associées par le moyen de l'index.

Comparaison des deux procédés. — Le premier procédé présente l'avantage (surtout lorsque les deux couples d'échelles associées sont d'un même côté de l'axe des pivots) que les deux points dont il faut prendre l'alignement avec l'index sont, pour chacune des deux positions de celui-ci, du même côté du pivot. Lorsque cette condition est remplie, on peut se servir pour l'index d'un fil tendu que l'on fixe sur le pivot. Si elle ne l'est pas, comme dans le second procédé, on ne peut plus fixer le fil sur le pivot, et, pour repérer la position du pivot, il convient de munir l'axe sur lequel il se trouve d'une graduation d'ailleurs absolument quelconque. En revanche, ce second procédé a l'avantage de limiter la longueur de la portion utile de l'axe des pivots à celle de la plus grande longueur des échelles parallèles {fig* q5), tandis que, dans le premier cas, elle la dépassait sensiblement, à moins que l'on ne diminuât beaucoup la longueur des échelles P3 Q3 et P4Q4

{fig- 94).

Cette seconde considération l'emportera généralement sur la

première. Toutefois, il y aura des cas où, pratiquement, les points

extrêmes des échelles P2Q25 P4Q4 n'auront pas à être associés

respectivement à toute la partie utile des échelles PiQi, P3Q3, en

sorte que la longueur de la portion utile PQ de l'axe des pivots se

trouvera réduite.

Manière d 'effectuer la construction. — Quel que soit le pro-

cédé employé, on effectuera la construction de la même manière, une fois qu'on aura arrêté les valeurs des modules /, , /.>, /.,, /.,.

On commencera par tracer l'axe des pivots, puis les supports, en observant, pour leurs écartements par rapport à cet axe, les relations (2) et (3) dans un cas, (6) dans l'autre.

Cela fait, on construira, tout à fait indépendamment les unes des autres, et seulement en vue de la meilleure disposition à obtenir trois des échelles, (a,), (a2) et (a3) par exemple, réduites à leurs portions utiles P 1 0 ( , P2Q2} PaQ.v

Pour fixer la position de la quatrième échelle sur son support, il suffit de fixer celle d'un de ses points. Or il sera toujours facile, par une particularisation convenable, d'obtenir un système de valeurs de oc°, x°, aîj et aj satisfaisant à l'équation. Dès lors, la droite, joignant Jes points cotés aj et a", coupera l'axe des pivots en un point, et la droite unissant ce point au point coté aj coupera le support de la quatrième échelle au point où devra se trouver la cote a°. Ce point suffira pour déterminer la position de cette dernière échelle.

90. Exemples. — Nous allons donner des exemples de l'un et de l'autre procédé :

i° Abaque des poutres uniformément chargées. — Si une poutre à

section rectangulaire de largeur b et de hauteur h supporte une charge

uniformément répartie q par mètre courant sur une portée/?, on a, entre

ces quantités, la relation

qp*- bh*

k étant la limite de travail admise pour le bois par unité de surface (par exemple 6oks par centimètre carré). D'ailleurs la valeur commune des deux membres de cette égalité est le moment de flexion de la section la plus fatiguée.

Posant

nous pouvons écrire cette équation

logq -+- 2log/> = log6 -+- 2 logA -h Iog/ii. Prenant donc

nous aurons, par application du premier procédé, l'abaque à double alignement correspondant, en posant

(q) "i = Mog?,

(h) ui = —h(*logh-h\ogki),

m2 = — /2 ilogp,

avec

La fig. 96 donne la réduction au tiers de l'abaque construit d'après ce procédé par M. J. Mandl, lieutenant du Génie dans l'armée autrichienne (*), avec les modules

/2=4cm,72,

cm —

6cm.35.

Les échelles graduées sont alors définies par

Ul= 7cm,o xlog?, w2 = — 9cm544 x log/?,

ï^3 = I2C"',7 x log b,

uk~— i2cm,7 x logé — 6,35 X logÀY

Si l'on se reporte à la manière d'effectuer la construction indiquée à la fin du n° 89, on verra qu'il est inutile de calculer le terme constant du second membre de cette dernière formule.

M. Mandl a complété cet abaque (2), par un dispositif ingénieux qui permet de déterminer b et h en vue de rendre la section de la poutre semblable à un rectangle donné. Posons

(x) Mittheilungen ùber Gegenstànde der Artill.-u.-Genie-Wesens, 1893. La disposition de la fig. 96 suppose le sens positif pris du haut vers le bas.

(2) Sur l'axe des pivots, l'auteur, d'après la remarque faite plus haut, aurait pu inscrire les valeurs du moment de flexion. Il a préféré, avec juste raison, inscrire les numéros d'échantillon des fers du commerce, de type courant en son pays, qui donnent ce moment de flexion. La graduation de gauche se rapporte à des fers à double T, celle de droite à des fers à U. L'index tendu entre le point coté q et le point coté p venant rencontrer l'axe des pivots en un point, il suffit, sur chaque graduation, de prendre le numéro inscrit au-dessus de ce point pour savoir quel est le type de fer correspondant à adopter. Pour l'exemple numérique indiqué en pointillé (/? = 4m, 60, q = o\ 44), on a le choix entre le fer à double T n° 16 et le fer à U n° 30. Les fabricants de poutres en fer devraient joindre un abaque de ce genre à leur album d'échantillons pour tous les types de sections.

Fig. 96.

70 Vv 30 -*>

JL9

JL8

2hâ

0M rrv

rn/.

Nous avons alors

\ogb — log/? = logX.

Or, si nous faisons un changement d'origine sur l'axe A4?£4, et si nous remettons Z3 à la place de i2cm,7, nous pouvons écrire les formules définissant les échelles (b) et (h),

u*= 41og6, m4 = — /3log/i.

Nous voyons donc que, pour les couples de valeurs satisfaisant à la relation ci-dessus, nous aurons

w3 + M4= ^logX.

Cette équation définit un point (X) situé sur la parallèle équidistante des axes A3w3 et A^u^. Donc, pour que la section ait la similitude définie par une certaine valeur de X, il suffira que V index passe par le point (X) correspondant.

Ayant tracé la parallèle équidistante des supports des échelles (b) et (/*), il n'y a qu'à joindre par une droite les points cotés b0 et /i0, tels que

pour avoir sur cette parallèle le point (X) correspondant. C'est ainsi, par exemple, que les droites joignant le point (h) coté 20 aux points (b) cotés i5

et 20 donnent les points A et B correspondant respectivement à X = - et

Les lignes pointillées de la fig. 92 montrent les positions de l'index pour l'exemple numérique p = 4tn,6o, q = ol,44-

our A = - ,

on a

6 = T7cm, h = 23cm,

b = h= 2icm.

20 Abaque de V écoulement des gaz par des tuyaux. — M. F. Gaud a reconnu que l'écoulement des gaz dans les tuyaux obéissait à l'équation ( l)

/iD3=i655AQ2,

h représente la perte de charge kilométrique exprimée en millimètres

d'eau ; D le diamètre du tuyau en centimètres; A le poids du mètre cube de gaz en kilogrammes; Q le débit horaire en mètres cubes.

(') Bull. ojf. de la Soc. techn. de l'Acétylène, 2e année, p. i36; 1898.

Pratiquement, d'ailleurs,

h reste compris entre o,t et 3oo.

D » o,5 et 25,

A » 0,08 et 3,

Q » o,oo5 et ioo.

Écrivons d'abord l'équation ci-dessus sous la forme

log A -+- 5 logD = log A -+- 2logQ -h log iG55.

D'après la remarque faite plus haut, il n'y a pas lieu, pour la construction des échelles, de tenir compte de la constante. Nous poserons donc, suivant le second procédé,

(h) U\ = l\ logA,

(D) u2 = h 51ogD,

(A) w3=/3logA,

(Q) w4=^2logQ.

Nous avons d'ailleurs

§! = log3oo — logo, i =3,47, o2= 5(log25 — logo, 5) =8,49, o3= log3 — logo,o8 =1,5;,

o4 = 2 (log 100 — logo,oo5) = 8,60.

Par suite,

Ces deux quantités étant peu différentes l'une de l'autre, les longueurs des échelles, supposées égales pour chaque couple, n'auront elles-mêmes, entre elles, qu'une petite différence.

L'égalité rigoureuse pour chaque couple exigerait que l'on eût, d'une part,

de l'autre,

Ces divers rapports sont voisins des suivants :

qui satisfont, en outre, rigoureusement aux égalités nécessaires

i i i il

Si on les adopte, on obtient les longueurs d échelles voulues pour le

so-

io-^

o.oi

degré d'approximation qu'exige la pratique en prenant

d'où

fl = 7Omm, h = •28mm, /3 = I20mm, /4 = 24'

Les échelles sont dès lors définies par

(h) Ul- 7ommIog7/,

(D) «2 = i-îomm logD,

(A) w3= i20mmlogA,

(Q) iH= 48mmlogQ,

et leurs longueurs sont données, au millimètre près, par

Li= 7omm(Iog3oo — logo,i) = 238mm, L2=i4omm(log25 —logo, 5) = 238mm, L3 = i2omm(log3 —logo, 08) = 192""", L4= 48mm(logioo — logo,oo5)= 2oGmm.

On voit qu'elles diffèrent peu les unes des autres.

Les distances xu xti a?8, xk de ces échelles à l'axe des supports devront être telles que

Pour que l'index rencontre les axes sous des angles qui restent sensiblement compris entre 45° et 900, il faut que les écartements des échelles (h) et (D) d'une part, (A) et (Q) de l'autre, diffèrent peu de la longueur des échelles. On atteint ce résultat en prenant

a?1 = ï3cm, a?2=5cm,2, ^3=i5cm, #4=3cm.

C'est avec ces données qu'a été construit l'abaque dont la fig. 97 est une réduction.

Les deux positions de l'index marquées en pointillé sur la figure montrent que pour h = 2,3, D = 4,6, A = i,5, on a Q = i,25.

91. Échelles rectilignes non parallèles. Abaque du nivellement barométrique. — Les équations qui viennent d'être représentées, à titre d'exemples, sont de la forme

Il a suffi de prendre les logarithmes des deux membres pour leur donner la forme voulue, mais elles peuvent, sans subir cette transformation, être traduites en abaques à pivotement. Si, en effet, on appelle a la valeur commune des deux membres de celte équation, on peut représenter les équations