p/j o, BA.pt- — Cy, l> P/' — Ba-, — Ci, o, o, — A, o

Troisième cas. — E; ?é o ; Ey = E# = o ( 2 ) :

ij P«, G/, D,

O, I, By, O.

(') Ici, comme on l'a déjà vu n° 159 {Résumé, deuxième cas), A ^ o nécessairement.

(2) L'équation (*33) montre qu'ici A = B t == 0.

Quatrième cas.

— E/ = E; = Ek = o :

O, I, Cy, 0.

162. Passage aux échelles régulières dans le cas de trois systèmes non concourants. — Si nous considérons l'ensemble des trois systèmes de points cotés

nous en obtenons la transformation homographique la plus générale en prenant

I a7 = Xi//-f- [Ai «p/ H- vt ty,

(') On peut donner des faits algébriques qui viennent d'être examinés l'interprétation géométrique suivante : Si, dans l'équation (E) du n° 157, on regarde a,, a2 et a3 comme des coordonnées courantes, on voit que cette équation représente une surface du troisième ordre passant par les droites du plan de l'infini situées dans les plans de coordonnées, et ayant, par suite, pour points doubles les sommets du triangle formé par ces trois droites.

Lorsque A > o, les plans a.+ p'^ = o et a.-f- p''-= o (i,y = i, 2, 3) se coupent deux à deux suivant des droites réelles de la surface. Lorsque i et j sont différents, la droite correspondante est à distance finie et parallèle à l'axe des coordonnées ak. Si une des racines devient infinie le plan correspondant se confond avec le plan de l'infini.

Lorsque A = o, p'-= p"- pour i = i, 2, 3. Les deux droites parallèles à chaque axe de coordonnées se confondent en une seule, et ces trois droites doubles concourent en un même point qui constitue un quatrième point double de la surface. On saisit ainsi la raison géométrique de l'annulation du discriminant A dans ce cas.

La théorie ci-dessus présentée fournit donc un mode de représentation plane des surfaces du troisième ordre ayant trois points doubles dans le plan de l'infini. Dans ce mode de représentation, à tout point de la surface correspond une droite du plan, à chaque section de la surface faite parallèlement à un des plans de coordonnées, un point coté.

Il suffirait d'appliquer en sens contraire la transformation dualistique qui nous a permis de passer des abaques à droites entrecroisées ( n° 47) aux abaques à points alignés (n° 56) pour obtenir une représentation point par point de la surface sur le plan.

Si A == o, la surface se décompose en le plan de l'infini et un hyperboloïde. La condition A>o signifie que l'hyperboloïde est à une nappe. Lorsque A = o, cet hyperboloïde se réduit à un cône.

le déterminant de la transformation,

H = X2, [ju, v2 '>

étant différent de zéro.

Pour que les points (a|) forment un système régulier, il faut et il suffit que t soit constant et différent de zéro, c'est-à-dire que dans A3/;-j- p^'f/H- v3^- le coefficient du terme en ol; soit nul et le terme constant différent de zéro.

Nous allons rechercher maintenant si, par un choix convenable des paramètres X, |x, v rendant H différent de zéro, on peut réaliser la condition précédente pour les trois systèmes linéaires d'une équation (E) ou seulement pour deux et même pour un d'entre eux.

Si l'équation est représentable par trois systèmes non concourants (A >• o), on peut prendre comme formules (a) les formules (a) du n° 157 où l'on remplace i , 2, 3 par 1, j, k. Les formules (a') sont alors

/ X = (XiWiH- ViPi)CLi

x = (PiPj -+- v'i™j)*j x — (Xi/? k -+- f*i mk)zk

( a' a ) ( 7 = ( P2/V H- v2 ni/ ) a,-

jk = (l2pk + \^mk)y.k

t = (X377^-f- V3pi)GL£ + X3rt, -(- V3^-,

* = ( P*/V + v3 /?V ) ay + f*3 ?y + v3 »y,

* = ( A3/?A: -h p3 mk)ak^r X3 £/, -f- fX3 ft/,.

Les équations exprimant que chacun de ces systèmes est régulier sont donc, d'après la remarque faite ci-dessus,

(rta)

Remarquons tout d'abord qu'en vertu des conditions ci-dessus on ne saurait admettre une solution dans laquelle plus d'un des paramètres À3, u3, v3 serait nul.

-+- Vj