XII) (XIII
| [<Pl(«l ) — Cp2(a2)] [?3(a3) ~ ?4(*4)]
/ +LA(«0 -/»(««)][/•(«•) -/4(«*)] = o (n-96,97),
/i(&n PO =/«(««> PO (n° 117).
/i(«i, Pi)+/t(«i, PO = /»(«i, Pa) (nos 119, 121, 133),
/i(«i)/3(a3, Pa)
+ /«C«0<pi(«s)Pa)-*-<I'a(«8, ps) = o (nos 121, 127, 128).
/i(alfPO ?i(«i,PO +i(«i,Pi)
/s(3t35p3) îs(«8,-p8) ^3(a:î,p3)
/i(«i)+/j(Oï) + ... + /«(aB) = o (nos 37, 70, 134), /i(*i, PO +/»(««» PO -+-• • •+/»(««, PO = o (nos 120, 134).
La détermination des caractères différentiels dont il a été question plus haut a été, comme on va voir, effectuée pour les types (I) [auquel se ramène (I bis)~\ et (II), de beaucoup les plus fréquents dans la pratique.
Pour le tvpe (III) l'élimination des fonctions arbitraires reste encore à faire, mais on verra qu'on peut former, au moyen de l'équation donnée, certaines équations fonctionnelles qui doivent être identiquement satisfaites si l'équation donnée rentre dans le type en question.
152. Equations du type (/). — C'est le comte Paul de Saint- Robert qui a résolu le problème en ce qui concerne les équations du type (I), qu'il considérait au point de vue de leur représentation par des règles à tiroir (n° 133). Voici sa solution (*) :
L'équation étant écrite, en représentant, d'une manière générale, par/*/ la fonction fi(y-i) de la seule variable a/,
on a, en posant
/i+/* = /ii
ày-z dix
= Pi:
di% du*
Pi,
(') Memorie délia R. Accademia di Torino, 2e série, t. XXV, p. 53; 1871
et dérivant l'équation considérée successivemeni par rapport à a,
et a a2.
A —f*Pu
d'où
A=f'iPi,
El-li.
Pi f'%
Posant maintenant
Pi
nous avons
d'où, successivement,
logr = iog/; — iog/;,
Telle est l'équation de condition cherchée. Il est facile de la former lorsqu'on se donne une équation quelconque
(5) F(zu a2,a3) = o,
attendu que
dF ^F
Si, pour la fonction r ainsi calculée l'équation (4) est identiquement vérifiée, l'équation (3) fait connaître^ , puis l'équation (2) où l'on remplace/"', par la valeur qui vient d'être obtenue, donne/2-
Formant alors la somme/( -h/21 on est assuré qu'en y remplaçant clk ou OL2 par sa valeur en fonction de a3 tirée de (5), la seconde variable, ou ou a,, disparaîtra en môme temps, et on obtiendra ainsi /2.
Prenons, par exemple, pour équation (5) l'équation
(6) a3 = *l*2-t- S/1 -+■ al V7' + a2
qui ne semble pas, a priori, rentrer dans le type (1). Ici on a
i -r oc
I Ï-JX.;
trou
par suile,
(8) et
à \o<ir
aj
ô'1 log/"
La condition étant remplie, si on porte la valeur (8) de
dans l'équation (3), on a
G>Iogr
d'où, en intégrant une première fois,
s/\ ha]
et une seconde,
(io) /, - A log(a, -+- v/i ^a|) ■+- B,
A et B étant des constantes d'intégration; puis, portant les valeurs (7) et (9) de r et de f\ dans (2), on a
d'où, en intégrant,
(11) y2 = A log(a2 + ^i + «j) H- C,
C étant une nouvelle constante d'intégration. Ajoutant (1 o) et (1 1 ), on a maintenant, puisqu'on sait que l'équation prendra la forme (1),
/:, = A log (a, + \fi-r-a\) (a, H- y / 1 -^ a | ) + B + G
= Alog(a34- a2y/i H- aj-f- a, y/i +a^) + B + G.
Or l'équation (6) rendue rationnelle s'écril
ou
c'est-à-dire, eu égard à (6),
a3 — i=ïï + a2 + 20ti a2\aia2 + V/l ■+■ *i \ • -» a2/
= a?(i-l- a|) H- a*(i -4- af) -+- 2«ias^i ^îv1- z2 = (ai y i-h a| h x2 V [ "+~ a î ) • Par suite, l'expression de f$ devient
/3 - Y log(a3 -+- v/*» — •) + B + G, et l'on voit que l'équation (G) peut se mettre sous la forme
Iog(a,-f- V7i -r- a}) ■+■ log^-i-v/i- xj) = log (a3+ v/a| — ï).
Le calcul qui vient d'être développé a eu l'avantage de rendre plus claire la solution générale ; mais on pouvait ici, en se fondant sur la théorie des sinus et cosinus hyperboliques sli cl < li. opérer plus rapidement la transformation voulue.
Si, en effet, on pose
or.{ -■ sli U\., a2 = sh i/2 on a
y/i H- y.\ — cli n {, \f \ — - ol\ — ch //.,,
et l'équation demandée devient
a3=shaishw2 cli //i ch w2 - = ch( #, //■>). Donc
arg. cha3 = «i- «s = arg. shatiH arg. shor2.
rx »
— - — log(a - /a'2— i I ; i/a2— i
arc. sli a =
/ ' /■ = Iog(a -(-/«* H i)
Conséquemment l'équation précédente devient
log(a3 + /al^r7)=log(ai- /af+ï) -f- log(a2 /a] i)
153. Équations du type (II). — i° Solution de M. Massau (J). — Supposant la fonction '|3 différente de zéro et divisant par cette fonction, nous pouvons, en remplaçant ~ et ~ par A et <p3, écrire l'équation
Prenant les dérivées par rapport à a, et à a2 et posant comme précédemment
ÔOL;
= Pl
~-Pï
nous avons
d'où
équation qui montre que a3 estime fonction de
en annulant à zéro le jacobien de a3 et de
pjk Ptfx
Pi fi Ptfi
Pi Pi
d Pi f^
d<xv p2ft
d p\J\ da.2 p3f\
ou, tous calculs faits.
si l'on pose
Pi
P-2 '-JT ~ R,
puis
El Pi
On a donc.
(') C'est M. Demoulin, chargé de cours à l'Université de Gand, qui a eu l'obligeance de nous communiquer l'analyse ici reproduite, dont le résultat seul est mentionné dans le Mémoire déjà cité de l'auteur sur Y Intégration graphique (Liv. III, Ch. III, n° 178).
Si l'on pose maintenant
J \ -- TT J-l it
l'équation (3) devient
(5) />iU2--/?2U1 = R
Toute solution de l'équation (i) vérifie L'équation (5) et réciproquement, car, de l'équation (5), on peut remonter aux équations (3) et (2), et, si l'on désigne par V3 une fonction de ot3, celle-ci peut s'écrire
Va
OU
d'où
\Px Va/',
équation de la forme (1).
Dérivons maintenant l'équation (5) successivement par rapport à a, et à a2. Gela nous donne
t'i U* -f- sUi + /?•> U', = -, — t
sU2 + r.,1] i -h piV'.y
OR
Dérivant ensuite l'équation (6) par rapport à a2 on a
dd.i OZy
Les équations (5) à (8) donnent les valeurs de U,, U2, U'4, Ua
et notamment
Ui = S, U2 = T.
On en déduit
On peut voir que les équations (9), qui sont du cinquième ordre, forment un système équivalent à l'équation (5).
Soit, en effet, a3 une solution commune aux équations (9).
Formons les équations
/'l A ~ 5 II -f- />■> V = — J
«A- r2 ul -hpiTZ — - — ?
da.>
<Vai c'a 2
qui définissent A, ij., v, tu.
On a
et, par suite, en vertu de (g),
du.
ce qui prouve que {x est fonction de a, seulement et A de a2 seulement. Donc, toute fonction vérifiant les équations (9) est une solution de (5).
20 Solution de M. Lecornu ('). — Partant de la même équation (i), M. Lecornu forme aussi l'équation (2), puis il pose
log-V = X3>
,08/i = — Xi»
7 , 7«>> X3 n '^tant fonctions respectivement que de a,, a2, a3. On peut alors écrire l'équation (2) sous la forme
(11) d'où
et
° 1 Pi
(') C. H., t. Cil, p. 8i5; 1886.
Posant encore
cette dernière expression étant dn troisième ordre par rapporl
à a3, on peul écrire l'équation (12) sous la forme
(i4) 3CiH-xi"=^
Prenant les dérivées de celle-ci par rapport à a, el à a2, on ;i
d , „ / t au dv
cl ' o ù
ou
, / g)m '<>// \ àv dv
Ov dv
dx{ ' da2
(i5) Xs-
Posant
' c^aj <ya2
dv dv
expression du quatrième ordre par rapport à a3, nous pouvons écrire l'équation précédente
(17) Xi
d'où
t)(p „ dw
Éliminant successivement yj cl yj{ entre (1 {), (17) cl chacune des équations (18), on a les deux équations du cinquième ordre
di\> du-
d"J.\ d'y.* (,o) ---- = = V— uw.
^ Pi Pi
On trouve ainsi un nouveau système de deux équations du cinquième ordre, nécessairement équivalent à celui qu'avait donné la méthode de M. Massa u.
Le calcul de «, v, w, que définissent les équations (i3) et (iG), peut s'effectuer ainsi qu'il suit :
PiP-2
du
du
ÔOL\
Pi
/ dv
dv
i 1 da2 v \ p2
<)y.\ Pi
Ces expressions différentielles étant formées, on vérifie si elles satisfont à (19). S'il en est ainsi, il reste à déterminer y,, f2, f$j
La première équation (19) montre que w est fonction de a3. Dès lors (17) donne
Z.j = / W dcL*'
L'équation (i 1) donne ensuite
Si donc nous remplaçons y par sa valeur en a, et a2, le second membre devient la somme d'une fonction de a, qui est y et d'une fonction a2 qui est 7 .
Dès lors, les deux dernières du groupe (10) donnent
/; = e-\ /; = ex.
et, par suite,
fi=l e-^d^, fz= I e-XidoLz.
Enfin l'équation (1), jointe à la première du groupe (10), qui peut s'écrire
I? - eX.
fait connaître /3 et cp3.
Remarque. — Nous avons supposé, dans le type (II), la fonc-
lion ^3 différente de zéro. S'il n'en était pas ainsi, l'équation pourrait se mettre sous la forme
ou
log(— /1) =log/2-f-log/3,
et l'on voit qu'elle rentrerait alors dans le type (ï), étudié au numéro précédent.
154. Equations du type (///). — Pour les équations de ce type, l'élimination des fonctions arbitraires, qui ne semble pouvoir se faire qu'au prix de calculs fort compliqués, n'a pas encore été réalisée. Toutefois, M. E. Duporcq (') est parvenu à établir certaines équations fonctionnelles qui, si elles sont satisfaites, permettent de mettre l'équation donnée sous la forme (III) du n° 151. Il commence par chercher la condition pour que la fonction F(ai? a2) puisse se mettre sous la forme
Soient a2 et b2 deux valeurs arbitraires de a2. Les trois fonctions de a,, F(a,, ou), F(a, , a2) et F(a, , b2) sont de la forme
X<pi(oci)-t- ;j.^i(ai)»
A et jji étant indépendants de a,. Ces trois fonctions de a, sont donc liées par une relation linéaire et homogène. Par suite, a{ et bt étant deux valeurs arbitraires de a,, on a l'identité
F(a1,a2) F(a,,«2) ¥(aLitbt) F(a,,a2) F(aua2) F(al?bt) F(buà%) F(è1?a2) F(bub2)
Cette condition est d'ailleurs suffisante, puisqu'on peut alors
écrire
F(a1? a2) — «F(a,, a.,) - ■•:- eF(x1; b2),
u et v ne dépendant que de a2.
(') C. R. (t. CXXVII, p. 265; ier août 1898) et B. D. (2" série, l. XXII, p. 287; 1898).
On voit, de plus, que les fonctions <p, et <t, sont toutes deux de
la (orme
l¥(zu <72) H- mF(alr 62),
/ et m étant des constantes.
Gela posé, cherchons à quelles conditions on peut avoir
/i(«i) <fi(*i) <W(<*i)
/a («s) ?s(*s) 4*3 (as)
déterminant que nous appellerons A.
Soient a2, £o5 c2 trois valeurs arbitraires de ou, et a3, 63, c:) trois valeurs arbitraires de a3. On voit que les quatre fonctions de a, ,
F(aj,a2,a3), F(al5a2ja3), F(<Xi, 6S, 68), F(a1)'Cj, c8)
sont de la forme
^/i(«t)4- ^<pi(a!) ■+■ vd^a,),
a. ui, v étant indépendants de a,. Il existe donc entre ces quatre fonctions de a, une relation linéaire et homogène. Par suite, a*, />), C| étant trois valeurs arbitraires de a,, on a l'identité
F(ai,a2,a3) F(a1,as, as) F(ai,62, 63) F(aJ,c2,c3)
F(al5a2, a3) F(a1;cr2,rt3) F(a^ 62, bz) F(a1;c2,c3)
F(c1,a2,a3) F(c1,a,,«3) F(cl56,,£3) F(clvr2,c3)j
On aura deux autres identités analogues,
(9.) et (3),
en opérant de même pour les variables ou et a;{.
On voit, de plus, que les fonctions y,, ©(, •]/, sont toutes trois de la forme
hf{au a2, a3) - - /;?! F(a1? b2, b3) -f- /ii F(at, <?,, c3),
/,, m,, /?, étant des constantes. On peut même, en remplaçant chacun des éléments du déterminant A par la somme des éléments de la même ligne multipliés, dans chaque colonne, par des paramètres convenables, supposer que
(M /i = F(«i,«2',«3), ?i^F(a,,62,&3), 6, == F(aj,r2, c3 1.
THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. l\2()
Maintenant l'identité (1) montre qu'il existe trois fonctions m, v et iv de ou et a:î telles que
F(al5 3t2, a3) = u F(a1> a2, <z3) 4- p(Fafl A2, 63)-h tr F (a^ c2, c3),
et il va falloir exprimer que ces trois fonctions peuvent être mises simultanément sous les formes
o2 cp3 I
S'il en est ainsi, la fonction y2, par exemple, qui figure dans v et dans w, doit, en vertu de la remarque faite plus haut, être à la fois des deux formes
/■> =rt[lt p(a2, a3) — m2 f(as, 63)],
Cette fonction pourra donc être déterminée à une constante près si les quatre fonctions de a2
^(«2, «3)1 ?(««, &8>j (^(^2j«3), W(as, 63)
sont liées entre elles par une relation linéaire et homogène ; or cela résulte des identités (1) et (2).
En effet, en vertu de (1), les fonctions y(a2, a3) et <v(a2, a3) sont des fonctions linéaires et homogènes des trois fonctions
FOi, y-2, a8), F(6,, a2, a3), F(cj, a2, a3)
et, en vertu de (2), la fonction de a2, F(rH, a2, Ç3) est, quels que soient y;, et Ç3> une fonction linéaire et homogène des trois fonctions de a2
FOi, a2, a3), F(èi,a2, 63), F(c,, a2, c3).
Les quatre fonctions (A2) peuvent donc s'exprimer en fonction linéaire et homogène des trois précédentes. Il existe bien, par suite, entre elles une relation linéaire et homogène, et la fonction f2 se trouve déterminée au facteur constant r> près.
De même, au facteur constant r3 près, on mettra f:i sous les
formes
A^r*\h v(at, a3) + m3 f (62, a3)],
fz = r8[r8 ^(«2, as) +- »?3 w(62, a3)].
D'une manière analogue, on obtiendra finalement trois fonc-
^3o CHAPITRE VI.
tions/5, <p°, ty* de a2 et trois fonctions/!), cpg , <l" de a3 respectivement proportionnelles aux fonctions /2, <p2, <k2, /3, cp3, <l3, en sorte que
Posons, en outre,
Si la première égalité (3) est satisfaite, on a
u = XU — X'U'.
Or cela exige que l'on ait identiquement
w(a2, a3), U(a2, oc3), U'(a2, a3) (4) u(az, a3), U(a-2,a3), U'(<z2, a3)
u(bs,bM), 0(6,,*.), U'(6,,6,)
On obtiendra deux identités analogues
(5) et (6),
d'une part entre ç>, V, V, de l'autre entre w, W, W.
Inversement, si ces conditions sont remplies, on pourra déterminer A, jjt, v, V, |j/, v' de telle sorte que
u= XU— X'U',
[JlV- fx'V,
vW-v'W,
et l'on en déduira les coefficients r2, 52, £2, >*3? s3, h au moyen des formules qui ont servi à définir X, u., v, X', u/, v', à la condition toutefois d'avoir
XfJLV = X'uV.
On connaîtra alors f2, cd2, 4'2'/'3' ?3? 4*3' ^es tr°is premiers éléments /1 , cp,, i|^ étant déterminés par (A).
En résumé, on aura à vérifier les égalités numérotées de (1) à (7), et, quand elles seront satisfaites, on saura déterminer les six éléments du déterminant A.
F(at, a,, a3)r
La recherche précédente sera grandement simplifiée si les systèmes de valeurs (at, bu c,), (a2, b>, c2), (#35 £;$, C3) satisfont à l'équation donnée, de sorte que
F(«i> &i, cO = o,
On n'aura, dans ce cas, qu'à chercher à déterminer les coefficients X, [/., . . ., vv tels que l'on ait identiquement
X F(ai, 6^ et), [i. F(a1} a2, Ci), v F(«i, bu a3) X' F(al5 ô2, c2), p' F(a2, a2, cs), v' F(a2, 62, a3) X"F(ai, 63, c3), ;x"F(a3, a2, c3), v"F(>3, 63, a3)
et il sera facile de reconnaître si cette détermination est possible.
155. Équations représentables par des abaques à graduations superposées. — Au sujet traité dans les numéros précédents nous rattacherons la recherche des équations les plus générales auxquelles est applicable le principe de la superposition des graduations sous les deux formes spéciales, importantes aux points de vue des applications, que nous avons envisagées au n° 21.
Rappelons que nous avons été conduit par voie d'intuition aux types (1) et (3) donnés dans ce numéro. Il s'agissait de voir s'ils étaient bien les plus généraux jouissant de la propriété voulue. C'est, nous l'avons déjà dit, à M. G. Kœnigs, que nous sommes redevable de la solution de ce double problème. La voici :
Problème I. — Trouver des fonctions cp, ^, U tel , es que
o(Xiai, X2a2) = <|(Xi, X2, U),
U ne dépendant que de ccl et a2.
Si nous posons (1) 12 = ?(Xiai, X2a2),
Q vérifie le système d'équations
dQ , dQ
(2) A(Q)=ai — -X
n, x dQ . dQ
„, x d\] dQ àU dQ
On a identiquement
et
/d\J âQ dU dQ\ G / ^12 \Ja2 dai Ox{ d'i*) \ l d%i
diï
a 2 — aa9
da
! /<HJ\ <tà rn , oK2
les dérivées secondes disparaissant crelles-mêmes, comme on sait. Oi
on a
A -r— = ai - -r— } C ( ai ) = — - ^
\da2/ 0%{ 0x2 0x2
daj
C(Xi) =o.
Donc 12 vérifie l'équation
0*-U OU \ OQ
I U- U (VU \ UÏ.1
a. - : — ■ : — -y— — Xy = o.
c'a, da2 ''ao / «7»!
d2U di> daj da2
De même, en partant de
B(G(û))-G(B(û)) = oJ
on trou\c (6)
o'-u ou\ on O'-U on
' OXy 0X2 O'JLy ) 07.-2 ' Ox^ OXy
Si l'on tient compte de (4) les équations (5) et (6) deviennent
d*U dU\ OU 0>~U OU
Ox\ da2
Ooiy 0x2 0rx2J Oocy
on) ou\ ou o* u oi)
O'JLy 0% o OXy / Ox2 " Ox'r, OXy
qu'on peut écrire
o*-u on)
Ooiy OX;
da?
OU
ou
OXy
>>X\ Oy2
Ox\
OU
ou
OXy
Oz.2
OU
ou encore
àx-2 v àxx
dZy UT.)
Xi et X2 étant respectivement des fonctions de at seul et de a2 seul, ce qui
exige que l'on ait
Xj a1X2a2 = i
et, par suite,
X^i^m, X=>ou= — >
/n étant une constante.
On a donc
dU
da2 ct.x
dU m a2
OU
du au
ai -7 ma2 - — = o,
ce qui donne
ou, plus symétriquement,
U = /(«?. aj.),
/ii et n% étant des constantes.
L'identité initiale prendra donc la forme
cp(X1aJj X2a2) = ^(X1, X„/(aÇiaJ»)).
Si l'on fait XiO^ = a', , X2a2 = a2, il vient
ou, en attribuant à Xj et X2 des valeurs numériques quelconques,
ç(ài,ai) = A(«,1«.ai».),
A (a?) étant une fonction quelconque de x. Par suite,
<?(«i, «2) = A(a'1iia'^)-
On retombe bien ainsi sur la forme (i) du n° 21.
Problème II. — Trouve?^ les fonctions cp, ^, U telles que
cp(Xa1,X'»a2) = ^(X,U),
U ne dépendant que de a( et a2.
Posons encore
Ici Q vérifie les équations
(2) A(£i) = a!-r hma2- À -r- = o,
daj da2 0À
da2 ooli oal aa2
On a identiquement
ou
Oui d cl .2 ~ Ocl\ Ooc2 / Ooci
0°-U d*-U OU \ Où
ai -r-r- 4- ma, : m — 1 — - = o,
aaf cto^ 0a 2 aa! / oa2
ou encore, en tenant compte de (3),
ol\ h »ia2
Octi da.2 dcL'i àa2/ Ocli
du* Ocli 0cl2 ÔOCi J 0cl2
qu'on peut écrire
Ocli ()a> Ooc. \ I Ocli Ooc, Ocl=,
t)a2 daj / \ c)a2 t)a!
Si l'on pose
cette équation devient
ÔY dV .
cci- h ma2 - — = (i — m)V.
On a donc
En se reportant à l'expression ci-dessus de V on conclut de là que
ou encore
a'»-i doc^yf"^) da,
doit admettre un facteur intégrant.
Si nous posons
a2= «af,
il vient pour cette expression différentielle
:f 1 daix -f- y '( - j (et"1 du -f- ma'"-1 u d<xx),
am-
ou
dccx K \ u
ai , / i
i -f- mu y
dont l'intégrale a la forme
log«!+ log/(» = loga1/(w))
/"étant une fonction arbitraire comme y. Donc U est de la forme
u=fU/U<)L
et l'on en conclut, comme à la fin de la solution précédente, que
cp(a1? a2)= ^Lai/\aia2 /Jj
A(#) étant une fonction quelconque de x. On retombe bien ainsi sur la forme (3) du n° 21.
A36 chapitre vi.
B. — Théorie algébrique des équations représentables
