H) HO

-BH6MM-B) (0) (2) (4) (61 (8) (10) -(SH7)-(SH3)-(1) (1) (3) (5) (7) 19»

sous un pont est donné par l'équation

^+(2H- A) g-2 + H(H — 2Â)j h B — AH* = .o, où

L désignant la largeur de la rivière en amont du pont,

/ sa largeur totale sous les arches du pont.

II la profondeur moyenne en amont,

Q le débit de la rivière,

U le coefficient de contraction.

Avec les données suivantes, qui sont celles relevées par d'Aubuisson dans son expérience sur la Veser, savoir

L=i8om57i, / = 96m,i3, U 5,T\37, Q = i45ome, U=o,gr

on a l'équation

Prenant ici A = -> on a 1 équation

pour laquelle l'abaque donne

et, par suite,

z -om,38 (»).

126. Cinquième exemple. Abaque de V équation du quatrième degré. — Soit l'équation du quatrième degré

z'* -h m 33 -h nz- -h p z -h q = o . Lorsqu'on pose

^ = m z', n — m-/i', p = mzp\ q — mk q' ,

elle devient (2)

z'*H- z'3-hn'z'*-hp'z'-{- q'= o.

Sous cette forme, il suffit, pour la représenter, de poser

(p) 11 = hp',

{"') v = hq',

(') L'expérience de d'Aubuisson a donné z = om,382.

(2) Il y a lieu ici de faire une double observation :

i° Pour le cas où m serait négatif, il y aurait lieu de construire un second

ce qui donne pour les points (n', z' )

, , lila(3'l-+z'»-hnz't) (-'> ' = Û^T^J '■

On voit que tout ce qui a été dit à propos de la construction de l'abaque précédent peut être répété ici. On obtient seulement comme courbes (n) des quartiques au lieu de cubiques. Mais, une fois tracée la courbe n = o, les autres s'en déduisent exactement de même qu'au numéro précédent, la relation

subsistant encore. Si donc on construit ce nouvel abaque avec les mêmes modules que le précédent, on voit que les échelles régulières déterminées sur les diverses verticales (z) par les courbes (n) sont les mêmes dans l'un et l'autre cas. C'est ainsi qu'a été obtenu l'abaque de la fig. i5o (l ). Pour déduire les coefficients n',p', q' des coefficients m, n, p, q et passer ensuite des racines^' aux racines^, on voit qu'il suffit de construire

l'abaque de l'équation

pour î = i, 2, 3, 4-

Cet abaque rentre lui-même dans le type ici étudié. Il suffit, en eiïet, d'écrire l'équation précédente sous la forme

loga = loga'-t- i logm,

abaque, analogue à celui qui va être décrit, et correspondant à l'équation

z'*—z'3+ n'zn-{ p'z'-r q'= o.

Cet abaque servirait notamment à obtenir les valeurs absolues des racines négatives des équations pour lesquelles le coefficient m est positif. 2° Pour le cas où m = o, on pourrait construire aussi l'abaque de l'équation

zi -i- nz2-t- pz -h q = o,

mais la résolution d'une telle équation se ramène immédiatement à l'emploi àr l'abaque décrit ci-dessus, au moyen de la transformation z' = z ±i.

(') La simple inspection de la figure montre que la portion tracée des courbes {n) comprise entre les axes n'est jamais coupée par une droite en plus de trois points, c'est-à-dire qu'aucune des équations représentées n'a plus de trois racines positives, ce qui est évident a priori, attendu que, le coefficient de z3 dans ces équations étant égal à i, la somme des racines est égale à — i, ce qui exige que l'une au moins d'entre elles soit négative.

Fig. i5o.

ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 33o,

pour voir qu'elle est représentable au moyen des deu\ systèmes de points à une cote

(a) w = /tloga,

(ni) v — — l2 logm,

et le système de points à deux cotes

l-i u -+- li iv — lx l2 loga' = o, ou

/t/aloga^ ^ lti -h l2'

Prenons /t = /2- Les échelles (a) et (m) sont alors des échelles logarithmiques de même module portées en sens contraires sur Ait etBp. Les lignes (i) sont des parallèles à ces axes définies par

c'est-à-dire déterminant sur AB une échelle segmentaire, et les lignes (a'), dont l'équation s'obtient par l'élimination de i entre les expressions cidessus de x et y, sont définies par

(a') ioljt = lx loga'(ô — x).

Ce sont des droites et l'on voit, en faisant x = o et x = — o, que la droite cotée a' joint l'origine B de l'axe Bv au point coté a de l'échelle portée sur A u.

Cet abaque, où il suffit de donner à i les valeurs i, 2, 3, 4? est donc très simple à construire (fig. i5i). Au lieu d'inscrire à côté des verticales les valeurs de î, on y a inscrit la désignation des variables correspondantes. En outre, on a, à côté de l'échelle de gauche, inscrit les désignations des diverses variables auxquelles se rapporte cette échelle, c'est-à-dire qui ont été représentées en bloc par la variable a dont on s'est servi pour la construction ( l).

Le procédé à suivre pour la résolution d'une équation du quatrième degré est alors le suivant : Faisant passer l'index, sur l'abaque de la fig. i5i, par le point m de l'échelle de droite, on le fait pivoter autour de ce point pour prendre successivement les points n: p, q de l'éc/ielle de

(x) Au lieu de construire les radiantes qui figurent sur cet abaque auxiliaire, on peut recourir à un pivotement de l'index, comme pour l'abaque des intérêts composés (fig. i38). Pour avoir n', par exemple, ayant fait passer l'index par les points m et n, on le fait pivoter autour de son point de rencontre avec la verticale (n') jusqu'à ce qu'il passe par le point z de l'échelle (ni). Il donne alors la valeur de n' sur l'échelle (n).

gauche. Ces diverses positions de V index coupent respectivement les échelles (n'), (/>') et (q') en des points dont les cotes font connaître n\ p', q'. Celles-ci, transportées sur l'abaque de la fig. i5o, font connaître les racines z . En faisant passer alors sur la fig. i5i l'index,

Fig. i5i,

(\fl -

\ri

^ÔDX^ ^.

ET

îr-0.01

o,oo5-;

pivotant toujours autour du point m, par les points de V échelle (z' ) cotés au moyen des valeurs de ces racines, on obtient les racines z demandées sur l'échelle de gauche.

Soit, par exemple, à résoudre l'équation

Les trois traits mixtes (I), (II) et (III) qui sont marqués sur la fig. i5i montrent que, si l'on réduit le coefficient du second terme à l'unité, les trois autres coefficients deviennent respectivement, en valeur

ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 34 f

absolue, 4, 2 et 5. On a donc à résoudre, au moyen de l'abaque de la ////. i5o, l'équation

Le trait mixte marqué sur cette figure et qui unit les points p—>, q = — 5, coupe la courbe n — 4 tout près de la verticale z = 0,8, mais un peu en avant. Nous aurons donc pour cette dernière équation

Le trait pointillé (IV) de la fig. i5i montre que la valeur correspondante de z est

comme d'ailleurs, dans ce cas particulier, on le vérifie immédiatement par le calcul.

On pourrait construire des abaques analogues pour l'équation du cinquième degré puisque, comme l'on sait, une telle équation peut toujours, par une transformation appropriée, être mise, suivant le cas, sous l'une des formes

zs -4- n c-2 -h p z h q = o,

-35 H- ^3 -h nz- -4- pz -H q — o.

127. Droites à doubles enveloppes. — Les équations appartenant au type (E) du n° 121, c'est-à-dire

(E) fi(*i)fi(**, ?s )+/»(**) ?(*»» P»)4- <|>a(as, P«) = o,

auquel se réfèrent les divers exemples précédents, peuvent être effectivement représentées suivant le mode corrélatif dérivant de l'emploi de la méthode cartésienne, ainsi que la remarque nous en a été faite par le P. Poulain ('). Si nous posons (2), en effet,

(>) # = Ji/i(«i), y = h f *(**)>

(') Dans une Lettre en date du 16 octobre 1891.

(2) On aperçoit immédiatement la généralisation suivante : si l'équation donnée était de la forme

/(aiva2)/3(a3i Ps) + ?(*n *a)?8(«8i Pa » + 4*3 («si Ps) = "•

on poserait encore

x — J,/(ana2), y = /, 9 (a,, a,),

ce qui déterminerait le point à deux cotes (a,, a,) p;ir un réseau dont les deux systèmes constituants seraient définis par l'élimination successive de a, et de a, entre les expressions de x et de y.

nous définissons un point à deux cotes, a, et a2, qui doit se trouver sur la droite

# Va (as, h) + yh TsOs, £3) + ^i ^(«a, Pa) = o,

droite que nous pouvons appeler A et dont, pour plus de simplicité, nous représenterons l'équation ci-dessus par

Si l'on donne à a3 une valeur constante, cette droite a une enveloppe C^, dont l'équation s'obtient par l'élimination de [33 entre l'équation (2') et sa dérivée prise par rapport à £}3 ou

A(33(a3, Pa) = 0. '

On peut ainsi construire les enveloppes £aa correspondant aux diverses valeurs de a3.

De même, l'élimination de a3 entre l'équation (2') et

permettrait de construire les enveloppes £p3 correspondant aux diverses valeurs de p8.

On voit, dès lors, que l'équation (E) ci-dessus exprime simplement qu'une tangente commune aux courbes 6a3 et £p3 passe par le point (an a2).

Fig. i52

JC--

L'abaque comprendra (fig. 102) : ,i° le réseau des parallèles

ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. .l.j.i

aux axes, défini par les formules (i) et servant à déterminer les points (a,, ou); 2° le système des enveloppes £ag; 3° eelui des enveloppes £« .

Si, par exemple, a,, ou, a3 étant données, on veut avoir j}3, on fait passer par le point (a,, a2) un index, posé sur V abaque, que Von amène à être lange/ht à l'enveloppe Ca , et on lit la cote de V enveloppe Cp3 qui se trouve en contact avec cet index.

La lecture d'un tel abaque, si les deux systèmes C^ et ^b3 sont effectivement composés de courbes, sera généralement moins nette que celle d'un abaque à points alignés. 11 est toutefois des cas où les enveloppes de l'un des systèmes se réduisent à des points et où, par suite, l'abaque gagne en netteté.

Soit, par exemple, l'équation complète du troisième degré

Posons

x=lp, y = lq,

équations qui définissent un quadrillage régulier parallèle aux axes. Il vient ensuite

xz H- y -f- l(zz-r- n z2) = o.

Lorsque laissant n fixe, on fait varier z dans cette équation, on obtient une enveloppe Cn dont l'équation peut s'écrire immédiatement, puisque c'est la condition pour que l'équation ci-dessus ait une racine double en z.

La voici :

27 ly2 -f- 4-r3 H- n{\ Ji- l2y — nlx2 — 18 Ixy) = o.

Cette équation définit des cubiques cuspidalcs (unicursales, de la troisième classe) passant par l'origine, où elles sont tangentes à Ox.

Quant aux enveloppes £-, obtenues en faisant varier 11 dans l'équation ci-dessus, z restant fixe, on voit, puisque dans ces conditions la droite correspondante reste parallèle à une direction fixe, qu'elles se réduisent à des points à l'infini.

Pour une direction donnée, la valeur de z est le coefficient angulaire changé de signe. On pourra donc définir ces diverses directions au moyen d'un transparent sur lequel seront marquées, en outre des axes O'x' et O'y, des droites issues de l'origine et cotées au moyen de leur coefficient angulaire changé de signe.

L'usage de l'abaque sera alors le suivant :

Les axes O'x' et O'y' étant maintenus parallèlement à Ox et Oy, on place l'origine O' du transparent en coïncidence avec le point (/?, q) du quadrillage de l'abaque. Les racines z de l'équation sont alors les

cotes des droites du transparent qui se trouvent en contact avec la courbe cotée n (l).

128. Trajectoires des contacts. — Reprenant l'abaque général du numéro précédent, choisissons une des enveloppes Ca et menons les tangentes communes à cette courbe et à chacune des enveloppes <^a3. Le lieu des points de contact de ces tangentes el des courbes C^3 sera une certaine courbe G>p3 qui pourra être dite trajectoire des contacts (33 pour le système (a3).

L'équation de cette trajectoire est bien aisée à obtenir; elle résulte simplement de l'élimination de a3 entre les équations' (2') et (3) du numéro précédent. En effet, ces équations sont celles de deux droites passant par le point de contact de la droite (a3, (33) avec son enveloppe Ca?. Par suite, l'élimination de a3 donne bien le lieu de ce point correspondant à une valeur fixe de [j3.

Fi

0' 23-.56789 10 (Xx)

Cette trajectoire £« étant tracée et cotée au moyen de la va-

(') Pour éviter l'usage du transparent, on pourrait appliquer une transformalion homographique ramenant à distance finie la droite de l'infini de l'abaque ci-dessus, celle, par exemple, qui est définie par les formules

et qui fait correspondre à la droite de l'infini la droite y' = a. Aux différentes valeurs de z correspondraient alors des points cotés sur cette droite. Le réseau (/>, q) serait constitué par des droites (p) issues du point x' = o, y' — a, et des parallèles (q) à Ox, et l'on aurait les racines de l'équation en lisant les cotes des points où un index, passant par le point ( p, q), viendrait couper la droite y' = a, lorsqu'il aurait été amené à être tangent à la courbe cotée (n).

leur correspondante de (33 pourra, au point de vue de l'usage de l'abaque, remplacer la courbe Cpa, qu'il n'y aura partant pins besoin de tracer. L'emploi de l'abaque sera alors le suivanl {fig. i53) :

Etant données a,, a2, a3, on fait passer par le point (a,, tx2) du quadrillage un index quon amène à être tangent à la courbe (a:}). La cote de la courbe (j33) passant par le point de contact fait connaître la valeur de p3 cherchée (').

Le principe de ce mode de représentation nous a été, sous forme de l'exemple particulier cité pins bas, communiqué par M. B. Paladini.

Suivant que les courbes £p8 ou les courbes (?p3 seront plus simples à construire, on aura recours aux unes ou aux autres. Par exemple, clans le cas de l'équation complète du troisième degré, traité à la fin du numéro précédent, les courbes Cz se réduiraient à de simples points, tandis que les courbes (Bz seraient assez compliquées. Voici, par contre, un exemple, celui même que nous devons à M. Paladini, où l'emploi des trajectoires o comporte une réelle simplification. Il s'agit de l'équation

([) il sin(a -h w) -f- m sinto — sina — o,

rencontrée par M. Pesci dans son Mémoire sur la Cinématique navale cite plus haut (2), et qui sert à déterminer w en fonction de m, n et a. Si nous posons, en appelant l un module quelconque,

(2) x = Im, y = In,

nous avons les droites à doubles enveloppes C% et CM} définies par lé quation

(3) y sin(a -(- tu) -\- x sina) = Zsina.

La dérivée de cette équation, prise par rapport à 10, est ( 4 ) y cos ( y. -r- w ) H- X COS (O = o.

Retranchant cette équation, multipliée par sinco, de la précédente, mul-

(') Il convient de remarquer qu'un tel abaque ne se prête pas également bien, comme les précédents, au choix de l'une quelconque des variables comme inconnue. Si, par exemple, c'est a3 que l'on cherche, il faut trouver la courbe a„ dont la tangente, en son point de rencontre avec la courbe £3, passe par le point ( an x2 ). ce qui ne peut se faire que par tâtonnement. Il est vrai que, dans un grand nombre de cas de la pratique, c'est toujours la même variable qui est prise pour inconnue.

(2) Note au bas de la page 3ao.

lipliée par costo, nous avons, après suppression du facteur commun sina,

(5) y — /cosw = o.

L'élimination de «, par addition des carrés (3) et (4), donne

(6) x2 -+- y- -\- ixy cosa — l'1 sin2a.

Telle est l'équation des enveloppes Ca, qui sont des coniques faciles à construire, comme on le verra plus bas.

On trouverait de même pour les enveloppes £w un autre système de coniques. Mais l'élimination de a entre (3) et (4), qui se trouve effectuée dans (5), fait connaître les trajectoires Gw, et l'on voit, d'après (5), que ce sont des droites parallèles à Ox. Il sera donc plus simple ici de recourir à ces trajectoires plutôt qu'aux enveloppes £w.

Pour construire les ellipses Ca, il suffit de remarquer que, si l'on prend pour axes de coordonnées les bissectrices 0^ et OjKi des angles des axes primitifs, l'équation (6) devient

il'2 sin2 - su2 cos,2 -

Autrement dit, si, sur le cercle de centre 0 et de rayon ly2, on prend le

point A tel que jKiOA = -, les demi-axes de l'ellipse £a sont les projections de OA sur O^i et OjKi.

Quant aux droites fêw, on peut les prendre superposées aux droites cotées n, leur cote co étant donnée par celle du point où elles rencontrent le cercle de rayon //qui n'est autre que Cn\ gradué comme un rapporteur

à partir de Ox.

En pratique, m et n varient de o.i en o,i entre o et 2, a entre o° et 1800, et a* entre o" et 36o°.

129. Abaques à équerre pour la résolution des équations complètes du troisième et du quatrième degré. — Ayant, aux n0s 125 et 127, décrit des abaques pour la résolution de l'équation complète du troisième degré, nous croyons devoir signaler ici un ingénieux procédé imaginé par M. Massau (l), en vue du même problème, et que nous avons nous-même simplifié.

Ce procédé, déduit par son auteur de considérations de Géométrie dans l'espace, interprétées par la Géométrie descriptive, consiste en ceci :

Etant tracées' sur un quadrillage régulier de module / les droites (z) définies par l'équation

lz- -h zx -r- y = o,

(') Mémoire sur l'intégration graphique, liv. III, Ch. III, n° 185.

on déplace une équcrre dont le premier côté passe constamment par le point (n — q,p) du quadrillage, c'est-à-dire par le poinl

x=l{n — q), y — lp,

et dont le sommet décrit la verticale cotée n ou

jusqu'à ce que le second côté de cette équerre coïncide avec une des droites (z). La cote de celle-ci est alors une racine de l'équation

pz -: q = o.

En effet, appelant y) Yy du sommet de l'équerre, on voit que l'on a

d'abord

Iz9- -+- ;//« -4- 7) = o;

puis, la droite cotée z étant perpendiculaire à celle qui joint le poinl x = l(n — q): y = Ip au point x = //*, jk = "*), on a aussi

L'élimination de 7j entre ces deux équations donne bien l'équation complète du troisième degré ci-dessus, ce qui justifie le procédé.

Les simplifications dont ce procédé est susceptible sont les suivantes : i° Si l'on prend les points d'intersection des droites (z) avec Ox, on

obtient les points

c'est-à-dire que la cote d'une droite z est celle du point où elle rencontre V échelle régulière portée sur Ox, changée de signe. 9° L'enveloppe des droites (z) étant la parabole

x- — 2 ly = o,

il suffit de tracer cette parabole P (fig. t 54) pour n'avoir pas à tracer l< îs droites (z).

L'abaque se réduit alors à un quadrillage régulier dont les axes Ox et Oy sont gradués et sur lequel est tracée la parabole P. Son usage se réduit à ceci : On déplace une équerre dont le sommet décrit la verticale cotée n (le long de laquelle on peut placer une règle) et dont un côté passe par le point (n — q, p) (sur lequel on peut placer une pointe fine) jusqu'à ce que son second côté soit tangent à la parabole P. La cote changée de signe du point où ce côté coupe Ox est une racine de V équation proposée.

On voit qu'il suffit, dans l'équation du système des droites (z), de remplacer z*1 par z* H- mz*, pour avoir un abaque de l'équation complète du

quatrième degré

zk -h mz* -h nz* -+-pz-+- q = o.

A chaque valeur de m correspond, bien entendu, une courbe enveloppe Cm analogue à P. Il n'y a qu'à tracer le système de ces courbes sur le quadrillage régulier pour que l'abaque se trouve construit.

Seulement ici les valeurs de z ne devront plus être inscrites sur l'axe Ox, puisque les cotes des points où cet axe est coupé par la droite

/ ( ^3 -h ?nz2 ) -+• zx -h y — o

ne sont pas les mêmes suivant la valeur de m. Ces valeurs de z pourraient être données par le coefficient angulaire de la droite correspondante changé désigne. On pourrait aussi recourir à l'emploi des trajectoires de contact 1sz (n° 128). En effet, le lieu des points de contact des enveloppes Cm avec les droites correspondant à une même valeur de z est une courbe dont l'équation s'obtiendra, comme on l'a vu au n° 128, en éliminant m entre l'équation ci-dessus et sa dérivée, prise par rapport à z. Ici, l'équation et sa dérivée étant linéaires en m, x et y, on voit que ces trajectoires (?- seront des droites.

On trouvera plus loin (142, 2°) un autre type d'abaque pour l'équation complète du quatrième degré.

130. Abaques à trois dimensions. — Bien que cela s'écarte un peu de notre sujet, qui vise la représentation plane des équations, c'est ici le lieu de faire connaître une curieuse extension à l'espace du principe des points alignés dont M. A. Adler (') d'une part, M. R. Mehmke (2) de l'autre, ont eu séparément l'idée.

Si nous reprenons les exemples donnés dans les deux derniers numéros, nous voyons que des équations de la forme

/i (*)-*- nfi(x) -*-pM*)-*-qA<*)

(') Wiener Berichte, t. XGXIV, 2e section, p. ^o^.

(-) Zeitschrift fur Mathematik und Physik, t. XLIII, p. 338.

ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 34g

ont été représentées par l'alignement des points ù une cote </?) u- /,/>,

et du point à deux cotes

(n, z) ultMz)+-vliMz)+ lik[fi(z)-hnfi(z)] = o.

Si nous prenons maintenant un système de coordonnées parallèles dans l'espace (»). nous voyons que l'équation (i) exprime que le plan dont les coordonnées sont

(n)' u — lx n.

(pï t> = î.2p,

passe par le point M dont l'équation est

< ^ )' Ulthft{z)-^r Vhhf*(z) -4" Wl\ lïfk(z)-\- hlthfx(z) = O.

Ce point a pour projection, parallèlement aux axes Aw, Bv, Cw, sur le plan ABC des origines, le point m, barycentre des points A, B, G respectivement affectés des coefficients l%hf%{z)t hhf${z), l\l-if\(z), et sa distance mM à cette projection, comptée parallèlement aux axes, est

mM= -hhhfM

hhft(z)+ hhfz{z)+ hhfk(z)

Lorsqu'on fait varier z le point ni décrit sur le plan ABC une certaine courbe y et le point M engendre, sur le cylindre qui passe par cette courbe y et a ses génératrices parallèles aux axes, une courbe Y sur laquelle on peut marquer un certain nombre de ses positions en inscrivant à côté les valeurs de z correspondantes. On obtient ainsi le système des points cotés (z) de l'espace, distribués sur une certaine courbe gauche Y.

Dès lors, pour avoir les valeurs de z correspondant à des valeurs données de n, p, q, il suffit de couper la courbe Y par le plan déterminé par les points cotés n, p, q respectivement sur les axes A m, Viv. Gw, et de lire les cotes des points ainsi obtenus sur Y.

Pour réaliser le plan {n, py q) dans l'espace, on peut tendre un fil entre les points n et q de A u et de Gw, et amener un œilleton o, fixé à un curseur c mobile le long de Bp, en coïncidence avec le point/). En regardant alors par cet œilleton on lit les valeurs de z aux points où le fil semble couper la courbe Y.

(l) Les coordonnées parallèles de l'espace ont fait, de la part de M. II. Heddaeus, l'objet d'une dissertation inaugurale pour le doctorat en 1889, devant l'Université de Marbourg, sous le titre : Théorie uncl Anwendung eines besonderen Ebenencoordinatensy stems .

La Jig. i55 représente l'instrument construit, d'après ce principe, par M. Mehmke pour la résolution de l'équation complète du troisième degré

\- pz -h q = o.

Si l'on suppose l'équation pourvue d'un terme de plus

on peut, pour chaque valeur de m, traiter l'équation comme il vient d'être dit. A chaque valeur de m correspond ainsi une courbe Y qui peul être cotée au moyen de cette valeur de ni. Les diverses courbes gauches T

Fig. i55.

ainsi obtenues et qui constituent le système (ni) sont, d'ailleurs, toutes situées sur un même cylindre, attendu que la courbe *(, projection de T sur ABC, ne dépendant que des trois derniers termes de l'équation, est la même quel que soit m. On pourra donc les tracer toutes sur ce cylindre en marquant également les génératrices de ce cylindre correspondant aux diverses valeurs de z. Pourvu alors que le cylindre soit constitué par une matière transparente, comme le celluloïd, à travers laquelle on pourra, de l'œilleton, voir le fil tendu, on aura le moyen d'obtenir les valeurs de z correspondant à des valeurs données de m, n, p, q. Un tel abaque pourrait être construit pour l'équation complète du quatrième degré.

G. — Élé

ME NT S \ Il COTES,

131. Définition des éléments à n cotes. Échelles multiple*. — On a va (n° 115) que les éléments, lignes on points, à deux cotes se définissaient au moyen d'un réseau constitué par deux svstèmes de lignes à une cote. Rien n'empêche de munir à son 'tour l'un de ces deux systèmes, ou même les deux, d'un réseau de doubles cotes, et de continuer de même pour les systèmes constituant les nouveaux réseaux introduits. La répétition de cette opération permet, comme on voit, de multiplier autant qu'on le veut, théoriquement du moins, le nombre des cotes afférentes à un système quelconque d'éléments donnés.

La fig. 1 56 donne, par exemple, la représentation schématique

Fig. i56.

d'un système de courbes G à quatre cotes a, (3, y, o. La courbe C correspondant à un système de valeurs des quatre variables est celle qui passe par le point de rencontre de la courbe (a, (3) et de la courbe (y, S). Et l'on voit que, si la courbe G est connue ainsi que trois de ses cotes, la quatrième s'en déduit immédiatement. Dans le cas où les courbes G deviennent des droites parallèles, ces droites déterminent, sur un axe quelconque perpendiculaire à leur direction, une échelle dont les divers segments, comptés à partir d'une origine arbitrairement choisie, se trouvent être fonctions des cotes afférentes à ces parallèles. On obtient ainsi

des échelles multiples, dont l'idée, sous la forme particulière

indiquée ci-dessous, est due à M. Lallemand.

Considérons un système de parallèles à Oy tracées à travers

un réseau (a, [3) (ftg- i 07), c'est-à-dire définies par une équation

de la forme

a?= tp(a, P),

et un système de radiantes issues de l'origine, et tracées à travers

Fig. 167.

un réseau (y, 0), c'est-à-dire définies par une équation de la

forme

Y - #<Ky, s)-

On aura, dès lors, pour les parallèles à O x passant par les points de rencontre des droites des deux premiers systèmes, l'équation

Ces parallèles donneront donc sur Oy une échelle multiple, celle de la fonction de quatre variables dont l'expression est fournie par la dernière formule.

Faisant coïncider de même l'axe O x' d'un nouveau système de radiantes à deux cotes £ et r\ avec l'axe Oy de l'échelle précédente, on voit qu'on obtient, pour les parallèles à cet axe, une

équation de la forme

et ainsi de suite.

Si, au lieu de radiantes issues de l'origine, on avait, sur le réseau (y, 8), tracé des droites appartenant à un système simplement infini quelconque, leur équation eût été de la forme

et l'échelle multiple le long de Oy aurait représenté une fonction de la forme

Il est inutile d'insister davantage sur ce sujet. Nous nous contenterons d'indiquer un exemple dû à M. Lallemand et appartenant à la catégorie des abaques hexagonaux.

132. Exemple : Abaque de la déviation du compas. — La déviation du compas d'un navire, variable avec la position de celui-ci à la surface du globe, est donnée par la formule (])

8 = A -+- m sin Ç -+- n cos Ç -+- B sinsÇ -h Q cos 2£5

où Ç est le cap du compas, m et /i des fonctions de la longitude L et de la latitude /, qui seront définies plus loin; A, B, G des constantes pour le navire donné.

Les coefficients m et n étant des fonctions de L et de l peuvent être représentés par des échelles binaires que nous désignerons parm(L, /)et 71 (L, l).

(') Cette équation peut être représentée plus simplement par la méthode des

points alignés au moyen de deux systèmes de points condensés et d'un système

de points ordinaires à deux cotes.

Il suffit, pour le voir, de poser

v — lxn.

Les quantités met n étant fonctions de L et de /, les formules définissent deux systèmes de points condensés, aux cotes L et l, déterminés le long de Au et de Bp par des échelles binaires (Rem. du n° 121, p. 324).

On a, en outre, pour l'ensemble des variables 6 et Ç les points à deux cul es définis par l'équation

l2u sinÇ-f- /,pcosÇ + /, J2(A H- B sinaÇ -+- Ccos2Ç — o ) = o.

Ces points sont déterminés par un réseau (Ç, 8) dans lequel les lignes l ". ) -;ont des droites parallèles aux axes Xu et Bc.

Si maintenant nous posons

o' — m(L, l) sin Ç,

nous voyons que nous n'aurons qu'à combiner, ainsi qu'on l'a vu au numéro précédent, l'échelle binaire

avec les radiantes

y — x' sinÇ,

pour obtenir l'échelle ternaire

y = m(M) sinÇ = 8'(L,J, Q.

De même, si nous posons

o" = /i (L, /) cosÇ + A + B sin2^ -h G COS2Ç, nous n'aurons qu'à combiner l'échelle binaire

avec les droites cotées (£) définies par l'équation

y = a?" cos Ç -t- A -h B sin 2 Ç -t- G cos 2 Ç, pour obtenir l'échelle ternaire

y" = n(L, l) cosÇh- A-t-Bsin2Ç + Gcos2Ç= 8"(L, /, Ç): et, puisque

il suffira que les échelles ternaires o'(L, /, Ç) et o"(L, /, Ç) soient accolées à deux, des axes d'un abaque hexagonal pour que les valeurs de 0 soient données par une échelle régulière portée sur le troisième axe (n° 33).

Reste à voir comment on pourra construire les échelles binaires m(L, /) et /i (L, l). On a

m = arc si

"•[x('ung8H"ï)(,+;"n'B)]>

in [I (/tangO + §)(,-! sin B)],

n — arc si

formules où tout est constant, sauf l'inclinaison magnétique 6 et la composante magnétique horizontale H, fonctions l'une et l'autre de L et /. Pour construire l'échelle binaire de m

nous pouvons prendre pour lignes cotées L les parallèles à l'axe des x'

pvo.v sopTi)!)e7

SSpnfjfB'J

Reste à tracer les courbes cotées (l). Nous nous servirons pour cela des planisphères terrestres sur lesquels sont marquées les courbes, obtenues par l'observation, le long desquelles 6 d'une part, H de l'autre, ont une valeur constante. Pour avoir la courbe cotée / il suffit, pour diverses valeurs de L ou y', associées à cette valeur de /, d'avoir les valeurs correspondantes de m ou x'. Or rien n'est plus simple, attendu que pour un couple de valeurs de / et L le planisphère dont il vient d'être question donne les valeurs de 0 et H qui, portées dans l'expression de m écrite plus haut (et que l'on peut, au besoin, traduire par un abaque) font, à leur tour, connaître m.

De même pour l'échelle binaire de n.

C'est ainsi qu'a été construit l'abaque de la fig. i58, dû à M. Lallemand, qui se rapporte au navire le Triomphe, pour lequel les constantes cidessus ont les valeurs

o, io6,

— o,oi3,

Pour plus de netteté dans l'échelle ternaire de o", on n'a fait varier le cap du compas que d'une demi-circonférence. Afin donc d'avoir la valeur de S" correspondant à toutes les valeurs de Ç, on a dû répéter deux fois l'échelle binaire de n ('), l'une de ses positions correspondant à la graduation du demi-rumb nord, l'autre à celle du demi-rumb sud.

En résumé, ayant pris dans l'échelle de V (indiquée sur la figure par le chiffre I) le point de rencontre de la droite £ et de la parallèle au premier axe passant par V intersection de la droite h et de la ligne l, et dans V échelle de o" (indiquée par le chiffre II), le point de rencontre de la droite Ç et de la parallèle au second axe passant par V intersection de la droite L et de la ligne l (en tenant compte du demi-rumb où se trouve le compas), il suffit de faire respectivement passer par ces deux points les deux premiers index du transparent convenablement orienté pour que le troisième donne sur le troisième axe, qui porte V échelle de la déviation, la valeur de o.

On a indiqué en pointillé sur la figure les positions de ces index pour l'exemple numérique suivant :

/ = 4'2°N, L = 2o°0, Ç = 4i°,5. L'abaque donne alors

(*) Afin de faciliter la lecture, on a, sur l'échelle binaire de m, qui est, en somme, un planisphère anamorphose, fait figurer les contours des continents. On s'est dispensé de le faire sur l'échelle binaire de /?, parce qu'il en serait résulté une certaine confusion dans le dessin.

ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 35j