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Autrement dit, la cote de chaque point fait connaître le rapport des segments déterminés sur AB par ce point; d'où le nom A"* échelle segmentaire.
Si nous prenons pour la longueur de l'échelle entre les limites o et 00 la valeur L=2oo°*™, ce qui donne pour le module /=ioo™™, et si nous adoptons pour minimum de l'intervalle graphique m = i™™, nous voyons, en appliquant le procédé indiqué au n** S que l'échelle peut être constituée {fig- 5) (*) au moyen des échelons suivants (^) :
De o à o,5 o,oi
4 lo 0,5
3o 5o lo
(') L'échelle construite avec le module indiqué ici a été réduite par la Photographie pour donner \^fig. 5.
(') Ces échelons ont été déterminés rigoureusement par la condition de ne pas descendre au-dessous du minfmum d'intervalle graphique qu'on s'est fixé. M. Prévôt, qui a une grande habitude du maniement pratique des abaques, estime qu'il vaut mieux sacrifier un peu cette condition pour n'opérer les changements d'échelon que sur des nombres constitués par des puissances de lo multipliées par 1,2 ou 5. Par exemple, dans le cas ci-dessus, on prendrait :
De là a o,o5
ÉQUATIONS A DEUX VARIABLES. l3
On voit qu'ici la portion de l'échelle correspondant ^"'6- 5à la variation de a de loo à oo est un peu inférieure à
Mais si, dans une application, a doit varier entre telles limites que l'on veut, comprises dans cet intervalle, par exemple de lOO à 200, on n'aura qu'à construire entre ces limites une échelle ayant la longueur convenable pour l'application qu'on aura en vue.
Nous jugeons inutile d'insister davantage sur la construction des échelles usuelles. Ce qui précède suffira, sans doute, à montrer la voie à suivre dans des cas analogues.
6. Echelles dérivées. Etalons de graduation, — Lorsqu'on possède une échelle de la fonction /(a), il est très facile de construire l'échelle de la nouvelle fonction obtenue en y remplaçant a par une certaine fonction de a et, plus particulièrement, par/>a + 5r, ce qui est le cas le plus ordinaire.
La nouvelle échelle est alors dite dérivée de la première, et celle-ci prend le nom à! étalon. Les échelles construites précédemment, si on les envisage à ce point de vue, seront donc appelées : étalon régulier, étalon logarithmique, étalon segmentaire.
Supposons, par exemple, qu'on ait à construire sur un axe l'échelle de laf onction log(/>a -h q). On part de la valeur a = a et l'on commence à construire l'échelle avec un certain échelon 8.
Ayant appliqué l'étalon logarithmique le long de l'axe à graduer, on marque d'abord un trait en face du point de l'étalon dont la cote est pa -h gr, puis, à partir de là, d'autres traits en face des points de cet étalon pris de/?8 en/?0. Comme, en général, />8 a une valeur simple telle que 0,1, 0,2, o,5, cette opération se fait très rapidement. Elle n'est, en tout cas, pas plus compliquée que celle qui consiste à porter sur un axe la graduation /?a -h y au moyen de l'étalon régulier.
On pourra même énoncer cette opération en disant tout sim-
l4 CHAPITRE 1.
plement que Von porte la graduation poL-\-q au moyen d'un étalon logarithmique.
Tout dessinateur devant aujourd'hui avoir sous la main un étalon logarithmique (graduation de la règle à calcul) aussi bien qu'un étalon régulier (graduation du double-décimètre), on voit qu'aw point de vue de la simplicité de la construction il sera indifférent d'adopter une solution comportant le tracé de l'échelle soit de /(ol), soit de log/(a). On trouvera dans la suite de l'Ouvrage de nombreuses occasions d'appliquer cette remarque, l'emploi des échelles logarithmiques y étant très fréquent.
7. Echelles transformées. Echelle linéaire générale. — On peut également déduire d'une échelle donnée d'autres échelles par application de transformations géométriques simples ^ les nouvelles échelles ainsi obtenues sont alors dites transformées de la première.
L'exemple le plus simple qui puisse être donné d'une telle, transformation est celui de l'échelle linéaire la plus générale (*), qui se déduit homographiquement d'une échelle régulière.
Une telle échelle est définie par l'équation
ma -h n ^
X = 1 avec 0 = ma — np ^ o.
poL-hq ^ ^
Si, sur le support A' A de l'échelle, nous reportons l'origine au
Fig. 6.
point A' ^fig. 6) correspondant à la valeur a' de la variable, l'équa-
(') Il est essentiel de remarquer que le terme de linéaire^ ici défini, ne doit pas être confondu avec celui de rectiligne, qui désigne les échelles dont le support est une ligne droite, quelle que soit leur graduation.
ÉQUATIONS A DEUX VARIABLES. l5
lion qui définit l'échelle devient
Par le point A' menons un axe A'B de direction quelconque, sur lequel nous porterons une échelle régulière d^ intervalle également quelconque, mais telle que son point cfJ coïncide avec le point A'. Cette échelle sera des lors définie par une équation de la forme
La droite joignant les points A et B, cotés a sur Tune et l'autre échelles, a pour équation, par rapport aux axes A' A et A'B,
ou
k{p'a -+- q')\ -u rj\ = X-8ra — a').
Cette équation renfermant le paramètre a au premier degré, la droite AB passe par un point fixe P, qui sera dit le centre de rayonnement.
Pour construire ce centre, il suffit de prendre les couples de points A" et B'', A''' et B'" correspondant à deux valeurs quelconques a!' et a"' du paramètre, et de prendre l'intersection des droites A'B'' et A''' B'''.
L'échelle régulière portée sur A'B, projetée à partir du centre P, donne sur Pi! K C échelle linéaire demandée,
" Remarque, — Si Ao et A„ sont les points cotés o et oo, on a, pour les abscisses de ces points,
Xq ■= — 9 Xn = — •
Donc
mai -^ n n oa
/\() i\ ^^ X —^ Xy)
pcc-h^cj q q(p^^g)
P P^-^ q p(poL-^ q)
OU, par suite,
AqA p
AAoe ~ q
l6 CHAPITRE I.
Cette dernière égalité montre que, lorsqu'on a marqué les points Ao et A„, l'échelle linéaire peut être obtenue comme dérivée; d'un étalon segmentaire de même longueur (n° o, 3**, et n»6).
8. Echelles iso grades. — Nous avons supposé jusquMci que pjg ^ l'échelle était construite pour des valeurs de la variable croissant par échelons égaux. Cela conduit, pour toute échelle autre qu'une échelle régulière , à des points irrégulièrement espacés sur la droite servant de support. Rien n'empêche, si l'on préfère avoir des points régulièrement espacés, de satisfaire à cette condition en sacrifiant alors l'égalité des échelons. On obtient ainsi ce que nous appelons une échelle
- '•'" isosrade,
3..6 7=/(GCi)-/(a)=/(aO-/(«i)=/(a3)-/(»î)=....
3.81 La détermination de ai, a2, as, ... se fera très aisément 3.99
Le principe de la construction d'une telle échelle est bien simple. Partant de la valeur «, et s'étant donné, en outre du module /, Tlntervalle constant / entre les points de division successifs, on détermine les cotes ai, a2, as, ... de ces points par les équations
1, 17 si l'on possède une Table de la fonction /"(a). On n'aura qu'à relever les valeurs de l'argument correspondant à des valeurs de la fonction croissant en progression arithmétique.
\udifig, 'j donne l'échelle Içgarithmique isograde con-
6,3i struite de o a 10 avec 1=^ i25'""*, i=z 2'"",o.
Le défaut d'une telle disposition est d'exiger une chiffraison complète, au lieu que, avec les échelles normales, comme nous l'avons indiqué dans la remarque finale du n** 2, on peut n'inscrire des chiffres que de loin en loin, comme sur un double-décimètre. Nous en signalerons plus loin un avantage (n° 29, 2°).
9. Abaques à échelles accolées, — Prenons d'abord l'équalion à représenter sous la forme
qui est très fréquente dans la pratique.
Supposons construites, de part et d'autre d'un même axe et à partir de la môme origine, les échelles
x = lat et iF = //i(aci).
Dès lors, deux valeurs de ai et de a2, se correspondant en vertu de l'équation précédente, seront inscrites en face d'un même point de l'axe supportant les deux échelles. Il suffira donc, étant donnée l'une d'elles, ai par exemple, de lire la valeur de aj correspondanty sur la seconde échelle, au point coté (i\ sur la première.
Si (i\ a pour limites ax et 6|, on construira l'échelle (a, ) entre ces limites et l'échelle (a2) entre les valeurs correspondantes a^ et &29 données par
Exemples :
!• Abaque du nombre probable des écarts, — Si la fonction S{t) est . définie par l'égalité (*)
= -^ f'e-rdt,
on sait que le nombre probable N, sur 1000, des écarts inférieurs, en valeur absolue, à celui dont le rapport à l'écart probable est p, est donné par
Preuant comme module / = o"'",i3, on aura l'abaque de cette équation en construisant sur un même axe les deux échelles
a7=o°"»,i3N et ar — 1 So"^"* e( p ).
(») On possède les Tables de cette fonction. Voir notamment le Calcul des probabilités de M. J. Bertrand, p. 839.
On obtient ainsi Ufig, 8, empruntée au TraUé de nwellement de haute précision, de M. Lallemand (i).
Fig. 8.
Si
MO
SOO
tl
MO
(*) Page 227 du tirage à part de cet Ouvrage, extrait du Volume : Lever des plans et nivellement de Y Encyclopédie des Travaux publics (1889), c' P^gc 5^5 de ce Volume.
>.** Abaque de la dépression de l'horizon, — La formule qui fait connaître, en minutes, la dépression 8 de l'horizon de la mer en fonction de l'altitude h, en mètres, de l'œil de l'observateur au-dessus du niveau de la mer, lorsqu'on tient compte de la réfraction, est
Si, prenant pour module / = 8"°*, on construit sur le même axe les deux échelles
et
on obtient la yî^. 9, empruntée au Mémoire de M. Favé sur les Éphémérides graphiques (*).
W? JS" 30" 2S
l|ii|IV|Vi'[W|'ikyiiwi'|il|\i|^J^
Mil. Il '
ir
I ifriifiiririii
rm
rr
Les calculs nautiques s'effectuant encore à Taide de la division sexagésimale du cercle, l'intervalle correspondant à chaque minute d'angle a été divisé en six parties égales, de sorte que l'échelle de la dépression est divisée de 10 en 10 secondes. D'après ce que nous avons dit à propos de rinterpolation à vue (n° 4), un bon lecteur obtiendra donc sur cette échelle la dépression à i seconde près.
Par exemple, pour h = 15°, on lit 0 = 7' 7'.
Remarque. — Nous avons supposé les deux échelles portées sur le même axe, mais nous pouvons tout aussi bien les supposer portées sur deux axes parallèles, les points se correspondant de l'un à l'autre sur des perpendiculaires à leur direction commune, qu'on pourra mener par les points de division de l'une des deux échelles, (a2) par exemple.
