BA

Cinquième cas : E;, Ey, E*= o; A^ o. — Les équations (r, a) sont ici

On ne peut ici, sous la condition requise, satisfaire qu'à une seule de ces équations, par exemple à la seconde en prenant

Les formules (a«0) deviennent donc

/ 37=1, J = o, t=ar+-p'h

(a a») / a?==ay-H-py, 7=1, *=i,

( # = 0, j = A(a/,-f-p'A.), ^A(a/,+ p'/t)-+-D — Apjpyp,,.

Sixième cas : E/, Ey, E# = o; A = o. • — Les équations (?,«)

sont ici

(tq«6) j v3 = o,

( Pa = o.

Cette fois on satisfait aux deux premières en posant encore

Les formules (a«0) deviennent donc

ar = af -+- pj, 7 = o, * == 1 ,

(aa6) [x — aj-h p}, JK = t, t — i,

a? = o, .y==Bt-(a*+p!fc)î ' = B/(a/,+ pi) -+- C,-.

164. Passage aux échelles régulières dans le cas de trois systèmes concourants. — Lorsqu'une équation appartient à cette catégorie (A = o), on peut prendre comme formules (a) les formulés (b) du n° 157, où l'on remplace 1, 2, 3 par i, j , k. Les for-

mules (a') du n° 162 deviennent alors

/ x — (X! mi -f- vipi)<*i -f- li ni -h vj 97,

37 = ( fX, my -+- Vt/?y) «y + fX, 71/ H- Vt £/,

37 = [(Xi+ [-r-!)/^-— V1/?/t]a/,+ (X1+ IJ-j)/!/,— v^Ari

j = (X2m; -\-VîPi)&i -+- X2fti -+- v2g7,

(a'b) | j = (fX2myH-V2jpy)ayH- f^AlyH-V^y,

J = [(X2H- |x2)m/,— V2j%]a*-+- (X2+ lJ-2)n/c—v2q/„ t =zÇk3m-i-i- vspi)*i -h X3 /^ + v8gr/,

« =([X3my+V3py)ay-!- [a3/lyH-V35ry,

\ * = [(X3+ ;x3)/nA— v3p/r.]a^+ (X3-i- ;x3)^a.— v3^a-.

Les équations exprimant que chacun de ces systèmes est régulier sont, d'après la remarque du n° 162,

[ X3mfH- v3/>/ = o, avec la condition X3/i/+ v3^^o,

(?] 6) j (X3 /?Zy 4- V3/?y = O, » » fl3 Uj + V3 ^y ^ o,

( (X34-iJ.3)w/.— v3/?/„ = o. » v (X3-t-p3)7i/t — v3gr;t^o.

On voit que ces conditions ne permettent pas d'avoir v3 = o, en même temps que X3, p.3 ou X3 -f- jjl3 ; mais on peut prendre X3 = [jl3= o, avec v3 ^ o. En outre, le raisonnement déjà fait au n° 162 montre que si la condition précédente est remplie par un système de valeurs satisfaisant à une des équations (?\b), les conditions inscrites en regard des équations (t,6) le sont aussi ipso facto.

Remarquons encore que pour que les trois systèmes soient réguliers, c'est-à-dire pour qu'il y ait compatibilité entre les équations ('f[b) il faut que

mip2p3-\- m2p3pi-^ ni3plp2= o,

c'est-à-dire, si l'on se reporte à (E6), que

Gomme précédemment, cette condition nécessaire n'est pas suffisante, ainsi qu'on le verra par la suite.

Les équations ("/]&) ne contenant que les éléments de la troisième ligne du déterminant H, on peut disposer arbitrairement de ceux des deux premières lignes, à la condition toutefois de ne pas rendre II identiquement nul.

Si, par exemple, 13 est différent de zéro, on pourra prendre

X1== O, fA, — o, vt= I,

X2 = O, fÀ2 = I , v2 = o,

ce qui donne H = — a3. Les formules (od b) deviennent alors

x =piXi+ qi, y = o,

x = iV «y ■+- qj* y'= mi «y -+- nh

X — — (pk*k-*r q/c), y = mka.k-Jr nk,

t = (X3 mi ; + v3Pi)*i + A3 /i* H- v3 gv,

* = (f*a»VH- Hpj)*j-ï- P*nj+v»qj,

\ t= [(X3-f- lJ-s)mk— v3/?/,]aA-t-(X3-h [a3)ft/,— v3grA..

Si X3 = o, mais que v3 soit différent de zéro, on pourra prendre

X4== 1, ^1= Q, Vi= o,

X2=0, |JL2=I, V2 = O,

ce qui donne H = v3. Les formules (a' 6) deviennent alors

x — midi-h rit, y — o,

# = o, y = injaj-hnj,

£ = (X3m/-HV3/?,-)a,--h ^rii-hv3qt, t — (iLZ mj H- v3/?y ) a, -h ;a3 rcy- -h v3 gry,

* = [(X3+ {J-s) mk— v3jpA]aA.+ (X3+ \H)nk—Vzqk.

Gela posé, envisageons chacun des cas définis au n° 161.

165. Discussion. — Premier cas : E/, Ey, EA^o. — Les équations (vjè) sont ici

!X3 = o, Ps = °> X3+ ^3 + Av3= o.

On peut, sous les conditions requises, satisfaire dans tous les cas aux deux premières en prenant

Puisque À3 est nul et v3 non, il faut avoir recours aux formules

ij58 CHAPITRE VI.

(zb'{)) qui deviennent

Ix — ai-h pi, 7 = 0, t = A pi— Bi,

x = o, y = ay+ py, / = A py — By,

a? = a/,-t- p*, 7 = «*+ pAr, £ = Aa/c-t-B*.

On voit que le support de (a*) est la droite y = x. Si A= o, le système (a*) devient lui-même régulier. Deuxième cas : E;, Ey ^ o ; E* = o. — Les équations (tj 6) sont

ÎX3 = o, jia— B*v3= o, v3 = o.

On satisfait aux deux premières en prenant

^3 = O, \LZ— B*, V3— I.

Les formules (*&'0) deviennent donc

| a? = a; + p,-, 7 = o, « = B*p; — Gj,

(*&*) ja? = 0, J = ayH-py, / = BA.py— G/,

l a? = i , 7 = i , £ == A ajfc -h B/,.

Ici, ainsi qu'on l'a déjà remarqué au n° 161, A ne peut pas être nul.

Troisième cas : ^iy^- o ;«Ey, E#= o. — Les équations (?) b) sont ici

On satisfait aux deux dernières en prenant

^3=', H-3=Ii v3=o.

Comme X3 est différent de zéro, on a recours, cette fois, aux formules (zb0) qui deviennent

X = C;a;+ D, 7 = 0, t = Xi -+- p.-,

(a 63) ^a?= BA.ay, 7 = 1, * = l,

^ = — Bya/,, 7 = 1, t = 1.

X S. CiO-i,

X = CjCLj,

Quatrième cas : E;, Ey, E# — o. — Les équalions (rtb) sonlici

On satisfait à toutes trois en prenant

Les formules (a60) deviennent alors

166. Résumé général. — Tous les résultats qui précèdent peuvent se résumer dans le tableau suivant où une quantité positive est désignée par +, une quantité non nulle quelconque par &. Si l'un de ces signes est souligné, c'est qu'il découle nécessairement des autres hypothèses placées sur la même ligne.

Formules A. Et. E-. EA. A. Systèmes réguliers. correspondantes.

0000 (a,-), (a/), (a*) (aaL

-h o 0 o 0 (a/), (ay) (cLa2

H- 0 o o o (a/), (ay), (a/„.) (aa4;

-h O O O 0 (ay) (aaô!

H- o o o o (B/^o), (a,-), (ay) (aa6;

o 0 e 0 0 (a^), (ay) (a#i>

o 0 0 0 o (a,-), (ay), (a*) (aè^

o 0 0 o 0 (a/), (ay) (a^2) n° 16o

o o o o 0 (ay), (a*) (a&3)

o o o o o (a/), (ay), (a*) O&O

On peut donc énoncer cette proposition :

Pour qu' une équation (E) soit représentable par trois systèmes linéaires de points alignés, il faut et il suffit que son dis-

criminant A soit supérieur ou égal à zéro. Ces trois systèmes linéaires peuvent être rendus réguliers lorsque, A étant nul, ou bien les quantités E/, Ey, E# sont toutes trois différentes de zéro, ou bien deux de ces quantités sont nulles, la troisième et A étant ensemble ou nuls ou non nuls.

Si E/, E7-, E/v étant nulles, A et A ne le sont pas, un seul des trois systèmes linéaires peut être rendu régulier.

Dans tous les autres cas on peut rendre réguliers deux de ces systèmes.

Soit, par exemple, l'équation de la multiplication

ala2 a3 = O.

Ici,

Donc, d'après la septième ligne du tableau ci-dessus, cette équation sera représentable par trois systèmes linéaires non concourants dont deux réguliers seulement. La fig. ^3 en est un exemple.

Soit maintenant l'équation

a.x a2 a3 ou

a2 a3 -f- a3 a! — at a2 = o.

Donc, d'après la neuvième ligne du tableau, cette équation sera représentable par trois systèmes réguliers concourants. C'est ce que montre la fig. 76.

G. — Représentation des équations quadratiques au moyen