IV D C
VI D R et C
Il faut remarquer d'ailleurs, comme le montre clairement la fig. 1 1 4 ? c|lie les cas I et III, pour lesquels la lecture sur l'abaque d'entrée suffît, sont de beaucoup les plus fréquents.
Nous sommes donc amenés finalement à construire trois abaques dits de remblai (R ou R bis), de déblai (D ou D bis), et du terme complémentaire (C).
Pour ce dernier, nous n'avons ici rien de particulier à dire, l'équation (4) étant d'un type dont nous nous sommes déjà occupés à plusieurs reprises (nos 26, 28, 66).
D'autre part, ce que nous dirons de l'abaque du remblai s'étendra immédiatement à celui du déblai, attendu que d'un cas à l'autre les équations représentées sont à très peu de choses près les mêmes. Gela va nous permettre, dans la revue que nous allons passer des divers types d'abaques qui ont été proposés, de nous borner à ceux du remblai.
104. Différents types d1 abaques. — Reprenons les équations (i) et (3) dont la représentation simultanée constitue l'abaque R, savoir :
Elles se rattachent immédiatement aux équations du n° 101 si l'on fait les identifications
m i ss 2 , m 2=i*.
On voit donc, en premier lieu, ainsi que cela a été démontré au n° 101, qu'elles ne sauraient, écrites sous cette forme, donner lieu, en raison de l'inégalité de m{ et m2, à des abaques superposés sans qu'on y admette un système de lignes cotées non droites.
Onsera donc conduit à les représenter au moyen d'abaques accouplés. D'après ce qui a été vu au n° 101, V accouplement par la variable z pourra se faire suivant l'une des quatre variantes
ier abaque . . . <
2e abaque
ire var.
2e var.
3e var.
4e \ ar
sA-hô
T, U, V, W étant des fonctions linéaires en x ety. Nous représenterons l'abaque résultant de cet accouplement par R-.
Si l'on voulait faire V accouplement par la variable G, ce qui donnerait lieu à un abaque Rq, il n'y aurait, pour conserver les notations du n° 101, qu'à permuter ci-dessus les indices i et 2, ce qui conduirait, dans le tableau précédent, à remplacer les premiers membres par les suivants :
iei abaque.
Rc
ie abaque.
De même, l'abaque R bis correspondant au système des équations (i) et (3 bis), qui sont
(sois) a -+- c = •>
donne un abaque R*", avec accouplement par la variable z, dont les quatre variantes sont données parle tableau ci-dessus, où l'on remplace les premiers membres par
Ier abaque..
Ibis
ie abaque.
Cl — ■ z
et — z *
et un abaque Rg , défini de même par
Ier abaque..
2e abaque... { - — :- — > 1 a — z
Pour avoir des abaques superposés nous devrons, comme on l'a vu au n° 101, recourir à une anamorphose logarithmique en écrivant les équations (i) et (3) sous la forme
log(a - z) — log(* -h 0) = loge, i\og(a — z) — log(£ -+- 6) = log(cr + c) + log2,
et posant
log(a —z) = M,
log(£ + 6) = N,
d'où
loge = M — N, l0g(or + c) -4-log2 = 2M — N.
Ces quatre dernières équations, où M et N sont des fonctions linéaires en x et r, définissent les quatre systèmes de droites (z ), (9), (s) et(cr) de l'abaque à superposition. En y remplaçant x cly par les coordonnées parallèles u et c, on substitue à ces quatre systèmes de droites quatre systèmes de points.
Pour les raisons déjà dites (n° 56), c'est ce dernier type d'abaque qu'on devra préférer. Aussi nous y arrêterons-nous davantage (nos 110, 111 et 112). D'ailleurs, en outre des avantagesignalés à l'endroit cité, l'emploi des points alignés offre encore ici, comme on le verra plus loin, celui de permettre de compléter l'abaque par un dispositif fort simple grâce auquel, au moment même de la lecture, on est fixé sur le cas dans lequel on se trouve sans avoir à recourir à la jig. ii4, et l'on connaît, s'il y a lieu, les abaques de renvoi correspondants.
Nous allons toutefois montrer comment les autres abaques qui ont été proposés pour le même objet rentrent dans les types généraux qui viennent d'être décrits.
105. Abaques superposés à graduations algébriques. — Ce sont ceux qui sont obtenus sans anamorphose logarithmique. Nous venons de voir qu'ils ne sont susceptibles de superposition qu'autant qu'on y admet un système de lignes cotées non droites. Il est très remarquable que le premier en date des abaques de cubature, celui de Davaine (1), appartienne précisément à ce typelà. Il est constitué par les systèmes de lignes cotées (2)
(ff) a -h c = -?-,
(') Mémoires delà Société des Sciences de Lille, i845.
(2) Ici, comme dans toute la suite de ce Chapitre, on a, pour simplifier l'écriture, fait abstraction des modules. Il suffit, dès lors, de considérer, dans les équations des diverses lignes cotées, x et y comme les rapports respectifs de l'abscisse et de l'ordonnée aux modules correspondants.
ce qui donne lûfig. 1 15 (') où les arcs de courbes appartiennent à des hyperboles ayant Ox et Oy pour asymptotes.
Fig. n5.
-n -01 o oi Q.7.
Suivant la remarque faite au début du n° 103, il suffit de munir les droites (s) d'une seconde graduation définie par
1 = ex — p
pour avoir les valeurs correspondantes de X. Cette observation serait à répéter pour tous les abaques suivants.
106. Abaques accouplés (2). —Nous n'avons pas, parmi les abaques connus, rencontré un seul exemple d'abaque du type R- (n° 104).
Type Rq. — ■ Si, dans la première variante de ce type, on prend
Usi, \^x, W=yt T = ar,
(') Cette figure, ainsi que les suivantes, ne doit être considérée que comme un schéma.
(2) Parmi les abaques donnés en exemples dans ce paragraphe, les abaques Switkowski et Paulin sont les seuls sur lesquels l'accouplement tel qu'il vient d'être défini ait été réalisé par leurs auteurs. Pour tous les autres, les deux abaques ont été construits séparément.
on obtient les droites cotées
ier abaque
2e abaque
qui définissent un abaque de M. Massau ('). Les axes des x des deux abaques étant mis en coïncidence et les axes des y dans le
Fig. 116.
fX) f } > j $ j>
prolongement l'un de l'autre, on obtient la disposition de la fig. 116.
Deux autres abaques du même auteur dérivent de la quatrième
(') Ann. de l'Assoc. des Ingénieurs sortis des Écoles spéciales de Gand (188',) : Mémoire sur l'Intégration graphique (Liv. III; n°s 202 et 221).
variante du type R6 avec les parlicularisations
U^i, Y^x, W^jk, T = ^, et
U=y, Y~x, W = i, Ts-.
7y/?e R2". — Si, dans la troisième variante de ce type, on prend
U==a?, V=r, W=jk, T=j,
Fig. u7.
on obtient les droites cotées
Ier abaque. . .
ie abaque
ci — z = x,
qui définissent encore un abaque de M. Massau ('), représenté par la fig. 117.
Si l'on porte les mêmes valeurs particulières de U, V. W et T dans la deuxième variante, ou si l'on fait dans la quatrième,
U^^r, V^r, Wsi, T^i,
on obtient encore deux abaques proposés par le même auteur.
Sur l'abaque de \afig. 1 1 7 (comme d'ailleurs sur tous ceux où interviennent des radiantes) on peut, suivant la remarque faite au n° 55, effacer les droites issues de l'origine, pourvu qu'on les remplace par une droite pivotante autour de ce point, en conservant un point de chacune d'elles muni de sa cote.
Dans ces conditions, rien n'empêche de replier la partie inférieure de la fig. 117 sur la partie supérieure, ce qui donne la fig. 118. Tel est l'abaque qui a été proposé par M. Switkowski (2).
Fig. 118.
20J Si
-J£L Ol
TZJU
On voit que le mode d'emploi de cet abaque est le suivant :
La droite pivotante étant amenée à passer par le point 0 coupe la verticale z en un point dont V horizontale donne z, sur V échelle de gauche, et X. La droite pivotante étant alors amenée à passer par le point s de l'échelle de droite coupe la même verticale z en un point dont V horizontale donne t.
( ' ) Ibid., n° 223.
(-) A. P. C, ier semestre 1884 ; p. ^n.
On a incliqué au pointillé sur la fi g. 1 1 8 les deux positions de la droite pivotante pour z .= — 2,5, 9 = — 0,1. Type Rfç. — Avec
U = i, V = x, W=/ + a, T~y-+-c, la deuxième variante donne
1e1 abaque
Z> kMj ■
2e abaque
On obtient ainsi l'abaque construit par M. Paulin ( * ) ( J^g". 1 19).
Fi;
Oci
•yO<
(') ^4. P. C, 2e semestre, 1889; P- 44°-
A\ ec
U=I, \ 'ix, W^J, T :;-,
a quatrième variante donne de même
Ier abaque
2e abaque i a — z = -,
C'est l'abaque qui a été proposé par M. Lanave (' ( fig. 120).
(Bit,
(') Bévue pratique des Travaux publics, juillet 1891, p. 148.
107. Abaques indépendants. — On peut enfin renoncer à accoupler les abaques en vue de la réalisation d'un autre desideratum.
Nous allons en indiquer un exemple dû à M. Rouit (1), où l'on s'est proposé de séparer dans chacune des quantités à calculer la partie qui varie avec la largeur de la plate-forme de celle qui en est indépendante, de façon que le même abaque puisse servir si, le long d'un même tracé, la largeur de la plate-forme prend successivement plusieurs valeurs.
ri.
'. ' .île—
/56ÎÎM
La formule (i) (n° 102), où l'on remplace a par sa valeur, peut
s'écrire
ht z
' *-f-0 f + 6 Construisons à part les abaques des formules
Ei =
et s.? =
11 suffit pour cela de prendre pour la première les droites cotées (£l) x = zu (G) j^-JL-, (6) a? = 6^,
pour la seconde
(s,) a7 = £2, (6) i^=^, (*) x = zy.
(l) Mémoire autographié; Bordeaux, 1S77. ^e procédé est reproduit dans la Statique graphique de Favaro- Terrier, t. II, Calcul graphique, p. 278. M. Rouit indique plusieurs variantes de son abaque. Nous nous contentons ici d'en reproduire une.
SYSTÈMES DE DEUX ÉQUATIONS. 2j5
On peut construire ces deux abaques sur la même feuille, les droites (sj) et (9) de l'un coïncidant avec les droites (e2) et (Q) de l'antre. On obtient ainsi la Jig. 121.
Pour se servir de l'abaque, on prend les points de rencontre de l'horizontale (8) avec les droites (b) et (z). Les cotes des verticales passant par ces points sont et et e2. Il reste ensuite à faire la différence algébrique
De même, la formule (3 bis) (n° 102), où l'on remplace a et c par leurs valeurs, peut s'écrire
ht ez
Construisons à part les abaques des formules
al= — (e — 6),
et
zz
Il suffit pour cela de prendre pour la première les droites cotées
(ffl) a? = ffi, (s) y — e, (b) x = — (y — b),
pour la seconde
On construira encore ici les deux abaques sur la même feuille
Fig. 122.
(ffO
-20 -»-i&-l2 -]& -16-lS-lâ -ïZ -11 -10 -9 -6 -7 -6 -5 -% -S - -1 1 2 3 * 5 S
tt
en remarquant que les droites (o-,) et (s) de l'un coïncident avec les droites (<72) et (s) de l'autre. On obtient ainsi ^fig- 122.
L'horizontale (s) coupe les droites (b) et (z) en des points dont les verticales ont pour cotes <7i et <r2. Il reste ensuite à faire la différence algébrique
cr = Ci — o"2.
Remarque. — Si la largeur de la plate-forme ne reste pas la même tout le long d'un tracé, elle n'y prend, en tout cas, qu'un très petit nombre de valeurs différentes. Aussi l'économie de temps résultant de ce qu'on n'a à construire qu'une seule paire d'abaques pour ces diverses valeurs nous semble-t-elle plus que compensée par la nécessité de compléter, dans tous les cas, chaque lecture par une opération arithmétique, fût-ce une simple addition.
Si l'on préférait construire séparément les abaques correspondant aux diverses valeurs de la largeur de la plate-forme, de façon à éviter cette addition complémentaire, il suffirait de modifier les abaques précédents de la façon suivante :
Sur le premier abaque, le segment de l'horizontale (9), compris entre la droite (z) et la droite (6), est égal à e. Donc, pour une valeur fixe de b, la parallèle à la droite (b) menée par le point de rencontre delà droite [z) et de l'horizontale (B) est une droite (s). On obtient ainsi un abaque constitué par les droites cotées
(z) x = zy, (6) j = --— , (s) bty == x -h e.
De même, sur le second abaque, le segment de l'horizontale (e), compris entre la droite (z) et la droite (6), est égal à <7. Donc, pour une valeur fixe de b, la parallèle à la droite (b) menée par le point de rencontre de la droite (z) et de l'horizontale (s) est une droite (o1). On obtient ainsi un abaque constitué par les droites cotées
Pour déduire directement ces deux derniers abaques des équations (1) et (3 bis) il suffit de poser pour le premier
a — z = — > £ -1- b = — , £ = ay — x,
pour le second,
ay — ix a y — ix
108. Abaques superposés à graduations logarithmiques. — Nous avons vu au n° 104 que, pour avoir des abaques superposés uniquement composés de lignes droites, il suffisait de construire les droites cotées définies par les équations
logO — z) = M, log(*-t-6)==N,
loge = M— N, log(ff + c) + log2 — i M — N,
où M et N sont des fonctions linéaires en x et y.
Lalanne, à qui est dû cet artifice, a fait connaître en 1 843 un
premier abaque (*) qui se déduit des formules précédentes
lorsqu'on y fait
M~x, N=jk.
Il a ensuite proposé un second abaque, d'une meilleure disposition, obtenu en prenant
M=^±Z, Ne y.
Les droites cotées de cet abaque ont alors pour équations
(z) 2log(a — z) = se -+- y,
(6) log(* + 6)=ty,
(s) 2loge = a? — y-,
(*) log(cr + c) h- log2 = x,
ce qui donne la disposition représentée par \ajig. i 23.
(') A. P. C., ier sem. 1846. En réalité, les premiers abaques de Lalanne n'étaient pas à superposition. Ils ne donnaient que a en fonction de z et de 0. Ce n'est qu'après la publication faite par Davaine de son abaque (n° 109) où la superposition se rencontre pour la première fois, que Lalanne eut à son tour recours à cet artifice, qu'il combina avec son ingénieuse idée de l'anamorphose logarithmique.
En appliquant à cet abaque l'artifice du transparent mobile (n° 31), qu'il a précisément imaginé à cette occasion, M. Blum a
Fig. 123.
