MR'+PR'^K

où R/, R" et K ont les systèmes de valeurs

R'=pJ, R"=p';3 K = B„

R'=pjpi, R"=?"jP"k, K = G/f

*' =?'i?'j9'k, K'=9]?>pl, K = D.

Prenons deux de ces équations, distinguées par les indices o et i.

Nous en tirons

RïKo-R'oK! " R'o^-R'jKo' Par suite, l'équation (W a) devient

| -(R'1K0-R'0K1)(a/+p;)(a/4-p;)(aA4-pl)=o.

Nous allons voir comment cette équation peut s'adapter à tous les cas possibles caractérisés par le passage à l'infini d'une ou de plusieurs racines p' et p" '.

159. Discussion. — Premier cas : Les six racines p' et p" sont finies. — Dans ce cas, E;, Ey, E* sont différents de zéro. Nous prendrons ici dans le système (S)

Ri = i, r; = i, k0=a,

Ri = P'*> Rï = PÏ, Ki = B*.

L'équation (51) devient alors

(si ) \ (M--B0(«*+p;)(«/+p})(«*+pi)

! ■:-(Api-Bifc)(«/-Hp;)(«y+p;-)(«jfc-hpj) = o.

Deuxième cas : Une racine est infinie. — ■ Soit p'^=oo ('), auquel cas E*=o. L'équation (3it) ci-dessus, divisée par p"k, peut s'écrire

(A ~~ df) (a''+ p;)(a'+ Py)(^+ Pi)

-(Ap'A-B,)(a/+pJ)(ay+P;)(g+l)==o.

Pour pj = go, elle devient

(*2) A(^+p'.)(ay-4-p;.)(a/,+ p'/t.)-(Ap;c-B,)(at-+p;0(ay- + p;) = o.

Troisième cas : Deux racines de même groupe sont infinies. — Soient p" = p^==cc, auquel casEy= E^= o. Nous prendrons ici dans le système (S)

R'0 = i, Ri = i, K0- A,

L'équation (51), divisée par p^p'^, peut alors s'écrire

( A jb ) (a< + P'0(*/+Py)(a*+ Pi)

-(Ap;.p',-C,-)(a,-+pn(g+1)(g+.) = o.

Pour pj == pj = oc, elle devient

(3l3) A(a;+ p;.)K-+- p})(** + P'/,) -(Apjpi- Ct)(ai+ pj) = o.

Quatrième cas : Deux racines de groupes différents sont infinies. — Soient p/= p]t= °°j auquel cas on a encore E/= E*=== o. Nous prendrons ici

Ro — pi» Ro = Pi> Ko — B*> Ri = pJ, Rï = p;., Ki = By.

L'équation (/SI), divisée par p'.-p*, peut alors s'écrire

B*p- " By) (**+ p}) (^ + i) («*+ Pi)

Pi 7" 'VPy

- (B*~ B' pr) f"'* P' )("'■*: ?"i > (pf + ') = °-

(') Lorsqu'une racine est infinie on peut simplifier le calcul des autres en s'appuyant sur les remarques faites à propos des formules (IV) du n° 157.

Pour p' = p£=oo, elle devient

(34) By(«/-h p'.) (a* + p'J + B*(a,-h pj) (ay-h p*) = o.

On voit qu'ici le terme en a^aya^ a disparu, c'est-à-dire que A = o. C'est là ce qui distingue ce cas du précédent.

Cinquième cas : Les trois racines cV un même groupe sont infinies. — Soient pj— Py— ?"kz== œi auquel cas E/= Ey = E# = o. Nous prendrons ici

R'0 = i, Rï = i, K0 = A,

*\ = Pi?j9k> K = ?W'j?"k, K1==D.

L'équation (51) divisée par p" p": p"k peut alors s'écrire

(A^V.)(a''+p;)(ay+p/)(q'+^

^Pi-D,(-+I)(?+I)(g+I)-..

Pour pj = pj = pJJ. = oo, elle devient

(*,) A(a,+ pi )(ayH-P; )(a, + p',) - (ApJ pj p'.-D) = o.

Sixième cas : Deux racines de V un des groupes et une de Vautre sont infinies. — Soient p^ = p'.- = p"k = oo, auquel cas on a encore E; = Ey = E* = o. Nous prendrons ici

R'o = rt, RÏ = PÎ, K0=Bi?

Ri = ?'j?'hi R'î = pJ-Pa' ki = G*'-

L'équation {%) divisée par p^ pj p'^ peut alors s'écrire

pyîJ \pî" + v (ay + p'' )(a*+ 9'k

?J?k n.V- , ."x/'*/ ,Wa*

-(B^-G,-)(ay + pJ)

Pour pj = p"j = p^=: oo, elle devient

(*<0 B/(ay + p})(«/t+ P*) + C*(ct/-h p{ ) = o.

On voit qu'ici encore il n'y a pas de terme en a;aya£, c'est-à-dire que A = o. En outre, B,est différent de zéro, ce qui, avec l'hypothèse faite, entraîne nécessairement By = B# = o.

Résumé. — Si l'on compare à l'équation (Ea) chacune des équations de (SLi ) à (^tc)i on v°it que? pour A >> o, la représentation peut être définie par les formules (a) du n° lo7, les paramètres m, n, p, q étant donnés par les tableaux ci-dessous dans lesquels on les suppose rangés dans l'ordre

mi,

ni,

Pi,

nj,

Pj,

<lji

nu-,

Pk,

qk-

Premier cas — E/, Ey, E# ^é o :

h Pi» ^ Pn

Ap;-B*, piÇApi-B*), B^-Api, P;,(B,-AP'A.). Deuxième cas. — E,, Ey ^ o ; E* = o ( ' ) :

Pii

pj>'

B/,-Ap^.

Troisième cas. — E, -^é o ; Ey, E* = o ; A ^ o :

i, P'n *> PÎ>

A, p^A, o, G,- — Ap}p'A..

Quatrième cas. — E/ ^ o ; Ey, E* = o ; A = o : i, ?'t, i» PÎ>

o, i, i, » pj,

By, p;-By, O, BA.

Cinquième cas. — E/, Ey, E* = o ; A ^ o :

D-AP;.P;.p',.

(>) Dans ce cas A^o nécessairement; car A = o, Ek = o entraînent soit B;= o, soit B.=o, par suite soit E- = o, soit E4 = o.

Sixième cas. — E„ Ey, EA-o; A = o ; B; =^ o ( \ ) : o, i, i, pji

160. Formation des fonctions composantes dans le cas de trois systèmes concourants. — Nous avons vu que lorsque les trois systèmes linéaires sont concourants l'équation (E) est susceptible de prendre la forme (Ef b) qui peut encore s'écrire

N(az--h */) {clj 4- Sj) (a/, H- sk) — ^(«y-+- Sj)(ak-h sk) — tj{ak-\-sk) (a/+ Si) — ^(a/-t- si) (a/-f- S/) = o.

On voit que pour a/= — Si, ay = — sy, a^= — s*, elle se décompose en un produit de binômes. Il en résulte, comme au n° 158, que si, sy, s# sont racines respectivement des équations (<p4), (©y),

Ces trois équations doivent donc encore avoir leurs racines

réelles. Or, si ces racines étaient inégales, l'équation (E) serait

représentable par trois systèmes non concourants, ainsi qu'on l'a

vu au paragraphe précédent, et cela serait contraire à l'hypothèse

actuelle. Chacune des équations (co) a donc nécessairement ici ses

racines égales et, par suite,

Si pi, oj, pk sont ces trois racines, l'équation précédente deviendra donc

(E"b) \ N(*t~h P*) («y +Py )(**+?*) — */(«y-Hpy)(«*-+- p*)

( — fy (<**■+ p/,) (ai H- pi) — tk(cti+ pi) (ay-H pj) = o.

L'identification de cette équation et de (E) donne les huit équations

(a<) NPi—ti=Bi,

(3/) Npj-pk— tjpk~ tkpj= d,

( 4 ) N pi pj pk— tt pj pk — tj pkpi — tk pt pj = D .

(') On vient devoir que les deux autres B sont nécessairement nuls.

Ayant, dans toutes ces équations, remplacé N par sa valeur (i). Ton tire de (2;),

(5/) */=Ap/— B*.

Faisons maintenant la somme de (2/), (2*) et (3y) respectivement multipliées par p/f, p; et — 1 . Il vient

(6y) p*(Àp/— B|) = B*p/-Cy.

De même, la somme de (2*), (3;), (3y) et (4), respectivement multipliées par p*py, — p*, — py et 1 donne

(7/0 py(B;tp;-Cy)=C,p,— D.

Cela posé, nous pourrons calculer £,-, tj, t^ dans tous les cas possibles.

Remarquons d'abord que nous pouvons, au moyen de ces formules, vérifier que chaque équation (cp) a ses racines égales.

Si, en effet, entre les équations (6*) et (7*) nous éliminons pipy, nous obtenons

(8*) E,p,-h Eypy-f- B/,G/,- AD = O.

Si maintenant, de la somme des équations (8*) et (8y) nous retranchons l'équation (8/), nous obtenons

aE/pf-f- F;= o ou

ce qui démontre que p; est racine double de (cp/) et, par suite, que A = o, comme nous l'avions prévu a priori.

Passons maintenant à l'examen des divers cas qui peuvent se présenter.

161. Discussion. — Premier cas: Les trois racines sont finies. — Dans ce cas, E;, Ey, E# sont différents de zéro. D'après (1) et (5) l'équation (F/6) devient

Ap/— B/ Apy— By Ap£— B/. A a/H-pt ay-+-py *k-+-p/c

(U) Apf— Bf | Apy-By \ak-hBk=Q

i; a* H- pi ay-+"Py aA-H-p*

Deuxième cas : Une des racines est infinie. — Soit p*=:ao, auquel cas E#= o. En vertu de (6j) et (6/) l'équation (ll^), multipliée par p*, peut s'écrire

B k p/ — Gy B /, p j — Ci A a/, h- B*

Pour p* = oo, elle devient

B/,p; — Cy B*py — G;

ou (»0

Ba-P/-- Cy B/,ay--h G/ <V+P/

a* -H pi

(Aa*-h BA) = o

Troisième cas : Deux des racines sont infinies. — Soient py=: p^= oc, auquel cas Ey= Ea-= o.

En vertu de (7*)? l'équation (B2), multipliée par py, peut donc

o LL1111

G/fV— D B*<xy+C/

a* -+- pi

— Apya*= o.

Or, pour obtenir (S2), nous avons supposé p* = 20, et, d'après

(6;), pour pA = oo, on a Apy=By. L'équation précédente peut

donc s'écrire

Ci Pi— D B^ay-+C/

a* + pi

Pour pi = oc, elle devient

CiPi-D

— Bya/t = o.

-^ +1 Py

( B/, ay +C/)- By 0Lk = O

C/oCi-i-D

Quatrième cas : Les trois racines sont infinies. — On a donc E| = Ey = Ert=o. L'équation (ÎJ3), multipliée par p,-, s'écrit

C,-at,-+D

+ B^p/ay-f- Byp/OC£ = o.

Or, pour obtenir (Î53), nous avons supposé py=pA = oc, et,

THÉORIE GÉNÉRALE. DÉVELOPPEMENTS ANALYTIQUES. h9

d'après (7a) et (nj), pour py= pA = oo, on a BApf= G/, B/pt= C/f. L'équation précédente peut donc s'écrire

Pour. p; = 00, elle devient

( $4 ) Gf- a/ ■+■ Cy ay + G/, otk -+• D = o.

Ce dernier cas n'a d'ailleurs été envisagé qu'à titre de vérification, car il est de tonte évidence que l'hypothèse A = E; = Ey = E# = o entraîne nécessairement A = B/ = By = B# = o.

Résumé. — Si l'on compare à l'équation (E6) chacune des équations de (ÎB<) à (ÎB4), on voit que, pour A = o, la représentation peut être définie par les formules (b) du n° 157, les paramètres m, n, /?, q étant définis par les tableaux ci-dessous, dans lesquels on les suppose rangés dans l'ordre

mi, nu Pi, Ci,

mJ> nh Pj> <lh mjc, n/t, Pk, q/e-

Premier cas. — E/, Ey, Ea^ o :

i> ph o, Ap£—Bi,

I, ?J, O, Apy—By,

Deuxième cas. — E;, Ey ^é o ; E* = o ( ' ) :