PAR TROIS SYSTÈMES LINÉAIRES DE POINTS ALIGNÉS
156. But d'une telle étude. — Si, dans l'équation générale répondant à un certain type d'abaque, telle que celles qui sont envisagées au n° 151, on suppose toutes les fonctions arbitraires composantes algébriques, on obtient un certain type général d'équation algébrique représentable au moyen du type d'abaque considéré. La question se pose alors, étant donnée une équation quelconque de ce type, de reconnaître comment on pourra former les fonctions composantes correspondantes et de chercher à quelles conditions ces fonctions seront toutes réelles, sans quoi ce mode de mise en abaque serait purement illusoire.
En outre, comme une telle solution, lorsqu'elle est possible, comporte, en général, une infinité de variantes, on peut se proposer de choisir parmi elles celle qui, à un certain point de vue, offre le plus de simplicité.
Pour les équations du type (III) du n° 151, où l'on suppose que toutes les fonctions composantes f cp, <]> sont linéaires, nous avons donné une solution absolument complète de la question (1 ), que nous allons reproduire ici pour bien préciser l'ordre de recherche algébrique auquel conduit la Nomographie, et dont les lignes précédentes ne peuvent donner qu'une idée assez vague.
On verra, sur cet exemple qui semble pourtant assez simple au premier abord, combien délicate est la discussion que soulève un pareil problème.
Lorsque toutes les fonctions /*, <p, ù du type en question sont linéaires, les trois systèmes de points cotés correspondants, définis comme on l'a vu au n° 61, constituent chacun une échelle linéaire (n° 7). On est dès lors tout naturellement conduit à se demander si, par l'emploi de la transformation homographique générale définie au n° 61 , on pourra faire en sorte que ces échelles deviennent régulières (n° 5, i°). C'est, dans ce cas, la variante que nous considérerons comme offrant le plus de simplicité.
De là deux parties distinctes dans cette théorie : i° Détermination des fonctions composantes ; 2° Transformation des échelles linéaires en échelles régulières.
Nous commencerons par établir quelques formules et faire quelques remarques auxquelles nous aurons à nous référer par la suite.
157. Formules et remarques préliminaires. — Etant donné un ensemble de trois systèmes de points cotés, on peut toujours, par une transformation homographique, faire en sorte que les supports des trois systèmes soient des droites assignées d'avance, en distinguant toutefois les cas où ces supports sont ou non concourants.
Premier cas. — Les supports ne sont pas concourants. — Dans ce cas, une transformation homographique permet de faire coïncider deux des supports avec les axes de coordonnées Ox et Ojr, et le troisième avec la droite de l'infini du plan Oxy (ce qui revient à faire correspondre à chaque valeur de a3 une direction du plan). Les trois systèmes sont, dès lors, définis par
/ir = m1a1-hrt1, y = o, t = Pi^i -+- q^
(a) l a1 = O, J' = />2a2 + #2j t = 771^0.2 -h IÏ2,
et l'équation représentée prend la forme
( (mlal -h7ii)(m2a2-f-7i2)(m3a3-f- ;i3) (La) <
( -Ki>iai -+-qi)(pt*i ^-q2)(P3^-+-q-i)= o,
qu'on peut écrire
Deuxième cas. — Les supports sont concourants. — Dans ce cas, une transformation homographique permet de faire coïncider deux des supports avec Ox et Ojk, et le troisième avec la bissectrice de l'angle de ces axes. Les trois systèmes sont alors définis par
x = m^.i-h nu y = o, ' =/>iai4- ?i,
(b) { x = o, y = m2a2-l- n2, t = p*a.±-\- q*, a» = m3a3H-/z3, y = m3 a3 •+- n3 , £ = — (jd3«3+ </3)>
et l'équation représentée prend la forme
(Eb) Piai-t-Çi , Pia%+q^ { ^3^3+^3 =Q
qu'on peut encore écrire
(E'b) Jl__h^ + JiL=N.
ai -{-Si a.2-+- s2 «3+^
Chacune des équations (Ea) et (E6) développée est de la forme
(E) Aa1a2a3-i-B1a2a3-i- B2a3a1-l- B3aia2-H G1a1-f-G2a2+ C3a3 + D = o.
Toute la question revient à mettre une équation donnée du type (E) sous l'une des formes (Ea) ou (E6), en ayant pour tous les paramètres des valeurs réelles.
Eu vue d'alléger la suite de notre exposé, nous allons définir ici certaines fonctions des coefficients et faire quelques remarques relatives à des équations qui s'y rattachent et qui joueront plus loin un rôle important.
Posons
l F0=B1C1+B2C2+B3G3— AD,
(I) J E,= AC/-ByB*, F/=F0— aB/C/, Gf=B,D — CyC*, ( (hj\k = i, 2,3).
Le discriminant du premier membre de l'équation (E) rendu homogène peut s'écrire
( -l-BsGsB^i — ACiC2C3 — BiB2B3D),
et l'on a
(IH) F?-4E,-G;=A (i = i, a, 3).
Si donc on considère les trois équations
la condition de réalité des racines est, pour chacune d'elles,
On
a encore
E,B? H- F;AB; + G/A« = - EyEA|
I E,Cl.+ F,ByC/,+ G,B)=-E,.Gy, Ef D9- -+- F,- d D + G* G? = - Gj G*.
On en déduit que si E#=o, c'est-à-dire si l'équation (cp/,) a une racine infinie, V équation (<p;) a une racine égale à —->
égale aussi à -jt-j» et de même l'équation (cpy) une racine égale
a -~j égale aussi a ■=-,
Enfin, on voit bien aisément que, parmi les trois systèmes E;, F/, G|(*= i, 2, 3), il ne peut y en avoir un composé de trois éléments nuls sans qu'il en soit de même pour l'un des deux autres. La variable dont l'indice diffère de ceux de ces deux systèmes entre alors dans un binôme qui se met en facteur dans le premier membre de (E). Cette équation cesse alors d'établir un lien entre les trois variables, et il n'y a plus lieu, dès lors, d'en rechercher une représentation.
Dans le cas où tous les coefficients de (E) sont différents de zéro, cette proposition se démontre ainsi qu'il suit. On a
AC,— BjBk= o, ByCy-h B*C*- B/C, — AD = o, B,D — CjCk = o.
Tirant A et D des équations extrêmes pour porter leurs valeurs dans l'équation du milieu, on obtient
(BjCj-BtCi)(BkCk-BtCi) = p.
L'un de ces deux facteurs est nécessairement nul ; soit le premier. Rapprochant l'équation qui en résulte des deux extrêmes du groupe précédent, on en conclut que
A B/ Bj Ck i Bk d Gj D " X '
Dès lors, l'équation (E), qui peut s'écrire
a;a/(Aa/,-î- B/,)+ a^Bya^-t- G/) -h a,- (Bf-a/,+ Gy)+ G/,a/,+ D = o,
devient
(a*-+- X)(Aa;ay-+ By«;-f- B,ay-+- Gk)= o,
ce qui démontre la proposition.
Si un ou plusieurs coefficients de (E) sont nuls, la démonstration ci-dessus se modifie un peu dans la forme, mais subsiste pour le fond. Partout, clans la suite, nous supposons donc E/, F, et Gi(i = i, 2, 3) non nuls à la fois.
44o CHAPITRE VI.
158. Formation des fonctions composantes dans le cas de trois systèmes non concourants . — Afin d'éviter toute hypothèse particulière, nous représenterons par j, y, k une permutation quelconque des indices i, 2, 3 et nous supposerons les équations (E), (Ea), [El a) remplacées par celles que l'on obtient avec ce changement de notation des indices.
Sur la forme (E'a), on voit que, pour a,-= — st, le premier membre de l'équation se réduit à un produit de binômes en olj et a*. Or le résultat de cette substitution, dans le premier membre de (E), est
( B; — A st ) olj ak h- ( Gj — Bk Si ) ay- + ( G/, — By Si ) a/, 4- D — C* */.
Pour que ce polynôme se décompose comme il a été dit, il faut
que
(Bi-Asl)(D-CiSi)-(Cj-Bksi)(Ck—Bjsl)=G,
oiij si l'on se réfère à la définition donnée au numéro précédent,
que
<?iM= o.
On trouverait même que
Si donc pj- et pj sont les deux racines de l'équation (<p*), on voit que l'équation (E'a) peut s'écrire
(E"a) M(^+p',)(ay + p;.)(^+pi) + P(a/+PD(«y+p;)(aA+Pl-) = 0.
Les racines p' et p" doivent, d'après cela, être réelles; elles doivent aussi être inégales. Si, en effet, on avait P/=pJi le binôme a/ + 0; se mettrait en facteur commun et l'équation se décomposerait. Donc, d'après ce qui a été vu au numéro précédent, pour que l'équation (E) soit représentable par trois systèmes linéaires non concourants, il faut que le discriminant A soit >> o.
On va voir que cette condition nécessaire est également suffisante en prouvant que, lorsqu'elle est remplie, on obtient toujours pour M et P des valeurs réelles.
Il faut d'abord reconnaître le lien qui doit nécessairement exister d'une part entre les racines du groupe (p;), de l'autre entre les racines du groupe (p;/).
THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. l\l\l
Sur la forme (E" a) de l'équation, on voit que son premier membre devient identiquement nul pour a/= — p^, a* = — p^. Faisant cette substitution dans le premier membre de (E) et annulant le coefficient du terme en ay, on a
La substitution a/= — p' a^= — p/c donne de même
Ap;p;-B^i-^p}+c^°-
Eliminant p'Jj. entre ces deux dernières équations on obtient
E,pJ-B/C/=EyP;-ByGy,
ou, en doublant les deux membres, ajoutante chacun F0 et tenant compte des formules (I) (n° 157),
2E;P;./+F,= 2E;p; + Fy.
On trouverait de même
2E/p; + F/=2EjfcpiH-F*.
Ces deux dernières équations peuvent s'écrire
Pareillement, on obtiendrait
On peut donc dire que les trois racines du groupe (p') d'une part, du groupe (p';) de V autre, donnent une même valeur à la dérivée du polynôme (<p) correspondant .
On peut encore remarquer, en résolvant l'équation (<p*), que
Les racines d'un même groupe correspondent donc à un même signe pris pour y/A.
En résumé, on est libre de choisir parmi les racines de (cp,) la racine p', et la racine p'- , mais une fois ce choix fait, les racines p',. et o'k d'une part, p' et p'J-. de l'autre, sont déterminées sans ambiguïté.
Une ou plusieurs des équations (cp) peuvent avoir une racine infinie (jamais les deux, d'après la remarque finale du n° 157). Dès lors, Ef- étant nul, la quantité aE/pf-f- F; prend la forme indéterminée de o X co pour la racine pi infinie, mais comme elle prend la valeur parfaitement déterminée F; pour la racine p, finie, le critérium indiqué s'applique au moyen de cette seconde racine.
Abordons maintenant le calcul de M et P. Pour cela, remarquons
que l'identification de (W a) et de (E) conduit à huit équations de
la forme
