CC

le cercle qui, rapporté à Ox et à la perpendiculaire Oy' élevée en O à cet axe, a pour équation

C'est le cercle décrit sur AB comme diamètre. Pour une même abscisse x, on a entre l'ordonnée^' du cercle et l'ordonnée y de l'ellipse la relation

,s/lh

s/Th

Donc, réduisant l'ordonnée PM' du cercle dans le rapport — ^-> ce qui

ri 20

donne PM", on n'a qu'à faire tourner celle-ci en PM de façon à la rendre parallèle à Oy pour avoir le point correspondant M de l'ellipse.

Les expressions (R) et (U) de x montrent en outre que les cotes R et U des points M et P sont liées par la relation

/iR = /3U.

L'abaque, dont la fig. 100 est une réduction, a été construit avec les modules

/ = 8m,n, lx = 32m,n, lz = 8mm,

la demi-clistance des origines A et B étant

g = 40mmf

En outre, l'échelle (U) étant d'abord supposée s'étendre de A (cote oo)

Fig. ioo.

à B (cote o), on a, pour une raison donnée dans la Remarque qui termine le n° 73, pris l'axe AB des origines incliné à 6o° sur la direction des axes A u et Bt\ L'échelle (y) est alors donnée par

y.32mm.

C'est une échelle régulière facile à construire (1 ). Elle a été portée sur le côté gauche de l'axe Bp.

(') Les seules valeurs de y à considérer sont, d'après M. Bazin :

0,06. — Parois très unies (ciment, bois raboté, etc.).

0,16. — Parois unies (planches, briques, pierre de taille, etc.).

0,46. — Parois en maçonnerie de moellons.

o,85. — Parois de nature mixte (terres très régulières, perrés, etc.).

i,3o. — Parois en terre dans des conditions ordinaires.

1,75. — Parois en terre d'une résistance exceptionnelle (galets, herbes, etc.).

L'échelle (I), portée sur le côté droit, de I = 0,0001 à I =o,oi, est définie par

v = — v/T.;i5mm.

L'échelle (U), portée par l'axe AB des origines, est définie par

4omm

C'est une échelle segmentaire (n° o. 3°), bien facile à construire soit au moyen d'un étalon segmentaire, soit par transformation d'une échelle régulière (n°7), puisqu'on en connaît immédiatement trois points qui sont le point A coté 00, le point B coté o, et le milieu de AB coté 1. Il suffit d'ailleurs de prendre les valeurs de v entre 0,1 et 5.

Pour ce qui est de l'échelle (R), on commencera par tracer l'ellipse qui lui sert de support en remarquant qu'ici le rapport de réduction qui entre dans les formules (2) est

Une fois ce support construit, on a immédiatement l'échelle (R) en remarquant que, d'après la formule (3), qui donne ici

on a la projection de l'échelle (R) sur AB, faite parallèlement à Au et Bc, en divisant par 4 les cotes de l'échelle (U).

Il suffit de prendre les valeurs de R entre o, 2 et 5.

C'est ici l'axe A« qui sert d'axe des pivots. Pour savoir quelle est sa longueur utile, il suffit d'associer la plus grande valeur de y (Y = iî"^) à la plus petite de R (R = 0,2). On trouve ainsi un peu moins de 8cm,8.

Les positions de l'index tracées en pointillé sur la fig. 100 correspondent à l'exemple numérique y = 1 ,3, R = 1,6, I =0,002, pour lequel l'abaque donne U = 2"1, 4.

B. — Abaques a transversales diverses.

94. Abaques à transversale circulaire. — Si l'on analyse le mode d'emploi des abaques à points alignés, on reconnaît qu'il consiste essentiellement en ceci : deux points cotés déterminant la position d } une transversale rectiligne (l'index) tracée sur un transparent, si cette transversale passe par un troisième point coté, il existe entre les cotes des trois points une équation dont on a ainsi un mode de représentation.

L'idée se présente dès lors de remplacer la transversale rectiligne par une transversale quelconque, telle que sa position soit

:omplè terrien t définie par deux points cotés. Cette idée se rencontre lans un Mémoire de M. le capitaine Goedsecls ('), professeur à 'École de Guerre de Bruxelles, dont nous allons résumer la subtance.

La seule courbe, invariable déforme, qui partage avec la ligne Iroite la propriété d'être déterminée de position par deux points, •si un cercle de rayon constant. De même, en effet, qu'une Iroite définie par deux points peut glisser sur elle-même en fa i - |ant naître une translation, un cercle de rayon donné, défini par lieux points, peut glisser sur lui-même, en faisant naître une roalion. Le type d'abaque correspondant est donné par h/ig. 101 .

Fig. ioi,

La considération des transversales circulaires ne présente guère [u'un intérêt théorique. Nous nous y arrêterons toutefois un instant pour faire voir que le calcul que nous avons développé au i° 52 permet de mettre sous forme symétrique (2)le type géné- *al d'équation ainsi représentable.

L'équation du cercle de rayon R. servant de transversale, rapporté à deux axes rectangulaires fixes, mais d'ailleurs quelconques, jlu plan est

; et 7) étant les coordonnées variables de son centre. Exprimant

(') Les procédés pour simplifier les calculs ramenés à l'emploi de deux transversales qui se rencontrent au sein d'une graduation. Bruxelles, 1898. I (2) Ce type d'équation n'est pas, dans le Mémoire de M. Goedseels, donné sous ,'orme symétrique.

que ce cercle passe par les trois points cotés (a,), (a2), (a3), dont les coordonnées sont définies respectivement par

(a/) x=fh y = ^i (i=i,a, 3),

on a les trois équations

Le problème qui consiste à éliminer \ et tj entre ces trois équations est algébriquement le même que celui qui a été résolu au n° 52, lorsqu'on remplace

ai

par

fi

— *fh

Nous pouvons donc écrire immédiatement le résultat. Convenant d'abord, pour simplifier l'écriture, de poser d'une manière

générale

ai b\ ci

= ! <*>ibiCi\,

et remarquant que

nous avons pour l'équation cherchée

Si l'on pose

on voit qu'avec la notation abrégée du n° 52 l'équation précédente peut s'écrire

En particulier, si les points (a, ) et (a2) sont distribués sur Oj, les points (a3) sur Oy, cette équation, toutes réductions faites,

ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. iZ']

prend la forme simple

Abaques à transversale quelconque et repère. Abaques à équerre. — Si la transversale est autre qu'une droite ou un cercle ('), il faut trois (2), au lieu de deux, conditions pour définir sa position par rapport à l'abaque : aussi ne suffîra-t-il plus ;de la faire passer par deux points cotés et faudra-t-il lui imposer, en outre, une condition simple quelconque. Celle qui se présente tout naturellement à l'esprit consiste à mettre en coïncidence avec l'un de ces deux points cotés, un point marqué sur la transversale çt que nous appellerons son repère.

En faisant varier la nature de cette transversale et la position du repère, on peut engendrer des modes de représentation en nombre pour ainsi dire indéfini, s'appliquant à des équations de tvpes divers. 11 s'en faut pourtant que toutes ces sortes d'abaques soient d'un grand intérêt pratique. Ceux qui. à ce point de vue, présenteront le plus d'importance, seront, cela va de soi, ceux pour lesquels la transversale sera de nature simple.

On peut, par exemple, supposer que celle-ci se réduise à un système de deux droites, plus particulièrement à deux droites rectangulaires (3), le repère étant le point de rencontre de ces deux droites. On obtient ainsi le type d'abaque représenté par la fig. 102 et que M. Goedseels a appelé abaque à équerre.

Il est très facile de former le type général d'équation correspondant. Les trois systèmes de points cotés étant, en effet, définis par les formules

(') Rigoureusement il faudrait dire un système de trois droites parallèles ou de trois cercles concentriques, comme on le verra plus loin ( n° 145, Rem. I).

(2) Pour s'en rendre compte, il suffit de rapporter cette transversale mobile et invariable de forme à deux axes rectangulaires qui lui soient invariablement liés. Sa position se trouve alors définie par celle de ces axes; or cela exige trois conditions, deux d'entre elles définissant, par exemple, la position de l'origine et la troisième l'orientation des axes.

(3) Ces deux droites rectangulaires pourront être soit dessinées sur un transparent, soit constituées par les bords d'une équerre, comme c'est le cas pour le profilomètre Siégler ( n° 113).

on a, en écrivant la condition de perpendicularité des droites O'X' et O'Y' dont l'ensemble constitue la transversale,

(?i— ?a)(?i — <?3> +(/i— A) (fi— A) = o. Si les points (a,) sont distribués sur l'axe Oy, les points (a2) et

Fig. 102.

(a3) sur l'axe Ox, on a y, = o, <p2 = o, o3 = o, et l'équation se réduit à

Un abaque de ce genre se rencontre dans le profilomètre de M. Siégler dont il sera question plus loin (n° 113).

96. Abaques à transversale quelconque pour équations à quatre variables. — La fixation sur l'abaque de la position d'une transversale quelconque, invariable de forme bien entendu, exigeant trois conditions simples, nous avons dû, pour utiliser une telle transversale dans la représentation d'une équation à trois variables, lui imposer une condition venant s'ajouter à l'obligation de passer par deux points cotés. Nous pourrons donc, au lieu de cette condition supplémentaire réalisée ci-dessus au moyen du repère, lui imposer l'obligation de passer par un troisième point coté et nous aurons ainsi un mode de représentation applicable à des équations à quatre variables. Ce genre d'abaque est également proposé par M. Goedseels dans le travail déjà cité.

ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. 23o,

Reprenons, par exemple, l'équerre du numéro précédent; elle nous donnera le type d'abaque ainsi défini :

On applique, sur V abaque portant les quatre échelles curvilignes (a,), (a2), (013), (a'.)j une équerre dont on fait passer V un des côtés par les points cotés a, et a2 et Vautre côté par le point coté a3. Ce second côté coupe alors la quatrième échelle au point coté a,,.

Comme précédemment la forme d'équation correspondante 'obtient immédiatement en écrivant la condition de perpendicuarité des deux axes constituant la transversale, ce qui donne

(<pi — <p* ) (<ps — <p* ) + (/1 — ft ) (/s ~fk) = o.

Exemple : Abaque des levers tachéométriques. — C'est à M. Goedseels que nous empruntons cet exemple.

Soient h la lecture stadimétrique, 1 la distance zénithale, a l'azimut donnés pour un point par le tachéomètre, X, Y, Z les coordonnées rectanigulaires de ce point. On a, en représentant par G une constante instrumentale,

(1) X = h (G sin i-r- cosi) sin i cosa,

■ 2) Y — A(G sin i -h cosi) sini sin a,

(3) Z = h(G sin i -+- cos i) cosi,

ou, en supprimant le terme h cos-i, généralement négligeable,

!(3') Z = - G sin ai*.

On voit que les formules (1), (2) et (3') se ramènent à une seule équation (E) a4 = a2(G sina3 -h cosa3) sina3 cosaj,

grâce aux identifications (Oi p)i

Bornons-nous donc à représenter l'équation (E). Or elle peut s'écrire. m, p, q étant trois paramètres arbitraires dont on disposera par la suite,

(—q cosai) /?( sin2a3 -h çSina3 cosa3j -+- l — ) ( -- -^q) = °-

<Xl= — — a,

ai = 11.

ÛC4 = Z.

Sous cette forme, elle rentre immédiatement dans le type général ci-dessus, grâce aux identifications

cpi = — q cosa^

mpq

j. mi

o3 = /? I sin- a3 -+- ^- sina3 cosa3 l,

Les points (ai) et (a3) sont donc distribués sur Oy, de part et d'autre

Fig. io3.

(as)

so" '. .----' „ roo"

..---' \ fa,,)

de l'origine, les points (a,) et (a4) sur la partie positive de Ox; on dis-

ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES V ALIGNEMENT. 2 \ l

tinguera d'ailleurs ces derniers les uns des autres en plaçant les graduations correspondantes de pari el d'autre de 0.r.

Pour un tachéomètre dont la constante C esl égale à 100, ce qui est le cas ordinaire, et en donnant aux paramètres m, />, q les valeurs

M. Goedseels a obtenu l'abaque dont la y/^'. io> est la réduction à la moitié.

Les graduations angulaires y sont faites en gracies (').

Prenons l'exemple numérique pour lequel les données sont

h = i, 54, ci = 70g, t = o,3g, d'où l'on déduit immédiatement

- = 0,77, a — Jo°, •>. 4 = jf 1".

ce dernier angle, pour être compris entre o et 2tt = /ioog, ayant été augmenté de 2t.

Les trois positions de l'équerre, dont la première seule a été marquée en pointillé sur la figure, donnent successivement :

Pour a] = 70, a2 = i,^b a3 = 93,

X = a4 = G(Vn ; Pour aj = 3o, a2 — 1, 54, "J-z = 9,3,

l — GC4 — 1 J4 ,

Pour a! = 3i4 , oc2 = 0,77, a3 = 100,

Z = av = 8m.

97. Abaques à parallèles mobiles. — La position du transparent, lorsqu'une droite qui y est tracée est amenée à passer par deux points cotés, n'est déterminée, avons-nous vu, qu'à une translation près; mais il est des lignes dont cette translation ne fait pas varier la position : ce sont les droites parallèles à la première. De là l'idée d'un autre mode de représentation appli-

(') Suivant le conseil donné par le colonel Goulier, pour la graduation des mires, les chiffraisons de (a,) et de (ot)) ont été inscrites de façon que le sens croissant de la graduation soit dirigé vers la droite du chiffre lu normalement. Ce conseil n'a pas été suivi en ce qui concerne la chiffraison de (oc2), parce que, l'abaque étant tenu comme l'indique la figure, les chifi'res seraient lus à l'envers.

cable à des équations à quatre variables, qui a été proposé par M. M. Beghin (').

Sur V abaque portant quatre échelles curvilignes (a,), (a2), (a3) et (a4), on applique un transparent portant des lignes parallèles équidistantes (Jig. 104), de façon que V une d'elles, A'0, passe par les points cotés a, et a2. Celle, A;; qui passe alors

Fig. io'|.

par le point coté a3 (2), rencontre alors la quatrième échelle en un point dont la cote est a/(.

Il suffit d'exprimer le parallélisme des droites définies, d'une part par les points (a,) et (ou), de l'autre par les points (a4) et (#3), pour avoir la forme de l'équation représentée

f?t et cp4 désignant des fonctions quelconques de a4. Ce type est le même que celui du numéro précédent, ce qui était évident a priori.

Si l'on fait a4 = aj, on tombe sur un mode de représentation d'une équation à trois variables dans lequel, à la variable a, correspondent deux échelles curvilignes (a,) et (oLt)f.

(') G. C. t. XXII, p. 124 (1892).

.(2) Cette parallèle A' peut n'être pas une de celles qui sont effectivement tracées sur le transparent, mais être interpolée visuellement entre celles-ci. Lorsque les parallèles équidistantes sont suffisamment rapprochées, une telle opération comporte une grande précision.

ÉQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A ALIGNEMENT. 2/j3

Comme c'est la première fois que s'offre à nous un exemple de ce genre, nous insisterons sur la remarque que voici :

Lorsqu'à une même variable correspondent plusieurs systèmes gradués sur un abaque, cette variable, prise pour inconnue, ne peut, en général, être obtenue au moyen de V <ibaque que par tâtonnements.

Dans l'exemple qui nous occupe, on voit que, pour avoir a, lorsque a2 et a3 sont donnés, il faut, ayant fait passer la droite A^ par le point coté ou, faire tourner le transparent autour de ce point, jusqu'à ce que la cote du point où A'0 coupe l'échelle (a,) et la cote du point où la parallèle à A'0, passant par le point coté a;l (parallèle qui varie à chaque instant sur le transparent), coupe l'échelle (a,)', soient égales entre elles.

L'emploi d'un tel abaque ne sera donc avantageux qu'autant que l'on n'aura jamais à prendre la variable a1 pour inconnue. Il faut observer d'ailleurs que, dans la plupart des formules usitées en pratique, il y a une ou plusieurs variables, souvent même toutes les variables, moins une, pour lesquelles cette condition a lieu (1 ).

Quel sera, d'autre part, le bénéfice que l'on pourra avoir à retirer d'une méthode de ce genre? Celui, dans certains cas, de substituer à un abaque comportant des lignes cotées un autre abaque sur lequel ne figurent que des points cotés, dont la supériorité, tant au point de vue de la facilité du dessin que de la commodité et de la précision de la lecture, a déjà été signalée (n° 30).

98. Exemple (2) : Second abaque des jyiiirs de soutènement pour des terres profilées suivant leur talus naturel. — Reprenons l'équation du

k- -h kp smcp coso — — cos2cp = o.

Nous avons vu qu'elle est représentable au moyen d'un système de cercles et de deux systèmes de droites; en revanche, elle ne l'est pas au moyen

(1) Cette remarque a déjà été formulée, sous une forme un peu différente, dans le renvoi au bas de la page 32.

(2) La modification du profilomètre Siégler, que nous avions proposée naguère ( A. P. C, avril x883, p. 402 ), est un premier exemple d'application de ce procédé.

de trois systèmes de droites entrecroisés, ni non plus, corrélativement, par points alignés.

La méthode des parallèles mobiles permet néanmoins, comme on va voir, de représenter cette équation uniquement au moyen de systèmes de points cotés; c'est même à l'occasion de cette application que M. Beghin a fait connaître le principe de la méthode.

L'équation peut s'écrire, A, jjl, v étant des paramètres actuellement indéterminés,

ix Àv .„ . / v cotcp\

: — £- k^ — lplvk — i ) = o.

sincpcoscp ;jl \ 3/

Elle rentre alors dans le type général ci-dessus, moyennant les identifications (1 )

/i ~ - = ~~ — J cpi = o,

sincp coscp sin 2cp l

v cotcp

cp2 = Ip,

cp3 —

— kK

Les échelles (cp ), (cpt), (p) et (k) seront dès lors définies par les formules

Les deux premières auront pour support l'axe Ox, de part et d'autre duquel elles seront marquées, la troisième l'axe Oj, la quatrième la parabole dont l'équation est

lx*

y \xv

Si l'on prend A = 8C"\ p = 2c,n, v = 6cm, on a

sin 2 cp

v cote»

JK = °>

JK = X/?,

/cm

S1112Cp

# = 2cm. COtcp,

JK =o.

JK =/>.8cm.

a? = À\6cm,

jk = A2.24cm.

(') On peut ici, bien évidemment, faire correspondre deux échelles à la variable cp, attendu que cet angle, qui représente l'inclinaison naturelle des terres employées, sur l'horizon, n'a, en aucun cas, à être pris comme inconnue.

Pour les mêmes limites des variables qu'au n° 53, et eu prenant les axes Ox et Oj inclinés à 45° l'un sur l'autre, ou obtient L'abaque de

Fig. io5.

la fig. io5. On a, sur cette figure, tracé en pointillé les positions des parallèles correspondant à l'exemple numérique du n° 53, savoir :

L'abaque donne bien encore