ET
'ci
Fig. i46.
Taux (r)
et Bi>; puis, l'élimination de r entre ces deux équations donne, pour le? éléments (A), l'équation
q or — /t(ô — ;r)log A,
droites qui passent toutes par l'origine B(cr = o, y — o) de l'axe Bt>, et qui coupent l'axe A u(x = — ô) aux points définis par
y = /ilogA,
qui se confondent avec les points (a). Cette circonstance permet d'éviter le tracé des droites (A). En effet, il suffit, pour avoir une telle droite, de joindre le point B (qui n'est autre que le point n — o) au point de
l'échelle (a) coté A. On peut, d'ailleurs, pour réaliser cette droite, se servir de l'index lui-même. L'emploi de l'abaque devient alors analogue à celui des abaques à double alignement (Ch. III, § V, A). 11 peut s'énoncer ainsi :
On fait d'abord passer l'index par le point coté a sur l'échelle du capital et le point coté n sur l'échelle du temps, puis on le fait pivoter autour du point où il rencontre la verticale cotée r, de façon à l'amener à passer par le point n = o. 77 coupe alors l'échelle du capital au point coté A.
Sur l'abaque représenté par la fig. 1 46, on a pris £2=0j°4^i de façon à donner à l'échelle du temps (n) la même longueur qu'à l'échelle du capital (a) et (A), avec les limites adoptées.
Les deux positions de l'index marquées en pointillé sur la figure correspondent à l'exemple numérique déjà envisagé au n° 119 (i°), savoir
a = 20Ooofr, n = i;V, r = \ " 0,
pour lequel l'abaque donne
A = 36ooofr.
123. Deuxième exemple : Abaque de la distance sphérique (1). — L;» distance sphérique cp de deux points en fonction de leurs latitudes X et X' et de la différence L de leurs longitudes peut s'écrire, ainsi que l'a remarqué M. Gollignon,
1 cosep = (i-h cosL) cos(X X') — (1 — cosL) cos(X -;- X' ).
Sous cette forme, elle rentre dans le type (E) du numéro précédent.
Adoptant ici pour 0, l\ et /2 une valeur / unique (ce qui a l'avantage de nous donner pour quadrangle limite de l'abaque un carré), nous poserons, en vertu des formules (at) et (a2) du numéro précédent (2),
u - - — l cos(X -+- X').
v = l cos(X X'),
ce qui nous donne, pour équation du système (L,<p),
u([ — cosL) -fc(i+ cosL) — 2 cosep = o.
Les coordonnées cartésiennes du point correspondant, données par les
(') O. 4, p. 84. M. Collignon a, depuis lors, utilisé cet abaque dans sa Note sur la détermination de l'heure du passage du Soleil dans un plan vertical (/. E. P., 2e série, 4e cahier, p. i23; 1898).
(2) Voir la remarque contenue dans la noie au bas de la page i\b.
formules (y) du numéro précédent, sont ici, puisque o = /, = U = /,
x = l cosL, y — l coscp.
Ici, point d'élimination à faire, puisque chacune des variables L et © n'entre que dans une des équations. Ces équations donnent directement les lignes cotées (L) et (cp) qui sont des parallèles aux axes.
L'abaque correspondant obtenu en prenant / = 4cm est représenté par la fie- i47-
Fig. i47-
Echelle, de. L
La graduation des horizontales (cp) se confond d'ailleurs, si on l'inscrit sur le bord droit de l'abaque, avec l'échelle (X — X').
La position de l'index, marquée en pointillé sur la figure, correspond à l'exemple numérique suivant, qui fait connaître, sur la mappemonde, la distance sphérique de Paris à Hanoï :
L'abaque donne <p = 87°5o'.
On peut remarquer que cet abaque permet de résoudre un triangle
ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 3'2g
sphérique dont on connaît soit trois éléments de même espèce, soit trois éléments consécutifs.
Si, en effet, on connaît les trois côtés a, b, c, on voit qu'en prenant
successivement
on a
es = c,
Si l'on connaît les trois angles, le cas se ramène au précédent par la considération du triangle supplémentaire.
Si l'on connaît deux côtés a et b et l'angle compris G, en faisant
on a
cp = c.
Connaissant dès lors «, b, c, on est ramené pour le calcul de A et B au cas ci-dessus.
La considération du triangle supplémentaire permet de traiter de même le cas où les données comprennent un côté et les deux angles adjacents.
L'abaque ci-dessus est intéressant en raison de l'extrême simplicité de sa construction et de la diversité de ses usages. On va voir maintenant qu'en sacrifiant un peu de cette simplicité on peut construire un abaque permettant la résolution des triangles sphériques dans tous les cas possibles.
124. Troisième exemple : Abaque général de la Trigonométrie sphérique (l). — Les six cas de résolution des triangles sphériques peuvent, par la considération du triangle supplémentaire, se ramener à trois, savoir ceux où deux au moins des côtés figurent parmi les données, et la résolution de ces trois cas peut être effectuée par l'emploi de la seule formule
(i) cosa! = cosa3 cos(33-- sina3 sin (33 cosa2,
dans laquelle on remplace les variables a,, a,, a3, p3 par l'un des systèmes de valeurs
(B) aci^b, a2 B, ol3=c, p3=«,
(C) at-=c, a2 = G, a3 a, fi3 = b.
33o CHAPITRE V.
Avec ces différents états des variables qui y figurent, nous donnerons à la formule (1) la désignation de formule (A), (B) ou (G).
Voici, dès lors, comment s'effectuera la résolution dans les trois cas auxquels on est ramené :
Cas. Données. Résolution.
la formule (A) donne A,
II a, b, A » (B) » B,
III b, c, A » (B) » B,
On voit ainsi que toute la résolution des triangles sphériques pourra s'effectuer au moyen du seul abaque de l'équation (i) qui rentre bien dans le type (E) du n° 121.
Prenant sur les axes Au et Bt> des modules égaux à l et représentant toujours par o la demi-longueur AB, nous voyons que les formules (at), (a2) et (y) du n° 121 définissant l'abaque seront ici
(otl) a — / cosai,
(oc2) v =■ — / cosa2,
^ sina3 sin 83 — i sina3 sin^3 -^ i
, cosa3cosS5
sina3 sin ^3 -h i
La symétrie de ces deux dernières équations en a3 et (33 montre qu'ici les lignes (a3) et les lignes ((33) sont les mêmes. C'est donc cet unique système de lignes qui, en se recoupant lui-même, constitue le réseau
(«•i Pi).
Les équations (y) étant du premier degré en sin (33 et cos (33, l'élimination
de (33 n'offre aucune difficulté. On trouve
v ' sm2a3 /2Cos2a3 v ;
D'après ce qui vient d'être dit, l'équation ( j33) est la même avec le simple changement de a3 en (33.
Appelons U et U', V et V les extrémités des échelles (aj) et (a2)
{fig- M8) (!)i extrémités qui sont données respectivement pour s, et au égaux respectivement à o" et à i8o°, par
'iJ
(a,) go0!^ A0"
Si l'on cherche les équations des tangentes à l'ellipse a3 parallèles à O.r. on trouve bien aisément
Ce sont les droites UV et U'V. Ou trouve également que les tangenteissues de l'origine O sont les droites
§y = zfc l.r,
(l) Sur la Jig. i4<S, le sens positif de Vm et lïv, et, par suite, celui de Oy a été exceptionnellement pris t/e Aau2 en bas.
c'est-à-dire les droites UV et U' V. En résumé, si l'on appelle X«> le point situé à l'infini sur OA, on voit que le système (a3) est constitué par les ellipses inscrites dans le quadrilatère OUX«>U'.
On vérifie, en outre, que le pôle de V axe UU' par rapport à toutes ces ellipses est l'origine B de l'axe VV (1).
Une fois les axes UU' et VV gradués pour les variables ccl et a2, il est très facile de construire la portion utile de chaque ellipse a3. En effet, cette ellipse coupe l'axe AB, ou Ox, au point défini par l'abscisse
„ i — sin a 3
i -h sina3
point qui se trouve sur la droite joignant le point \ (x = o, y = l) au point de l'échelle UU' coté a 3-+- 900, dont les coordonnées sont
x = — 0, y = / cos(a3 -+- go°) = — l sina3.
Elle coupe l'axe UU'(a?= — 0) aux points de l'échelle correspondante cotés a3 et r8o° — a3, et, d'après ce qui vient d'être vu, les tangentes en ces points passent au point B. On se trouve ainsi amené à construire une ellipse connaissant deux points, les tangentes en ces points et la tangente parallèle à la corde qui les joint, construction facile à effectuer (2).
Remarquons que les ellipses cotées a3 et 1800 — a3 coïncident dans toute leur étendue. Il suffit donc, pour avoir le système (a3) tout entier, de faire varier a3 de o° à 900.
Cette coïncidence deux à deux des ellipses (a3) entraînerait une ambiguïté dans la lecture si l'on n'avait soin de faire la remarque suivante :
Si l'on se reporte aux formules (y) ci-dessus, on voit que y est positif ou négatif suivant que a3 et (33 sont ou non pris du même côté par rapport à 900.
Donc, 5i'a3 et (33 sont à la fois supérieurs ou inférieurs à 900, le point de rencontre des ellipses correspondantes se trouve au-dessous de OA. Si le contraire a lieu, le point de rencontre des ellipses se trouve audessus, en vertu de la note au bas de la page 33 1.
Enfin, une autre ambiguïté apparente se produit lorsque a3=(33 ou lorsque «3-f- (33 = 1800, parce qu'alors les deux ellipses dont il s'agit de prendre le point de rencontre coïncident dans toute leur étendue; mais ce
(*) Si l'on fait une transformation par polaires réciproques relativement à un cercle de centre B, on voit qu'on obtient un système de coniques concentriques circonscrites au rectangle formé par les points transformés des droites UV, U'V, U'V, UV. Le centre commun de ces coniques est le point transformé de la droite UU'.
(2) Nous avons, pour cette construction, indiqué un procédé (celui qui a effectivement servi pour la Jlg. 148) dans les N. A. (3e série, t. XII, p. 35o), procédé qui se trouve reproduit dans notre Cours de Géométrie descriptive, p. 177
point de rencontre occupe alors une position limite qui est le point de contact de l'ellipse considérée avec la droite UV si a;i = 33, avec la droite U' V si a3+ |33 = 1800.
Le point (a3, (33) est ainsi défini sans ambiguïté dans tous les cas, et l<mode d'emploi de l'abaque résulte simplement de l'alignement de ce poini avec les points z{ et a2.
123. Quatrième exemple : Abaque de l'équation complète du troisième degré. — Pour représenter l'équation
^:î -iiz- p z 'r- q — o,
qui rentre évidemment dans le type (E) du n° 121 , il suffit, en appelant li et h deux, modules quelconques, de poser
(p) « = hp,
(q) V = hq,
équations qui définissent deux échelles régulières portées sur Aw et Be. Le point (?i, z) est alors défini, en vertu des formules (y) du n° 121, par
lil2(z^A~ nz*)
La première de ces équations ne contenant que z définit les éléments cotés relativement à cette variable, qui sont, comme on voit, des parallèles aux axes coordonnés Au et B e, déterminant, sur l'axe AB des origines, une échelle linéaire (n° 7) qui, dans le cas où l{ = h. devient une échelle segmentaire (n° 5, 3°).
Quant aux courbes (/&), qui sont des cubiques cuspidales, on pourrait aisément former leur équation en éliminant z entre les équations (z) et (y); mais cela est inutile.
Lorsqu'on a construit l'une d'entre elles, par exemple la courbe n = o, qui est précisément celle dont nous nous sommes occupé en détail au n° 81, les autres s'en déduisent très aisément. Si, en effet, j0 et yn sont respectivement les ordonnées des courbes cotées o et n, pour une même valeur de z, on a
y„=yo-n ', »
et, puisque la fraction qui multiplie n est une constante pour une même
valeur de z, on voit que les courbes (n) déterminent sur la droite z une
/, A, s"2 échelle régulière dont le module est égal à —. — et le sens crois-
sant opposé à celui des échelles ( p) et (q).
C'est en se fondant sur cette remarque et en prenant
«ju'on a construit l'abaque de la fig. 149, dont l'emploi se réduit à ceci : faire passer l'index par les points cotés p et q et lire les cotes z des verticales passant par les points où cet index rencontre la courbe cotée n.
On s'est d'ailleurs, en vertu d'une remarque déjà faite à propos de l'équation trinôme (n° 81), borné à envisager des valeurs positives de z, les valeurs absolues des racines négatives de l'équation étant données par les racines positives de la transformée en — z, c'est-à-dire de l'équation définie par les coefficients — n, p et — q.
Les équations du troisième degré qui se rencontrent dans la pratique n'ont d'ailleurs, en général, qu'une racine positive, et c'est la seule qu'on ;iit besoin de calculer.
Les positions de l'index marquées en pointillé sur la figure se rapportent
aux équations
et
pour lesquelles l'abaque donne respectivement z = 1,46 et «s = 1 ,6.
Remarquons, en outre, qu'ici s'applique le principe des multiplicateurs correspondants (n° 21) lorsqu'on prend
z'=Xz: n' = Xn, p'=X2/?, q'-=.\$q.
En voici des exemples pris dans la pratique :
i° Voûte en dôme. — Bossut, dans ses Recherches sur l'équilibre des voûtes (Mémoires de l'Académie des Sciences, p. 566; 1774)- est amené, à propos d'une voûte en dôme particulière, à résoudre l'équation
En prenant X = — , on a l'équation
L'abaque donne pour cette dernière
Par suite
20 Remous d'une rivière. — Le remous z d'une rivière à son passage
Fig. i'|«,.
