Inversion des échelles, — Reprenant l'équation

»2=/l(Xl),

(') Annales hydrographiques; 1894.

supposons qu'on la résolve par rapport à a|. Elle devient alors

«i=/i(«î)- Les fonctions /i et/2 sont dites inverses l'une de l'autre.

Fig. 10.

oi.

MO

SOO

MK>

On pourrai I construire l'abaque de l'équation mise sous cetle

nouvelle forme ainsi qu'on l'a fait précédemment, mais si le premier abaque a déjà été construit, l'établissement du second est immédiat. Il suffit, en effet, après avoir disposé le long d'un axe une échelle régulière pour ai , d'inscrire de l'autre côté de l'axe les valeurs correspondantes deaa, relevées sur le premier abaque.

Les échelles qui accompagnent l'échelle régulière sur l'un et sur l'autre abaque sont dites, comme les fonctions correspondantes, inverses l'une de l'autre.

Par exemple, si l'on opère l'inversion de l'échelle de l'abaque de \dLjig. 8 on obtient l'abaque de \^fig, lo, qui se rencontre dans le Cours d^ Artillerie du commandant Jouffret (* ).

11. Abaques à deux échelles irrégulières. Échelles logarithmiques, — L'équation entre ct.^ et a2 peut encore être mise sous la forme

/i(ai)=/î(«»)»

soit qu'on ne puisse, par les procédés de l'Algèbre élémentaire, dégager du signe fonctionnel ni ai ni a2, soit qu'on ait intérêt à adopter pour l'une des variables une échelle spéciale. Il arrivera notamment que, en vue d'avoir pour l'une des variables une approximation relative constante, on la représentera par une échelle logarithmique.

La construction de l'abaque dans cette hypothèse est tout aussi simple. II suffît de placer, de part et d'autre d'un même axe, les échelles définies par

x=//i(a,) et x = lft{0Lt).

Voici, à litre d'exemple, l'abaque de l'équation

tangai = sinaj,

dressé par M. Lallemand avec /= o", i [fig- 1 1).

(*) Cours d* Artillerie : Les Projectiles^ p. ii8. (Fontainebleau, i88i.) Le commandant JoufTret considérant non pas la valeur absolue des écarts, mais ces écarts eux-mêmes pris avec leur signe, l'échelle se reproduit symétriquement de part et d'autre du zéro, les cotes de l'échelle du nombre probable des coups étant diminuées de moitié.

Si. Inéquation étant mise sous la forme

(I) ai=/»(aj),

on adopte pour la variable ai réchelle

(•2) ^ = 9i(ai),

l'échelle de la variable a^ s'obtiendra par l'élimination de a^ entre

Fig. II.

.scr

équations (1) et (2), ce qui donnera

Si l'élimination peut se faire sous cette forme explicite, on est ramené au cas précédent. Sinon, après avoir construit réchelle (tti), on calcule les valeurs de ai qui, en vertu de l'équation (i),

correspondent à un certain nombre de valeurs de a, et, en face des points ainsi obtenus sur Téchelle (ai), on inscrit ces valeurs de a2. On obtient de cette façon Péchelie (a2) sans avoir eu à efiectuer l'élimination algébrique destinée à faire connaître l'équation (3).

Exemple : Abaque auxiliaire pour le calcul de V erreur probable d'une nivelée, — Dans la détermination de l'erreur accidentelle probable d'une nivelée par diagrammes anamorphoses, l'abscisse X et l'ordonnée Y, à Torigine, de la droite de répartition sont données, en décimillimètres, par les formules

(I) X = 6,447^/2,823 — lOgYJ,

en fonction de l'erreur probable 7;, qui est représentée par une échelle logarithmique.

L'abaque de l'équation (2) se construit immédiatement, / étant le module, au moyen des formules

a7 = /log7), a? = /(log665 — logY).

En prenant / = 1 1*™, on obtient ainsi l'échelle de gauche de la Jlg. 12 (*). Pour construire directement l'échelle (X) de l'équation (i), il faudrait, après avoir éliminé t) entre cette équation et l'équation

x= /logT), ce qui donne

tirer de là x sous forme explicite, ce qui ne se peut pas. On est donc obligé de procéder comme il vient d'être dit, c'est-à-dire de calculer les valeurs de X pour un certain nombre de valeurs de t] et de marquer les points correspondants en se servant de l'échelle de r^. On obtient ainsi Téchelle de droite de la^ï^. 12.

Remarque, — Nous avons supposé jusqu'ici que les échelles étaient toujours construites sur des droites. C'est en effet ce qu'il j a de plus simple; mais rien, le cas échéant, ne s'opposerait à

(') Cette figure reproduit \a fig. 77 du Traité de nivellement de haute précision de M. Lallemand.

H^ CHAPITRE r.

ce qu'elles fussent disposées le long d'une courbe, si, par exemple, ' les valeurs de l'une des variables provenaient d'un premier abaque où celte variable serait nécessairement représentée par des points cotés distribués sur une certaine courbe.

Kic ;

12. Abaques cartésiens à deux variables. — On peut affecter à chacune des deux variables une échelle régulière en établîssaiit le lien entre points correspondants par l'intermédiaire d'une courbe.

Imaginons que l'on porte sur deux axes rectangulaires Oa: et O^ les échelles

et que, par les points de division marqués sur chacun de ces axes, on leur élève des perpendiculaires.

Si les valeurs ai et k, satisfont ensemble à l'équation

les perpendiculaires élevées aux axes correspondants parles points cotés a, et aa se coupent en un certain point. Les points répondant ainsi aux divers couples de valeurs a., et oc, satisfaisant à

Aquitions a deux variables.

l'équation (i) sont distribués sur une certaine courbe C qui port<!e aux axes Ox et Oy, a pour équation

Kr^)-°-

Les divers points de la courbe C, déterminés individuellement, sont facilement marqués sur le plan grâce au quadrillage ci-dessus défini, et l'on voit que la courbe C obtenue en joignant tous ces points suffit à constituer un abaque de l'équation (i). Un tel abaque dérivant de l'emploi des coordonnées cartésiennes sera dit cartésien .

Fig. i3.

tz

tz : =