Abaques indépendants, accouplés ou superposés. — On

rencontre dans quelques applications des systèmes d'équations de

la forme

F(ai, a2, a3) = o,

On peut, en utilisant les méthodes exposées dans les deux Chapitres précédents, construire un abaque pour chacune de ces équations. Ces abaques indépendants permettent de calculer les valeurs des deux dernières variables lorsqu'on se donne soit a, et a2, soit l'une de celles-ci avec a3 ou a4.

Supposons, par exemple, qu'on se donne a, et a3. L'abaque de F fait alors connaître ou, puis, au moyen de a, et a2, l'abaque de <ï> fait connaître a4.

Mais, si l'on se donne a3 et <x4, les abaques construits ne permettent d'obtenir o^ et a2 que par tâtonnements. On procéderait ainsi : Prenant arbitrairement une même valeur de ai sur les deux abaques, on verrait, en la joignant respectivement aux valeurs de a3 et a4 données, les valeurs de a2 qu'elle déterminerait, et l'on ferait varier cette valeur commune de ol{ jusqu'à ce que les deux valeurs obtenues pour a2 devinssent égales.

(') On trouvera au Chapitre suivant (n° 139) un autre exemple d'abaque pour un système de deux équations.

Un tel procédé laisserait à désirer sous le rapport de la rapidité et de la précision. Mais il faut bien dire que, lorsque, en pratique, îles équations se présentent sous la forme ci-dessus, ce sont les variables a3 et a4 qui y sont généralement prises pour inconnue-.

Puisque le choix est libre de deux sur trois des systèmes colés constituant l'abaque d'une équation (n°46), on peut toujours admettre pour chacune des équations précédentes un système commun répondant à une des variables communes, a, par exemple, et, en particulier, un système de droites parallèles. Dans ces conditions, on peut dessiner les deux abaques l'un à côté de l'autre en superposant leurs systèmes de parallèles (oc,), tout en dégageant l'une de l'autre les parties utiles des autres systèmes cotés de chacun d'eux. On obtient ainsi un diagramme dont la disposition est celle de \& fig. 106, et l'on dit que les deux abaques sont accouplés par la variable a, .

Fig. 106.

La remarque qui vient d'être faite à propos des abaques indépendants s'applique encore aux abaques accouplés. Ils ne peuvent donner a, et a2, lorsqu'on connaît a3 et a4, que par tâtonnements.

Mais, puisque, comme nous venons de le voir, nous disposons librement de deux des systèmes cotés de chaque abaque, adoptons maintenant pour l'un et pour l'autre les mêmes systèmes (a,) et (a2). Nous pourrons alors tracer sur le même tableau le système (a3) et le système (a4) qui, joints aux deux premiers, constituent l'un l'abaque de F, l'autre l'abaque de <ï>. Dans ce cas, le diagramme obtenu présente la disposition de la fig. 107, et nous disons que les deux abaques sont superposés.

Ici, les courbes cotées qui correspondent à des valeurs de a,, ot2, a3, a4 constituant un système de solutions des équations don-

nées, passent par un même point. Il est, par suite, indifférent qu'on se donne les valeurs de tel ou tel couple d'entre elles. Les courbes cotées au moyen des valeurs des variables données se coupent en un point par où passent deux courbes prises respectivement dans les deux autres systèmes et dont les cotes sont les

valeurs des inconnues.

Fig. 107.

La superposition des deux abaques étant, comme on vient de le voir, toujours chose possible, il semble, a priori, qu'on ne doive pas hésiter à y recourir dans tous les cas. Il est cependant une considération qui peut y faire renoncer : il se peut, en effet, que chacun des deux abaques F et <ï> soit individuellement susceptible d'anamorphose avec des choix différents pour les systèmes (a, ) et (a2); dans ce cas, la bien plus grande simplicité de la construction pourra faire renoncer aux avantages de la superposition.

Remarque I. — Si les équations F et <ï> sont de la forme

/(ai, a2) =/8(a8), /(ai, «2) =?i(a*)>

les courbes cotées (a3) et (a4) sont géométriquement les mêmes et ne diffèrent que par leurs graduations. Le diagramme formé par les abaques superposés se réduit donc à un ensemble de trois systèmes de courbes cotées, dont l'un pourvu de deux graduations, l'une pour a3, l'autre pour a4.

Jl va sans dire que, dans ce cas, il ne peut ôlre question de prendre a;5 et a4 comme données indépendantes. La connaissance de l'une d'elles entraîne celle de l'autre et laisse le système des [valeurs de a< et ou indéterminé.

Remarque IL — Si les équations sont telles qu'il puisse y

avoir superposition, et que les quatre systèmes de lignes cotée-

ne soient composés que de droites, on substituera à celles-ci,

;en vertu du principe du n° 56, et par l'emploi des coordonnées

parallèles (n° 57), de simples points cotés.

Dès lors, la droite joignant les points correspondant à deux des ! variables coupera les deux dernières échelles en des points dont | les cotes seront les valeurs correspondantes des deux autres variables ( ' ).

100. Exemples (2). — i° Abaque des triangles sphériques rectangles. Point à la mer. — La résolution du triangle sphérique ABC, rectangle en A, peut, dans cinq cas sur six, se réduire à l'emploi des deux seules équations

(i) cosa! cosa2 — cosa3,

(2) cotaj sina2=cotav

Les cinq éléments à considérer dans le triangle sont, en effet, l'hypoté nuse a, les côtés de l'angle droit b et c, et les angles droits B et G, d'où les six cas de résolution :

Données. Inconnues.

Ier cas «, b ; c, B, G ;

2e cas b, c\ a, B, G:

3e cas a, B ; b, c, G;

4e cas 6, B; a, c, G;

5e cas b. G; a, c, B:

6e cas B, C; «, b, c.

(') Indépendamment de l'application de ce genre d'abaque, développée dans les nos 110 et 111, nous citerons encore les échelles (u) et (e) de l'abaque du commandant Bertrand (n° 71), chacune d'elles jointe aux échelles (q), (d) el (y) constituant un abaque du type visé dans la Remarque II ci-dessus, et un abaque construit par M. Dariès pour la formule de M. Maurice Lévy, relative à l'écoulement de l'eau dans les conduites (Nouv. Ann. de la Construction, 5e série, t. IV, col. 1 13 ; 1897).

(2) L'abaque des corrections dynamiques de niveau ( n° 36, 20) peut être cité comme un exemple d'abaques superposés, les deux abaques en lesquels il se décompose ayant en commun les éléments cotés (d) et (r,).

Voici comment les équations (i) et (2) permettent de résoudre les cinq premiers cas ( l) :

1er cas :

Pour

cq^

on a

CLi~

2e cas :

aj =

3° cas :

ai =

4e cas :

at =

ai =

>e cas :

aj= c,

Il suffit donc de superposer les abaques des équations (1) et (2) pour pouvoir résoudre à vue, au moyen de l'abaque à quatre systèmes de lignes cotées ainsi obtenu, les cinq cas indiqués ci-dessus.

En prenant tout simplement pour lignes cotées (ai) et (a2)

(ai ) x — /a1;

(a2) y — l<xç>,

ce qui donne

x y (a3) cos -: sin^- = cosa3,