JU

nk,

avec la condition

^3 ni ■+■ v3^/ ^ 0,

A3JDA- ■+- \**mk— 0,

^3q/c-+- Hz nk^ 0.

Tout revient donc, dans chaque cas, à essayer de satisfaire au plus grand nombre possible des équations (v>a) en observant cette condition. Mais, si cette seule condition est remplie par une solution, les trois conditions inscrites en regard des équations (r\a) sont satisfaites. En effet, si, X3 et v3 n'étant pas nuls à la fois, on

avait

l3mi-JrVspi= o et X3/ij--+- VsÇi = o,

m; ni

il en résulterait — - = — • Par suite, comme on le voit en se re- Pi qt

portant à la forme (Ea) de l'équation (E) (n° 157), a, disparaîtrait de cette équation. De même pour les deux autres équations (via).

Pour que les trois systèmes puissent être rendus réguliers à la fois, c'est-à-dire pour qu'il y ait compatibilité entre les équations (7) a), on peut remarquer qu'il faut que

m1m2mi-{-pip2P3 = o,

c'est-à-dire, si l'on se reporte à (Ea), que

On verra plus loin que cette condition nécessaire n'est pas suffisante.

Les équations (via) ne contenant que les éléments de la troisième ligne du déterminant H, on peut disposer arbitrairement de ceux des deux premières lignes, à la condition toutefois de ne pas rendre H identiquement nul.

Si, par exemple, X3 est différent de zéro (ce qui est partout le cas dans ce paragraphe), on pourra prendre

li — 0,

Pi = o>

Vf = I,

ce qui donne H = — X3.

Dans cette hypothèse, les formules (a' a) deviennent

lx=Pi*i -^qu y — °> t = (ksmi-±-vzpi )a,

( a a0 ) | x = rrij ay- + nJ} y = pj ay + qh t = ( \LZpj -+- v3 m) ) a,- ( 2? = o, y = mk<xk^-nk, t = ( l3pk 4- \*-zmk)ak

■+■ v3 qi,

PȂJ

hq/c

-+- part*

On voit que les supports sont pour (a,) l'axe des #, pour (a*) l'axe desjK, pour (ay) la droite

v3a?H- ix3y = i.

Gela posé, nous allons chercher, sous la condition sus-énoncée, à satisfaire à une ou plusieurs des équations ('i\a) dans chacun des cas que nous avons été amené à considérer (n° 199).

163. Discussion. — Premier cas : E/, Ey, E#^=o. — Les équations (rta) sont ici

[J-3 H- v3 == o, (B/, - Api)X3+ (ApJ - BA.)fx8= o.

Elles sont généralement incompatibles, mais on peut toujours satisfaire aux deux premières en prenant (')

Les formules (aa0) deviennent donc

!x — cet + p'i, 7 = o, * = p$ — pj,

x = «y+ P/> 7 = «/ + Pyi * = PÎ — Py>

. * = <>, r = (Ap'^ — B*)(«A+pl). * = (pj — p*)(A.aA-hB*).

En outre, l'équation (<7y) est ici

Si A = o, le système (a*) devient lui-même régulier. Deuxième cas : Ei? Ey^o; Ea=o. — Les équations (r a) sont ici

( ' ) Il faut bien remarquer que, dans ce cas comme dans tous ceux de ce numéro et du n° 165, nous faisons un choix particulier des paramètres, compatible avec les équations de condition correspondantes, mais que nous pourrions faire ce choix d'une infinité d'autres façons.

On satisfait encore aux deux premières en prenant

^3=I> fx3= I, V3 = — I.

Les formules (a#0) deviennent donc

i x = xi -h pj, y = o, t = pi — pï,

(aa2) Ja? = a/-+-p>, 7 = a/-h p}, * = p} — p},

(57 = 0, jk = A (a* -h p'k), t = Aak-hBk.

Ici, comme on Ta déjà remarqué au n° 159, A ne peut pas être nul, et, par suite, le troisième système n'est jamais régulier.

Troisième cas : E/^o; Ey, E/c=o; A^o. — Les équations (r\a) sont ici

ÎX3+V3 = o, v3 = o, fX3= o.

On satisfait à la première et à la dernière en prenant

X3 = I, fX3= o, v3 = — T.

Les formules (a<z0) deviennent donc

1 x = a£ h- pî, 7 = 0, * = p;. — p;;,

(a«3) <a7 = ayH-p'/, y = i, £ = — (ay -h py),

I a? = o, 7 = A(a/,+ p'/,), « = G,— Ap)p'A..

Quatrième cas : E/^o; Ey-, E*=o; A = o. — Les équations {'i\a) sont ici

On satisfait à toutes trois en prenant

^3 = Ij ^3=0, V3=— I.

Les formules (a<?0) deviennent

(aa4)

r = ây--hp},

r = By(a/,H-p'/t),