SO

du terme complémentaire. Cet artifice pourrait d'ailleurs être utilisé avec les types d'abaques précédents.

Fig. 125.

(en

A un couple de valeurs de z et 8 correspond sur le plan de l'abaque une position du centre du transparent. Ce point peut être dit le transformé du point qui, rapporté aux axes de la fig. i i4, a pour coordonnées ces valeurs de z et 0. On peut ainsi définir sur le plan de l'abaque la ligne transformée d'une ligne tracée sur le plan de \&fig. 1 1 4 et notamment les transformées des lignes qui limitent les régions correspondant aux divers cas du calcul des profils. On obtient ainsi, sur l'abaque même, la région à l'intérieur de laquelle se trouve le centre du transparent, lorsqu'il y a lieu d'ajouter le terme complémentaire y, et l'on peut, dans cette région, faire la représentation de ce terme complémentaire en prenant pour (z) et (0) les systèmes de parallèles engendrés par les axes du transparent.

systèmes n:: deux équations. 28 j

On obtient ainsi pour y un système de courbes cotées (') (fi g. 126).

Dès lors, si le centre du transparent tombe sur la courbe (y), il faut, à la lecture <r faite sous l'index E, ajouter la lecture y. Ce

Fig.. 126.

système de courbes (y) a reçu de M. Lallemand le nom d'échelle centrale additionnelle.

L'idée est assurément ingénieuse, mais il vaut mieux, en pratique, tout en figurant les limites de la région pour laquelle doit s'ajouter le terme additionnel, se servir d'un abaque de ce terme construit à part. Cette construction n'a besoin, en effet, d'être laite qu'une fois pour toutes, puisque le terme complémenlaire ne dépend d'aucune donnée spéciale au profil type considéré; elle ne comporte, en outre, que des droites parallèles, ce qui permet de recourir encore à l'usage du transparent. Dans le cas contraire,

(') Cette façon de représenter y est une application immédiate du procédé indiqué au n° 18 {fig. 20), combiné avec une anamorphose.

les courbes (y), d'une construction assez longue, varient pour chaque abaque particulier.

110. Abaque R à points alignés. — Nous allons, au sujet des abaques à points alignés, entrer dans de plus grands détails pour les raisons données à la fin du n° 104.

D'après ce qui a été vu à cet endroit, on définira l'abaque à points alignés, pour le remblai ou abaque R, en reprenant les équations du n° 108 et y remplaçant M et N par des fonctions linéaires des coordonnées parallèles u et v.

Nous prendrons (')

L'abaque sera alors constitué parles systèmes de points cotés (2)

(z) l°g(rt — z) = u,

(6) log(;-i-0)=-P, • :

(e) et (X) logs = log(X -+- (3) — logx = u-hv,

(a) log(<7 -h C) H- lûg2 = 2Z£ -h C.

Les deux premières équations définissent des échelles logarithmiques portées par les axes Au et Bp; les autres, des échelles logarithmiques portées par des axes parallèles à Au et B^, le premier, Ct), mené par le milieu G de AB, le second, DÇ, mené par le point D au tiers de AB à partir du point A {fi g* 127).

L'axe G 7) portera deux graduations, l'une définie par

l'autre par

8(X) = log(x-*-P) — 1°gT/

(') Nous posons V = — v, et non V = v, pour que tous les points cotés correspondant aux quantités à déterminer soient entre les axes sur lesquels sont pris les points cotés correspondant aux quantités données, ce qui permet d'opérer avec plus de précision que s'ils étaient en dehors de ces axes. Cet artifice est indiqué dans la note au bas de la page i/j5.

(2) Même observation que celle qui est contenue dans la note (2) de la page 267, en ce qui concerne les modules des axes Au et Bi>, modules que l'on prend d'ailleurs égaux entre eux en vue de rendre plus approché le tracé indiqué pour la figuration graphique des cas, tant dans ce numéro que dans le suivant.

en représentant par ô(e) et o(\) les distances comptées à partir

deC.

Fig. 127.

""^JVI

De même, la graduation de l'axe DÇ sera donnée par

g log(a + c)-4-log2

Limitation des échelles. — Si l'on se reporte au tableau du n° 103, on voit que l'abaque R sert comme abaque d'entrée dans les cas I et II, et comme abaque de renvoi dans les cas V et VI.

Si l'on se reporte ensuite au n° 102 et à la. Ji g. 1 14, on voit que l'on aura à se servir de cet abaque pour des valeurs de 9 quelconques comprises entre les limites que l'on s'est assignées (ici — o,2D et o,25), et pour des valeurs de z comprises entre la limite inférieure — 20 et la valeur de z correspondant au point H, c'est-à-dire o, 256.

Soient

BT1! = — log(2 — o,25), AZt = log(a -+- 20),

BT2 = — log(*-t-o,25), AZ2 = log(a — o,256),

BT0 = -log;, AZ0= loga.

L'échelle de 9, dont le zéro sera au point T0, sera limitée au segment T1 T2. L'échelle de z, dont le zéro sera au point Z0, sera limitée au segment Z, Z2.

Il sera bon d'ailleurs, sur l'échelle TtT2, d'écrire à côté des deux parties correspondantes : terrain en pente (partie où 9 est négatif); terrain en rampe (partie où 9 est positif). De même. sur l'échelle Z,Z2 : cote en remblai { partie où z est négatif); cote en déblai (partie où z est positif).

Puisque la droite joignant les points z et 9 correspondant aux données est toujours comprise entre T1Z1 etT2Z2, il est inutile de prolonger les graduations des axes Cr, et DÇ au delà de ces droites.

L'axe DÇ des surfaces servant lorsque l'abaque est pris comme abaque de renvoi, la graduation devra s'étendre depuis S< sur T, Zj jusqu'à S2 sur T2Z2 } son zéro est S0.

L'axe Ct,, ne servant que lorsque l'abaque est pris comme abaque d'entrée, portera pour e et pour X des graduations allant du point Ej ou L, sur T4 Zf à un point qui sera déterminé plus loin.

Il faut remarquer que la droite T0Z0 qui joint les zéros des graduations de 9 et z coupe l'échelle de £ au point coté b, les échelles de "k et de c en leurs points zéros.

Figuration des divers cas. — L'abaque sert pour l'entrée

(n° 103) dans les cas I et II, c'est-à-dire (n° 102) lorsque, z étant

quelconque,

Cherchons l'interprétation géométrique de cette condition (1). Si nous associons à chaque valeur de 9 la valeur de z telle que

z-h b"b-hh = o,

nous obtenons les positions limites de l'index. L'enveloppe de ces positions limites est une certaine courbe dont il serait facile de former l'équation en u et v\ mais cela est inutile. Pour la très faible amplitude de variation de 9 (de — o,25 à o,25), on vérifie graphiquement (2) que toutes ces positions limites passent très

(') C'est là une application de ce qui a été dit à la fin du n° 67, page i5o.

(2) On pourrait se livrer à ce sujet à des calculs qui constitueraient un exer cice d'application des coordonnées parallèles, mais qui seraient sans intérêt pratique, la vérification graphique étant parfaitement suffisante, étant donné le but qu'on se propose.

sensiblement par un même point. Nous pouvons prendre pour ce

point l'intersection M des deux, positions extrêmes T, P1 et T., P.,

données par

8 = — o,25, z = 0,256"— h et

Dès lors, la seconde condition pour que l'abaque serve pour l'entrée montre que l'index doit passer au-dessus du point M. Par le point M, menons en trait gras une parallèle aux axes dans le sens négatif. Si l'index coupe cette droite, c'est qu'il passe audessous du point M; par suite, l'abaque ne s'applique pas pour l'entrée.

Pour cette raison, nous appellerons ce trait gras une banc d'arrêt, et nous dirons :

L'abaque sert pour Ventrée [cas 1 et II) si V index ne rencontre pas la barre d'arrêt. On voit ainsi que l'échelle de £ et \ doit être arrêtée à la droite T2P2-

Dans le cas II, c'est-à-dire lorsque z >» o, il faut recourir comme abaque de renvoi à celui du terme complémentaire. Or, si z >> o, l'index passe au-dessous de Z0 ; et, comme il passe audessus de M, il coupe nécessairement la droite MZ0, que nous tracerons en pointillé et que nous appellerons une barre de renvoi. Nous pouvons donc dire que, lorsque l' index rencontre la barre de renvoi, il faut recourir à l'abaque complémentaire.

Mode d'emploi de V abaque. — Rapprochant ces remarques de la règle générale donnée pour la lecture au n° 103, nous obtenons cette règle très simple :

Si l'index rencontre la barre d'arrêt (trait gras), laisser l'abaque et se transporter sur celui du déblai.

Si l'index ne rencontre pas la barre d'arrêt, faire immédiatement la lecture de l'emprise et de la longueur du talus.

Pour la surface du remblai : si l'index ne rencontre pas la barre de renvoi, faire simplement la lecture sur l'abaque ; si l'index rencontre la barre de renvoi, ajouter à cette lecture la lecture correspondante sur l'abaque dont le nom (terme complémentaire) est inscrit à côté de cette barre de renvoi.

Le terme additionnel fait lui-même connaître la surface du déblai.

111. Abaque~D à points alignés. — Nous prendrons les mêmes fonctions M et N que dans le cas du remblai. L'abaque sera, dès lors, constitué par les systèmes de points cotés :

(9) (e')et(V)

log(a'-f- z) log(Y — 8)= — p, logs' = log(X'-h p') — Iogx'= W + P, log(a'-f- c') -h log2 = 2tt + c.

A la valeur des constantes près, la graduation des axes A?z, Bp, G ïi, DÇ, sera donc la même que dans le cas précédent {ftg. 128).

Fie. t28.

cr -v.

En outre, le sens suivant lequel croîtront z et 9 sera renversé (1).

Limitation des échelles. — Si l'on se reporte au tableau du n° 103, on voit que l'abaque de déblai sert comme abaque d'entrée dans les cas III, IV, V, VI.

Si l'on se reporte ensuite au n° 102 et à la. Jig. 11 4, on voit que l'on aura à se servir de cet abaque pour des valeurs de 9 quelconques comprises entre les limites que l'on s'est assignées (ici — o, 25 et o, 26) et pour des valeurs de z comprises entre la limite

(x) Il est bon, pour que ce sens reste le même lorsqu'on passe de l'un des abaques à l'autre, de retourner le second bout pour bout, lorsqu'on le dispose à côté du premier; c'est ce qui a été fait sur la Planche ci-jointe.

supérieure 20 et la valeur de z correspondant au point I, c'està-dire — (o, i5b" -+- h).

Soient

BT;= — log(«'-4-o,a5), BT'2=-log(*'-o525), BT'0 = — lôg*1, AZi = log(a' — o,25 6v— h), AZ'2 = log(a'-h 20), AZ'0 = loga'.

L'échelle de 9, dont le zéro sera au point TJ,, sera limitée an segment T^T^. L'échelle de £., dont le zéro sera au point Z', sera limitée au segment Z'4Z'2.

Ici, comme dans le cas du remblai, on aura soin d'écrire à côté des échelles correspondantes : terrain en pente, terrain en rampe, d'une part, cote en remblai, cote en déblai, de l'autre.

Puisque l'index reste toujours au-dessous de la droite T'Z', il est inutile de prolonger les graduations des axes Crj et DÇ vers le haut au delà de cette droite.

Nous verrons plus loin comment ces graduations seront arrêtées vers le bas.

Il faut remarquer que la droite T^Z^, qui joint les zéros des graduations de 9 et de 3, coupe l'échelle de e' au point coté b! , celle de V au point coté cp, et celle de o- au point coté F(n° 102).

Figuration des divers cas. — L'abaque sert pour l'entrée

(n° 103) dans les cas III, IV, V et VI, c'est-à-dire (n° 102) lorsque,

z étant quelconque,

z-hb"b-hh>o.

L'interprétation géométrique de cette condition est la même que dans le cas du remblai. Elle conduit encore à la considération du point M donné par l'intersection des droites

Ti'P'^O = - o,25; z = o,-i5b" — h)

Il semble, au premier abord, qu'ici le sens de la barre d'arrêt doive être changé, mais il n'en est rien, car, ainsi que nous venons de le voir, le sens de la croissance pour 9 et z est lui-même changé (l ).

(l) Ne pas perdre de vue que, sur la Planche, le second abaque a été retourné bout pour bout pour que le sens des graduations soit le même que sur le premier.

Ainsi, V abaque sert comme abaque ci 'entrée si l'index ne rencontre pas la barre d'arrêt.

Il s'agit maintenant de caractériser les cas IV, V et VI, où l'abaque d'entrée doit être complété par certains abaques de renvoi.

Ces cas sont séparés les uns des autres sur la fig. 1 14 par les droites AD, ou z = o, à laquelle correspond sur l'abaque le point

Z„, et HG, ou

Exactement de la même manière qu'on l'a fait pour le point M, à propos de l'abaque du remblai, on peut, vu la petite amplitude de la variation de 9, faire correspondre à cette équation le point N défini par les droites

T'i Qi (0 = — o,25; z = o,25 6);

et, suivant que z -+• b§ est > o ou < o, l'index passe au-dessus ou au-dessous de N.

Dès lors, les conditions résumées au n° 102 se traduisent ainsi :

Pour le cas IV, l'index passe au-dessous de Z'0 et au-dessus de N; donc, il coupe la droite NZ'0, qui est dès lors une barre de renvoi au terme complémentaire (n° 103).

Pour le cas V, l'index passe au-dessous de Z^ et au-dessous de N; comme il passe au-dessus de M (sans quoi il couperait la barre d'arrêt), il coupe la droite MN, qui est dès lors une barre de renvoi au remblai (ibid.).

Pour le cas VI, l'index passe au-dessus de Z'0 et au-dessous de N; il coupe donc à la fois les droites NZ (qui renvoie déjà au terme complémentaire pour le cas IV) et MN (qui renvoie déjà au remblai pour le cas V). Or, précisément, il y a, dans ce cas (ibid.), renvoi à la fois au terme complémentaire et au remblai. Il suffît donc de maintenir, pour ce dernier cas, aux droites NZ'0 et MN la signification qu'on leur a donnée comme barres de renvoi pour les cas précédents.

Mode d'emploi. — Finalement, le mode d'emploi de l'abaque

sera exactement le même que celui énoncé pour l'abaque de remblai, à la fin du n° 31, à cette différence près qu'ici l'index peut rencontrer à la fois deux barres de renvoi, et que, dans ce cas, le terme additionnel à ajouter à la lecture faite directement sur V abaque, pour la surface du déblai, se compose de la somme des lectures correspondantes sur les deux abaques auxquels renvoient ces barres.

Ce terme additionnel fait, d'ailleurs, connaître la surface du remblai.

112. Abaque C à points alignés. — L'équation qui donne ce terme complémentaire étant de la forme (4) (n° 102), il suffit de prendre les points cotés définis par

ilogz = it,

— loge = v,

logy -h log2 = U -h V.

On obtient ainsi un abaque très facile à construire, attendu que, si le point y, situé sur l'axe Cyi équidistant de Au et Bv (G étant le milieu de AB), est à la distance o(y) du point C, on a

log^-Mog,^

On doit, avons-nous vu au n° 102, entrer dans cet abaque avec la valeur absolue de 9 ; il n'y a donc pas lieu de s'inquiéter du sjgne de 9.

De même, z n'entrant dans l'expression de y que par son carré, il n'y a lieu de s'occuper que de sa valeur absolue.

Limitation des échelles. — L'abaque du terme complémentaire s'applique dans les cas II, IV et VI (n° 103), c'est-à-dire, puisqu'il ne s'agit ici que des valeurs absolues de 9 et s, pour 9 compris entre o et o , 25 et z compris entre o et o , 25 b.

Remarquons que pour 9 = o ou pour z = o on a des points à l'infini sur Be ou Au. Il suffira de faire varier 6 de o,oi à o,25, et z de o, i à o, 256.

La limitation de ces deux échelles entraîne celle de l'échelle centrale sur laquelle se lira y. Cette échelle doit, en effet, s'arrêter à la droite qui joint le point extrême de l'échelle de 9 (o,oi) au M. d'O. 19

point de 1 échelle de z défini par la plus haute valeur correspondante de r. prise en valeur absolue

o.oi b" — h.

Les fig. 12Q. 129 bis et 12g ter gravées sur la Planche cijointe représentent les trois abaques, dressés d'après la méthode qui vient d'être indiquée, avec les données particulières :

b = 5m. b'=6m.5o. b"=5m.bo. h=om.5o. t = - = 0,66, t'—i,

d'où l'on déduit

F = omq,5. -^=]ul.qï.

Le mode d'emploi de ce triple abaque peut se résumer de la manière suivante :

Pour faire la lecture on tend une droite, dite index, entre la cote, lue sur l'axe de gauche, et la déclivité, lue sur l'axe de droite. On fait la lecture de chaque axe au point où il est rencontré par l'index en se conformant à la règle suivante :

On entre dans l'abaque. R ou D. sur lequel l'index ne rencontre pas la barre d'arrêt, et on lit immédiatement l'emprise et le talus.

Si l'index ne rencontre aucune barre de renvoi, on lit. en outre, immédiatement la surface, et celle-ci est de même d g nation, R ou D. que l'abaque dans lequel on se trouve.

Si l'index rencontre une ou plusieurs barres de renvoi, on <e reporte aux abaques indiqués par le mot écrit à côté de chacune de ces barres '). La somme des lectures faites sur l'abaque d'entrée et su?' les abaques de renvoi donne la surface de même désignation que l'abaque d'entrée. La somme des lectures faites sur les abaques de renvoi don//' la surface de désignation contraire .

Remarque. — Il n'a été question jusqu'ici que du calcul d un demi-prolil. Pour passer de la première moitié à la seconde d'un

(*) Le tableau du n° 103 montre qu'il n'y a pas de renvoi dans les cas I et III. de beaucoup les plus fréquents, et qu'il n'y a de double renvoi que dans le cas VI,

d'un intcrèt purement théorique, comme le cas V.

D'Ocape.

ABAQUES A POINTS ALIGNES POUR LE CALCUL DES PROFILS DE REMBLAI ET DÉBLAI

PI. i

Fig. 129

Fig. 129*'

Fig. 129bis