II. — Systèmes mobiles
A. — Systèmes divers a translation et a rotation.
133. Systèmes à translation. Règles à un tiroir. — Nous avons eu, dans l'application de plusieurs des méthodes précédentes, à nous servir de transparents mobiles à un, deux ou trois index (nos 13, 18, 31, 56). On conçoit a priori qu'on pourra donner une nouvelle extension à la représentation plane des équations à plusieurs variables par l'emploi non plus seulement d'index mobiles, mais de systèmes cotés mobiles mis dans certaines relations de position avec les systèmes cotés d'un plan fixe (*). C'est un sujet qui sera approfondi plus loin (nos 144 et 145). Avant de l'aborder dans toute sa généralité, nous voulons en indiquer divers cas particuliers plus spécialement dignes d'attention au point de vue pratique.
Le cas le plus simple est celui d'un système mobile dont les déplacements se bornent à des translations parallèles à une direction fixe.
Considérons trois axes parallèles Ç)KxK, 02#2> 03.T3 tels que celui du milieu puisse glisser entre les deux autres {fig- 1 09). Si
Fig. i5g.
; (Xi) n ,' ' ' ' ' ' '; ' ' ' ' ■ ' ' ' ' ' ' ' r.
(Cta)
! I I I I I I JC'3
l'origine 02 est amenée en face du point d'abscisse xK et si le point d'abscisse œ2 vient alors en face du point d'abscisse x3, on a
Si les trois axes portent respectivement les échelles définies
C1) On a déjà, incidemment, rencontré dans ce qui précède quelques exemples de systèmes mobiles (nos 14, 18, 55, 127).
par
^3= lfz(*s),
on aura donc
/i(ai)+/2(a2)=/3(a3)-
De là un mode de représentation nouveau pour les équations de cette forme, que nous avons déjà rencontrées aux noS 26, 28, 32 et 66.
On pourra réaliser matériellement l'abaque correspondant en gravant les échelles (a,) et (a3) sur la face supérieure d'une règle dans laquelle on engagera un tiroir à glissière portant l'échelle (a2). On retrouve ainsi le type d'instrument connu sous le nom de règle à calcul.
La plus simple de toutes est celle qui permet d'effectuer la multiplication en traduisant l'équation de cette opération mise sous
la forme
loga3= loga!+ loga2.
Comme ici les échelles (a, ) et (a3 ) sont identiques, on peut les supposer confondues. La règle à calcul ainsi obtenue, qui se trouve aujourd'hui entre les mains de tous les ingénieurs, est d'un usage trop courant pour que nous croyions devoir nous y arrêter davantage (1); il nous a suffi de faire voir comment elle peut se rattacher à la théorie générale des abaques.
Parmi les équations du type voulu, on peut encore citer celles qui se rencontrent dans le calcul des profils de remblai et de déblai lorsqu'on les a mises sous la forme logarithmique (n°104).
(l) Rappelons que Je principe de la règle à calcul fut proposé par Wingate dès l'époque où Gunter imagina la construction des échelles logarithmiques, soit tout au début du xvme siècle. L'usage de la glissière, introduit par Seth Partridge (1671), fut réinventé par Leadbetter (1750). C'est vers i8i5 que les frères John, de Soho, firent de la règle à calcul l'objet d'une fabrication courante. Introduite, en France par Jomard en 182 1, cette règle y fut construite par Lenoir, qui la perfectionna dans ses détails, ainsi que ses successeurs, Gravet-Lenoir et Tavernier-Gravet. M. Péraux en a fait connaître diverses variantes possédant des avantages spéciaux. Le ruban calculateur du marquis de Viaris en est un ingénieux dérivé. M. Gros de Perrodil a consacré une brochure à la Théorie de la règle logarithmique ( Gauthier-Villars, i885). On doit aussi à M. Labosne une Instruction sur la règle à calcul, qui contient toutes les indications de
ÉQUATIONS A PLUS DE TROIS VARIABLES. 35g
Une règle pour ce genre d'application a été construite par M. Toulon ('), une autre par M. Paulin ('-).
De même qu'on l'a vu à propos d'autres types d'abaques, les échelles d'une règle à calcul pourront, le cas échéant, être fractionnées. En voici un exemple bien simple :
Supposons que la partie utile Oxx^ de l'échelle (a,) déborde sur la partie utile de l'échelle (a3) {fig. 160). A partir de la per-
Fig. io\>.
O1 i ' i i i i i i i i i i i i ia;
0 , i \ Al| 1 1 l l 1 1 ' i„| l 1 1 1 l 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 je ,
pendiculaire à 0,.#, menée par 03, reportons en O', A', la portion 0\ A, de l'échelle (a,), et fixons au tiroir un index O', dont la distance au trait origine 02 de l'échelle (a2) soit précisément égale à O, A,. Il est bien clair que lorsque le trait 02 marquera sur O, A, le point affecté d'une certaine cote a,, l'index 0[, marquera sur O, A\ le trait affecté de la même cote. On pourra donc supprimer la portion O, A, de l'échelle (a,) en la remplaçant par 0'4 Af de façon à limiter les deux échelles (a<) et (a3), portées par la règle, à une même perpendiculaire à la direction de cetle règle.
Lorsque le trait 02 se trouvera engagé entre les échelles de la règle, on se servira de ce trait pour prendre le point a, sur la portion A4 xK de l'échelle correspondante. Lorsque le trait 02 se trouvera en dehors des échelles de la règle, c'est avec l'index 02 qu'on prendra le point a, sur le segment O^A',.
détail relatives à son emploi. On trouvera à ce sujet quelques détails dans notre brochure 0.8, p. 52 à 06.
Enfin un nouveau modèle de règle à calcul, construit également par la maison Tavernier-Gravet, a été proposé en ces derniers temps par AI. V. Beghin, qui a rédigé sur ses nombreux usages une brochure très intéressante.
Il convient aussi d'observer que le même principe théorique peut encore être appliqué au moyen de la rotation relative de cercles concentriques munis des mêmes graduations que les règles et leurs tiroirs. Ce dispositif, adopté dès 1 par Oughtred, se retrouve dans divers instruments modernes, comme ceux de M. John Fuller (Computing telegraph) et de M. Boucher {cercle a calcul).
(') Voir le Cours de Routes de M. Durand-Claye ( >' édition, p. 56i).
(-) Portefeuille des conducteurs des Ponts et Chaussées, t. XXI, p. i33; [889
36o CHAPITRE V.
Il est bon d'ailleurs d'observer que, dans beaucoup de cas, les traits de la portion 0< At prolongeront exactement ceux de la portion K^xK qui pourront dès lors servir à définir la seconde partie de l'échelle, pourvu qu'ils soient munis d'une seconde chiffraison (' ).
On peut, bien évidemment, remplacer les trois échelles simples (a(), (a2) et (a3) du numéro précédent par des échelles binaires (<Z|, Pj), (a2, (32), (a3, (33). On a ainsi, au moyen d'une règle portant les échelles (a4, J3(), (a3, fJ8) et munie d'un tiroir portant l'échelle (a2, [32), ia représentation de l'équation
/l(«l,Pl)+/t(««,.P.)=/.(«»,.P8).
Pour mettre en correspondance les points de l'une à l'autre échelle, on peut avoir recours soit à une équerre dont un bord est mis en coïncidence avec un bord de la règle, soit à un curseur portant un index perpendiculaire à la direction de la règle et qui se déplace le long de cette règle.
134. Règles à plusieurs tiroirs. — Au lieu d'un seul tiroir, on peut munir la règle de plusieurs tiroirs glissant les uns contre les autres {fig. 1 6 1 ). Si la règle porte les échelles (a<) et (a„)
définies par
a?i = lf\ («i)>
et si les divers tiroirs portent les échelles
xt = //2(a2), &3 = lfi(**),
Vn-\— lfn-l(<*n-l),
( ' ) La règle à calcul fractionnée, imaginée et réalisée dès i85r par le lieutenant Mannheim (depuis lors colonel), a, dans la suite, été, sous des formes diverses, réinventée par divers auteurs, notamment par MM. Everett ( Universal proportion Table), Scherer {Bechentafel), Derivry {Carte à calculs), Thacker et Billeter ( Cylindres à calcul). Afin de donner à un tel instrument de calcul un grand développement sans avoir recours au fractionnement, le professeur Georges Fuller, de Belfast, l'a enroulé sous forme d'hélice (Spiral slide rule; voir notre brochure 0.8, p. Go). Les trois derniers instruments cités réalisent des sortes d'abaques à trois dimensions. D'après M. Favaro, la première échelle hélicoïdale aurait, dès i65o, été construite par Milburne.
on voit que si l'on arrête l'origine 02 en face du point a,, G-, en face du point ou, . . . , Ow 1 en face du poinl a„ 2j et si le point OLn-\ se trouve alors en face du point aw, on a
On obtient donc ainsi un nouveau mode de représentation des équations déjà envisagées au n° 37.
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On pourra, bien évidemment aussi, comme dans le cas précédent, remplacer une ou plusieurs de ces échelles simples par des échelles binaires.
Exemple : Règle à calcul pour la traction d'une locomotive. — Si v représente la vitesse en kilomètres par heure, q le poids en tonnes de chaque véhicule remorqué, a l'inclinaison de la voie sur l'horizon, le nombre n des véhicules que peut remorquer une locomotive de type connu est donné, d'après M. A. Frank, par la formule
A + B P^ + C — D sin a
Eq -+- ¥ v%— 1000*7 sin a
où A., B, C, D, E, F sont des constantes numériques dépendant de la locomotive considérée.
Cette formule a été représentée par M. F.-J. Vaes, au moyen d'une règle à trois tiroirs de la manière suivante (1) :
Si l'on pose
A +bp*+c=/i(p)i
(') Studies over trekkracht van Locomotieven en weerstand van treinen {De Ingénieur, avril 1897).
et
D sina
E? + Fp2=/3(o, g), iooo# sina . . .
on voit que la formule considérée peut s'écrire
/a(*>j <l)Mv, (h*)
ou
log/i = log/, (t>) -f- log/2(ï>, a) — log/"3(t>, q ) — log/4(i>, y, a).
Sous cette forme, on reconnaît qu'elle rentre dans le type général cidessus. On pourra donc la représenter au moyen d'une règle portant les échelles parallèles
x0— l logrc,
xx = Hog/iO)
(/ étant un module quelconque), entre lesquelles on fera glisser des tiroirs munis des échelles multiples définies par
x2 = /log/2(p, a), ,r3 = — nog/3(p, g), xk= — /log/4(>, g, à).
Les deux premières sont des échelles binaires; leur exécution n'offre donc aucune difficulté. On pourra d'ailleurs, pour l'une comme pour l'autre, prendre pour lignes cotées (v) des parallèles à l'axe des x.
La dernière est une échelle ternaire ; mais rien n'empêchera de construire sur différents tiroirs interchangeables les échelles binaires obtenues en attribuant à a différentes valeurs fixes. On se servira, dans chaque cas, du tiroir portant l'échelle (v. q) correspondant à la valeur de oc considérée. Si, d'ailleurs, les échelles {v,q) correspondant à plusieurs valeurs de a n'empiètent pas les unes sur les autres, on pourra les tracer sur le même tiroir, ce qui est le cas pour l'exemple numérique auquel se rapporte la fig. 162. Cette figure reproduit un fragment de la règle construite par M. Vaes avec les données
La règle même porte les échelles I et V relatives l'une à i>, l'autre à n. Cette dernière a d'ailleurs été fractionnée ainsi qu'on l'a expliqué, à la fin du numéro précédent.
te
Les tiroirs II et III portent des échelles binaires (v: <x)et(p, q) pour chacune desquelles les lignes (v) sont des parallèles aux bords de la règle.
Le tiroir IV porte trois échelles binaires (v, q) correspondant respectivement à a — j^-q, a = Yoj et a = 1 0<0 0 , échelles pour chacune desquelles les lignes v, toujours parallèles aux bords de la règle, sont les mêmes.
L'usage de la règle peut se résumer ainsi : On fait correspondre le point (v, a) de V échelle II au point v de V échelle I, puis le point (v, q) de l'échelle III à l'origine de V échelle II, puis le point {v, q) du groupe a de l'échelle IV à V origine de V échelle III, ou à l'index terminal, marqué sur cette échelle non loin de son extrémité si son origine est trop éloignée (ce qui est le cas sur la fig. T62). On n'a plus qu'à lire la cote du trait de l'échelle V qui se trouve en face de l'origine de l'échelle IV, cette lecture se faisant le long du bord extérieur ou du bord intérieur suivant que, pour mettre en place l'échelle IV, on s'est servi de l'origine ou de l'index terminal de l'échelle III.
Il va d'ailleurs sans dire que, puisqu'il s'agit ici d'un nombre de véhicules, on prendra pour n la valeur entière la plus voisine de celle qui serait exactement donnée par l'origine de l'échelle IV.
Par exemple, sur la fig. 162, la disposition des tiroirs, qui correspond aux données
v = Gokm, q = i5r,5, a = - — >
montre que l'on a
135. Systèmes à double translation. Résolution des équations trinômes à exposants quelconques. — On peut combiner la translation de l'échelle dans le sens de sa longueur avec une translation perpendiculaire à cette longueur.
Si, par exemple, nous prenons un abaque à points alignés, constitué au moyen de trois échelles rectilignes parallèles (Gh. III, § II, A), nous pouvons rendre chacune des trois échelles mobile : i° dans le sens de sa longueur; 20 dans le sens perpendiculaire à cette longueur.
Pour définir la première translation, on peut accoler à l'échelle (a) une échelle ([3) dont on amène un point de cote donnée sur l'axe Ox; pour définir la seconde, il suffit de faire passer le support de l'échelle ((3) par un point de cote donnée sur une échelle (y) parallèle à Ox. Dès lors, les coordonnées du point a sont
ar=/i[/(a)-o(p)]ï 7=/2<Ky).
Par suite, en supposant les modules /, et /2 les mêmes pour les diverses échelles parallèles, on voit que l'alignement des points a, , a2, #3 {fis • J63) donnera une représentation de l'équation
/i(«i)-cpi(pi) ^i(ïi) ' /2(a2) — cp2((32) ^2(y2) i =o.
En remplaçant les neuf échelles qui viennent d'être définies pai des échelles binaires, on a un abaque à dix-huit variables.
^so
