X.Hli, PiCa^pOMi;, P2(a2)-Ï'2, P.(«3)wli
Si l'élément E, est le point (n — q, p) dont les coordonnées sont x = n — q, yz=p^ l'élément E2 la parallèle A(n) à Oy, l'élé- Vnent E3 le point x(z) de Oi, l'élément E4 la parabole P de \&Jîg. 1 54 (p. 348), si, en outre, on fait
e\~o'x\ e;-o', E'^E'^oy,
le type général VII* donne l' abaque à équerre pour V équation du troisième degré (n° 129), qui sera, par suite, dénoté
(n— p, q)~0'x\ A(h)mO', PhO>'; x(z)~0'y'.
Type XI \. — Notation :
^(«OmEKo1,), E2(a2)~E'2(a2), E.mE;, E, m E'4,
Si les éléments E, et E2 sont respectivement les systèmes de droites D, (/?) et D2 (s), les éléments E', et E'2 les points y\ (L) et y'.2ÇT) pris sur les échelles (L) et (T), portées l'une et l'autre par Oy, enfin, si l'on remplace les deux derniers contacts par la coïncidence de Ox et de O' x' , on a l' abaque de Jauge des yachts de M. Chancel (n° 118, 20) qui est alors dénoté
OtfHOV, D1(jD)M/i(L)J D2(5)~jk2(T).
Type XI l\. — Notation :
Ei(«i)HE'i(«i), E2(a,)ME'2, E3(a3)ME'3, E4 « E'4.
Si en appelant D le support des points P1? O', un point marqué sur la droite D' et T\ (t) un cercle de centre O', on fait
Ei ,IW), E2^P2(è), E, =P,(A), E4^D, Ei^r;(*), E2^D' E'3 = D', E4^0',
THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. \ l 3
on obtient X abaque du volume du ballast (n° 80, 2°) alors <!<•-
note
DhO', p,(6)mD', p3(A)mD', Pi(V)wri(o.
Si, suivant la Remarque II du n" 147, on rend le dernier contact indéterminé en prenant pour éléments E'3 une droite A\ parallèle à la droite A'0 prise à la fois pour E'( et E'2, et munie (rime cote a4 lue sur le plan fixe, on a, les éléments E,, E2, E3 étanl des points, un abaque qui se dénote
Pi(«i)hA'0, P2(a2)HHA'0, P,(a,)MA'(i), » m »,
et qui n'est autre qu'un abaque à parallèles mobiles (n" 97).
Remarquons enfin que l'abaque du P. Poulain pour l'équation complète du troisième degré (n° 127), lorsqu'on le complète par un transparent à radiantes cotées donnant les valeurs de 3, renlrc aussi dans ce type général. Si, en effet, on représente par G (n) la courbe cotée ;z, par D;(s) la radiante du transparent cotée z et par x^ le point à l'infini sur Ox, il peut se dénoter
mOV, ^(jo)HOy, r(q)"0'.r', C(/i)h.D'(s).
Type X1V\. — Notation :
E1(a1)ME'1, E2(a2)ME'2, E3(a3) m E'3, E4(a4).-.E4.
Suivant une remarque faite plus haut les éléments à une cote E,, Ea, E3, E4, étant en contact avec des éléments sans cote,
Fig. 173.
peuvent être des points en contact avec des courbes G',, G2, G3,
4l4 CHAPITRE VI.
Si, en outre, les éléments E'i? E'2, E'3, E'4 se confondent avec une même courbe G on a un abaque à transversale quelconque de M. Goedseels(n° 96).
Type XV\. — Notation :
E^aO-E;, E2(a2)~E'2, E,(«i)mE;ï E4mE'4«).
Ici encore les quatre éléments cotés peuvent être des points
{fig- I74).
Fig. 174.
Si, en outre, les courbes G', , G'., et C3 se confondent avec le support du système (a'4) et la courbe G4 avec le support du système (a,), on a un abaque du type représenté par lâjlg. i^5, qui a également été proposé par M. Goedseels.
Fig. 175.
Type XVI\. — Notation
E.KJhE',, E2(a2)ME'2, E3~E3(a3), E4mE'4(«'4),
THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. .', i .',
Lorsque les quatre éléments cotés sont t\c> points on a mi abaque Ici que celui de la fig. 176.
Fig. 176.
Si les courbes C3 et C4 se confondent respectivement avec les supports des systèmes (a,) et (a,)', les courbes C\ et C'2 avec les
Fig. 177.
supports des systèmes (a'3) et (a'4), on a un abaque du type représenté par X&fig. 177, encore dû à M. Goedseels.
II. — Étude des équations représentables au moyen d'un type d'abaque donné.
A. — Caractères différentiels et fonctionnels.
151. Types d'équations répondant aux principaux types d'abaques. — Un type d'abaque étant donné, il est toujours facile, comme on l'a vu au cours de cet Ouvrage, de former, au moyen de fonctions arbitraires, entre lesquelles le mode d'emploi
4l6 CHAPITRE VI.
de r abaque établit un certain lien analytique, le type d'équation le plus général correspondant. Nous appellerons ces fonctions arbitraires les composantes du type considéré.
La question se pose dès lors, une équation quelconque étant donnée, de reconnaître si elle appartient à un type donné et de former dans ce cas ses composantes.
La méthode générale pour résoudre ce problème est la suivante : partant du type général considéré il faut d'abord en éliminer les fonctions arbitraires, ce qui conduit à des équations aux dérivées partielles qui doivent être satisfaites si telle équation particulière appartient à ce type, puis remonter par des intégrations convenablement dirigées aux fonctions composantes.
Le Calcul différentiel fournit théoriquement le moyen d'effectuer l'élimination des fonctions arbitraires. En réalité, les calculs qu'exige cette solution sont généralement inextricables, et l'on n'en vient à bout, dans quelques cas, que grâce à des artifices spéciaux.
Dans la pratique, on se borne presque toujours à un simple examen de l'équation qu'on veut représenter, examen qui met en évidence telle ou telle forme caractéristique se retrouvant constamment dans les applications. Il n'en est pas moins vrai qu'il y a un réel intérêt à posséder une méthode mathématique permettant de procéder de façon sûre à cette reconnaissance. Une telle méthode a été, comme nous allons le voir, donnée pour les types qui se rencontrent le plus fréquemment en pratique.
Nous tenons auparavant à faire l'observation que voici : pour les équations à deux variables, chaque type d'abaque est applicable à l'une quelconque d'entre elles. La question ne se pose donc pas.
Pour les équations à trois variables il existe des modes de représentation applicables à l'une quelconque d'entre elles (nos 16, 46, 55). Le rattachement d'une équation de cette sorte à tel type plus ou moins général n'a donc pour objet que de permettre de lui appliquer un mode de représentation plus simple que les modes généraux.
Pour les équations à plus de trois variables, au conl aire, il n'existe pas de méthode absolument générale. En rattachant une équation de cette sorte à tel ou tel type que l'on sait traduire par
THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. .', l -
un abaque, c'est donc la possibilité même de sa représentation qu'on met eu évidence.
Cela dit, nous allons rappeler ici les types généraux d'équations qui se rencontrent le plus fréquemmenl parmi ceux qui ont ét< mis en évidence dans le cours de cet Ouvrage, avec l'indication des numéros où sont décrites les méthodes de représentation qui leur sont applicables :
/i(ai)-H/s(**)=/»(a3)
fl(*l)fl(*t) =/»(«3)
(I) (I bis)
ce type se ramenant d'ailleurs au précédent si on le met sous la
forme
ïog/i(a1)4-log/,(a1) = log/3(a3),
00 /i(*i)/3(a3)+/2(«*)<p*(*s)-t-<!'3(a3) := o. (nos 21, 78),
fi(cn) cpi(ai) ^,i(«i) /2(a2) u>2(a2) ^2(a2) /3(a3) 9s (as) <|>8(«s)
(nos 47, 56),
Les types (1), ([ bis), (II) ne sont, comme on voit, que des cas particuliers de ce type (III) ('), auquel on ramène encore très aisément (n° 48) le suivant
(IV
1 1 ( at ) X2 ( a2 )/3 (a3 ) - [Xi (ai ) fx2 ( a2 ) cp3 ( st3 )
— vi(a1)v2(a2)^3(a:i) = o,
les À, a, v désignant des fonctions linéaires en a, ou en a2.
(V) /i(«i) +/*(■««)=/»(«•) +/*(«*) Uos37, 70, Sï), 134), (V6«) /i(»i)/»(»*)=/»(«i)/4(«0 (n°91),
celui-ci se ramenant d'ailleurs au précédent par transformation logarithmique.
(VI) /iCaO/^a,.) -h <?,(«!) =/8(a,)/*(at) h?4(a4) (n- 92, 13
( ' ) Il convient de remarquer dès maintenant que le nombre véritable des fonctions arbitraires entrant dans un type donné, n'e^t pus nécessairement égal a celui des signes fonctionnels distincts employés à l'écrire. Ainsi, dans le type (II ), en divisant par l'une des fonctions de a,, on voit qu'il n'y a que quatre foncti arbitraires; dans le type (III), en divisant chaque ligne du déterminant pai un de ses éléments, on voit qu'il n'y en a que six.
