I. — Abaques cartésiens. Anamorphose

16. Abaques cartésiens à trois variables. — Soit à construire un diagramme coté pour l'équation

L'idée qui se présente tout d'abord à l'esprit est celle-ci ; donnons à l'une des variables, de préférence à celle qui sera le plus généralement calculée en fonction des deux autres (*), ai, par exemple^ une valeur déterminée. Nous aurons alors une équation entre les deux variables a^ et a2 que nous pourrons représenter, ainsi que cela a été indiqué au n^' 12, au moyeu d'une courbe tracée sur le quadrillage défini par les équations

(ai) ar^/ja,,

/i et I2 étant des modules choisis en vue de la meilleure disposition.

L'équation de cette courbe sera

( ' ) Bien qu'un abaque à irois variables permette, en général, indifTéremment le calcul d'une des variables en fonction des deux autres, il convient, principalement pour la limitation du diagramme, de distinguer celles que l'on a le plus habituellement à considérer comme indépendantes. Dans la pratique ce choix n*est pas douteux, attendu que, dans la plupart des formules représentées, c'est toujours la même variable qui est prise pour inconnue.

fiQDATIORS A TROIS VAUABLES. ABAQDES A ENTBECBOISKnEKT. 33

Cette courbe le long de laquelle l'élément ccj conserve une même valeur a été dite par Lalanoe une courbe d'égal clément, puis par l'auteur allemand Vogler une courbe isoplèlhe (Ï30<;, égal; raTktjOsç, quantité). Ce dernier terme a été depuis lors adopté par Lalanne. Nous dirons tout simplement une courbe cotée.

CoDstruisons de même les courbes répondant à une série de valeurs de ïj, croissant par échelons réguliers, en aj'ant soin d'i'nscrire à côté de chacune d'elles la valeur de «g correspondante.

Remarquons d'ailleurs qu'il sufGra de tracer la portion de chaque courbe comprise à l'intérieur du rectangle formé par les perpendiculaires élevées respectivement à Ox et à Oy par les points correspondant aux valeurs limites ai et 6, de ce,, fc-, et i, de «j, qui sont des données de la question, puisque nous avons supposé que et, et 0.3 étaient les variables indépendantes.

Nous obtenons donc, à l'intérieur d'un rectangle quadrillé (fig- 19)1 un s;ystème de courbes cotées qui nous fournît la re-

Fig. 19.

présentation demandée dans les limites admises pour tes variables indépendantes. Ce rectangle quadrillé figurant une sorte de damier (en grec, Sia^), on a donné à ce genre de diagrammes le nom d'abaques qui, par voie d'extension, a fini par désigner toute espèce de diagramme coté.

Faisant une fois pour toutes la convention de désigner par les

termes d'horizontale et de verticale les parallèles respectives à

Ox et à O^, nous pourrons énoncer le mode d'emploi d'un tel

abaque, en vue d'obtenir la valeur de aj lorsqu'on s'est donné a, et a2, de la manière suivante : lire la cote aj de la courbe passant par le point de rencontre de la verticale cotée t.^ et de V horizontale cotée ol^*

Par exemple, sur la fig. 19, pour ai = 2, a2=5, on aaj=: 4«

Il va sans dire que cette lecture suppose, le cas échéant, le secours d'une interpolation à vue. Par exemple, sur la fig. 19, pour tti = 4 > 5, tta = 2,5, on lirait aj = 3,5.

Nous avons admis que l'équation considérée servait de préférence à calculer as en fonction de ai et aj, mais on voit immédiatement que l'abaque permet tout aussi bien d'obtenir ol^ ou 0L2 lorsque l'autre de ces deux variables est donnée ainsi que as.

Par exemple, aj et as étant données, on aura ai en lisant la cote de la verticale passant par le point de rencontre de l* horizontale cotée 0L2 et de la courbe cotée a|.

Les abaques ainsi constitués, dérivant directement de l'application des coordonnées cartésiennes, sont dits abaques cartésiens. Terquem a remarque qu'ils peuvent être considérés comme fournissant la représentation par courbes de niveau de la surface définie par l'équation (i) où a,, aa et as sont prises pour des coordonnées cartésiennes de l'espace.

Remarque. — Les courbes (as) ont une enveloppe dont l'équation s'obtient, comme on sait, en éliminant as entre l'équation (as) et sa dérivée par rapport a as

ijivi'^)^''-

Mais le tracé de cette enveloppe ne sera généralement d'aucune utilité. Elle peut d'ailleurs être complètement extérieure à la partie utile de l'abaque, limitée à l'aire d'un rectangle, ainsi qu'on vient de le voir.

17. Rattachement aux abaques à échelles accolées, — A simple titre de curiosité, nous ferons remarquer que le principe de la représentation des équations à trois variables, obtenu ci-dessus par la voie la plus naturelle, peut également se dégager du mode de représentation des équations à deux variables, exposé au n* 9, lorsqu'on tient compte de la remarque qui termine ce numéro.

Donnant à «i dans l'équation (i) du numéro précédent une valeur particulière aj, nous avons à représenter une équation entre les deux variables as et «3

(0 F(aî,a,,a3) = o.

Pour cela, portons respectivement, sur Taxe Oy et sur la parallèle à cet axe dont Tabscisse est

(2) X = li(Z\,

les graduations (aj) et («3) définies par et

cette dernière équation étant celle qu'on obtient en explicitant par rapport à^ l'équation

lorsque nous donnerons à a^ d'autres valeurs, la graduation de Oy ne variera pas et nous aurons de nouvelles graduations sur d'autres verticales, en vertu des équations (2) et (4).

Nous pourrons joindre par une courbe tous les points qui, sur ces verticales, correspondent à une même valeur de as, valeur qui servira de cote à cette courbe.

L'équation d'une telle courbe s'obtient par l'élimination de af entre (2) et (4) ou, ce qui revient au même, entre (2) et (4')« Elle est donc

On voit qu'on retrouve bien ainsi les courbes précédentes.

18. Emploi d'un transparent ou d^une échelle mobile, — On pourra ici encore recourir à l'emploi d'un transparent tel qu'il a été décrit au n^ 13.

Le mode d'emploi de l'abaque sera alors le suivant {Jig^ 20):

Le transparent étant orienté, faire passer ses index I| et I2 respectivement par les points cotés ai et 0L2 sur Ox et Oy; la cote de la courbe sur laquelle se trouve alors le centre du transparent fait connaître aj.

Par exemple, sur la fig. 20, pour Ki = 10, «] =:^ 8, on a a, ^ 5. On pourra aussi, comme cela a été indiqué au n" 14, rendre mo-

Fig. M.

Iiile l'un des axes Ox ou O/, le second par exemple. Dans ce cas, le mode d'emploi devient le suivant (^fig. a 1) :

On amène l'origine O' de Vaxe mobile O' y au point a, de l'axeOx. Le point oij de l'axe O' y tombe alors sur une courbe dont la cote/ait connaître «3.

Sur la Jig. 21, pour a, ^= 10, 13^ 4i on a a^^ 3.

19. Exemples. — Les exemples d'application de cette méthode sont extrêmement nombreux. Ils comprennent notamment tous les tableaux graphiques construits depuis les premiers essais de Pouchet jusqu'aux trat'aux de Lalaone, dont quelques-uns ont été cités dans l'Introduction.

IQUATIONS A TROIS VARIABLES. ABAQUES A BHTRECROISBIENT. 3j

Nous signalerons simplemeni ici le tableau de niultiplication de Pouchel, parce que c'esi le premier en dale de lous les abaques connus.

Premier type d'abaque de multiplication. — La muliiplicatïon se traduit par l'équaiioD

Si, pour la représenter, nous portons sur les axes Ox et 0^ les graduations

a; = 5'°'°a, et ^ = 5-"a,,

nous obtenons pour les courbes cotées (a,) les hyperboles équilatéres icj-— 25a, = 0.

C'est ainsi qu'a été obtenue la ^g. ii, qui ne doit être considérée que

Fig. M.

comme un schéma de l'abaque de Pouchet, construit avec une bien pi" grande précision.

Il est essentiel de remarquer que la méthode s'applique sans nulle difîicnlié lorsque les trois variables sont liées par une loi qui n'est connue qu'empiriquement. En effet, a chaque couple de valeurs de deux des variables X) ^t ''il prises comme indépendantes, correspond le sommet du quadrillage situé au croisement de la verticale (ai) et de l'horizontale (a,). Supposons que nous inscrivions en ce point la valeur correspondante de aj. Nous n'aurons plus ensuite qu'à joindre, par une ligne continue, tous les points répondant à une même valeur de a, pour avoir la courbe cotée (ii), de même qu'en unissant sur un plan topographique les points de même cote par un trait continu on obtient ses courbes de niveau.

Les applications de celte méthode sont très fréquentes. On trouvera quelques détails, à ce sujet, dans le Calcul graphique de Favaro (traduction Terrier, p. i54 et suiv.) et dans Timportant Ouvrage que M. Marey a consacré à la Méthode graphique dans les Sciences expérimentales (I™ Partie, Chap. V).

20. Superposition des graduations, — Supposons qu'une équation entre les trois variables ai, aj, «3 soit telle que, si Ton a

F(a,,aj,a3)=o,

on ait aussi, quelle que soit la solution (ai, a^, aj),

F(/i(aO,/î(aO./3(a3)) = o,

fif f\ et /s étant des fonctions connues.

Dans ces conditions, l'abaque, construit entre certaines limites, permettra de résoudre encore Téquation proposée pour des valeurs prises en dehors de ces limites.

Supposons, en effet, que Tabaque ait été construit avec les limites ai et h\ pour ai, aj et hx pour aj, a^ et 63 pour as. A côté de chaque valeur de ai, S] et as comprise entre ces limites, nous pourrons inscrire respectivement la valeur de/i(ai), de/j(aj) et de /a (03), en doublant ainsi chacune des lignes de graduation. Dès lors, si nous prenons pour «i et a^ des valeurs respectivement comprises entre /i(ai) et/i(6i), et entre /j(ai) et/j(6î), nous voyons que Tabaque nous fournira la valeur correspondante de as, à la condition que nous fassions usage, pour les éléments, droites et courbes, qui le constituent, des cotes inscrites dans les secondes lignes de graduation.

Il suffît que les limites primitives soient telles que les amplitudes de variation s'étendant de a\ à h\ et de/i(ai) à f\{bx) d'une part, de 0% et ôj, et de/î(aj) k f%{hi) de l'autre, aient une partie commune pour qu'il n'y ait pas de lacune dans le champ de variation auquel l'abaque est applicable.

C'est en cela que consiste le principe de la superposition des graduations.

Après avoir construit l'abaque, on peut, sans rien changer aux droites et aux courbes tracées, superposer aux graduations primitives de nouvelles graduations s'en déduisant suivant des lois connues et fournissant encore des solutions de la même équation.

Il pourra arriver que les fonctions /i(ai), /i(ai), /3(aî)» ou certaines d'entre elles, soient assez simples pour que le calcul de leur valeur se fasse immédiatement de tête. Ce sera le cas, par exemple, si /i (ai) se réduit au produit de si par un facteur simple comme 2, 5, 10 ou une puissance de 10. Lorsque cette circonstance se produira, il sera évidemment inutile d'inscrire sur l'abaque la seconde graduation qu'une opération mentale permettra de déduire immédiatement de la première.

ÉQUATIONS A TROIS YARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. 3q

A ce point de vue, les cas particuliers qui suivent méritent une attention spéciale. Ils se rencontrent d'ailleurs assez fréquemment dans la pratique.

21. Multiplicateurs correspondants. — i° Il arrivera que, si Ton multiplie deux des variables ai et as par des facteurs quelconques Xf et Xj, la nouvelle valeur a, de la troisième variable pourra se déduire de sa valeur a^ correspondant à ai et a^.

Cela aura lieu lorsque l'on aura

(I) aj=A(aï'a;«),

A étant une fonction quelconque, /ii et n^ des constantes quelconques. On voit, en effet, que Ton a dans ce cas, en représentant par V la fonction inverse de A,

(-2) ai=A(Xî'X;«V(a,)).

Le cas le plus simple est celui où l'on a (i bis) a,= A:aî'a;«,

parce qu'alors (2) devient (2bù) a'3 = Xî«X;«a,.

Autrement dit, si le système de valeurs (ai, a», as) satisfait à l'équation (i bis)^ il en est de même du système (Xiai, Xjaj, Xî'Xï'aa).

On peut alors dire que X|, Xj et X"'Xî* constituent des multiplicateurs correspondants pour les variables ai, aj et as.

En prenant pour Xi et Xj des valeurs simples, telles que 10 et ses puissances par exemple, on voit que les nouvelles valeurs de ai, aj, aj se déduiront de celles inscrites sur l'abaque, par une simple opération mentale, sans difficulté aucune.

2*" Supposons maintenant que les facteurs par lesquels on multiplie a] et as, au lieu d'être indépendants l'un de l'autre soient X et X'», m étant une constante.

La circonstance indiquée se présentera dans ce cas lorsqu'on aura

A et /étant des fonctions quelconques. On voit, en effet, que, dans ce cas, (4) a',= A(XV(«,)).

L'équation (3) pourra encore s'écrire (3') a,= A(a?/(afaî)),

ko

\% nombre m étant alors

P rn — — — •

Dans ce cas (i), on aura (4') a', = A(X«V(a,)).

Si, par exemple, l'équation est de la forme

(5) ^«jaî'H- Ajaaaî'-Hi = o, elle peut s'écrire

a, = — -^(/i,a,aî«-f-i)

et rentre bien ainsi dans le type (3'). Alors

et la formule (4') donne

Autrement dit, si le système (aj, aj, as) satisfait à V équation (5), il en est de même du système (Xai, X-'»«aî, X-^jaa).

C'est-à-dire que, dans ce cas, les variables ai, a^ e/ aj admettent les multiplicateurs correspondants X, X-»», X-»» (*). '

Considérons en second lieu l'équation

(6) a,= (Aafaî)aP.

Pour voir qu'elle rentre dans le type (3'), il suffit de l'écrire

On a dès lors

(*) Il ne faudrait pas croire que sous cette forme l'équation fût plus générale que sous la précédente. II suffit, en effet, de poser

pour qu'elle devienne

(^} Dans ce cas, le principe des multiplicateurs correspondants se trouve appliqué dans notre brochure de 1891 (p. 91). Il a été exposé sous forme géométrique par M. A. Chancel dans une étude dont il sera question plus loin (n« 118, 2").

tQUATIONS ▲ TROIS VARIABLES. ABAQUES A ENTRECROISEMENT. ^l

et la formule (4') devient

ai = «i

Par suite, lorsque le système («i, «j, «3) satisfait à V équation (6), il en est de même du système \Xai, X *7ai, «3 /.

C*est par Texamen de divers cas particuliers que nous avons été conduit aux types (1) et (3).

M. G. Kœnigs, à qui nous avions soumis la question, a démontré qu'ils sont les plus généraux correspondant à la propriété caractéristique de chacun d'eux. On trouvera plus loin sa démonstration (n**155).

22. Abaques à lignes droites, — Parmi les abaques qui viennent d'être définis, il convient de distinguer ceux sur lesquels les courbes (as) se réduisent à des droites; de tels abaques se rencontrent fréquemment dans la pratique.

Si nous nous reportons au n** 16, nous voyons que, pour que cette circonstance se présente, il faut que l'équation (as) soit de la forme

i\ Il

cl, par suite, Péquation (i)

Dans ce cas, il pourra être plus intéressant que dans le cas général de considérer l'enveloppe E des courbes (as) qui sont ici des droites. Si, en effet, la portion utile de cette enveloppe se trouve dans les limites de l'abaque, elle pourra dispenser du tracé des droites («3). H suffira d'inscrire la cote de chacune de ces droites à côté de son point de contact avec la courbe E.

Étant données des valeurs pour ai et a2, pour avoir la valeur correspondante de ol^ il suffira de mener par le point de rencontre des axes du quadrillage cotés ai et ol^ ^^^ tangente à la courbe E (ce qui se fera très aisément au moyen d'un index rectiligne marqué sur un transparent) et de lire la cote du point de contact de cette tangente. On pourra évidemment, le cas échéant, avoir ainsi plusieurs solutions, lorsque du point de rencontre des droites cotées ai et 0.2 il sera possible de mener plusieurs tangentes à la courbe E.

CBAPine II.

23. Exemples: i" Second type d'abaque de multiplication. — L'équi tion de la multiplication étant écrite

it suflît (]e constituer le quadrillage au moyen des droites (a,) x = l,a„

pour que les courbes cotées (a^) soient des droites issues de l'origine

En prenant /i = 5°"", /i = o"",5, on obtient ainsi l'abaque de la

Fig. ï3.

Il va sans dire qu'ici s'applique le principe des multiplicateurs correspondants, l'équation étant la plus simple du type du n° îl, i". Les multiplicateurs correspondants pour a,, Hx et «j sont respectivement X|, Xj et

(') Le triangle à calcul de M. P. Chcnevier, qui ligure dans les galeries du Conserva toire des Arts et Métiers, n'est autre qu'une forme particulière de cet abaque, dans laquelle, au lieu de tracer un certain nombre des droites (s^) issues de l'origine, on a fl^ié en cette origine un lil que l'on peut tendre pour te taire passer par les points d'une graduation placée sur un bord du cadre et repérant les positions des droites (a,) non tracées.

BQDATIOng A TBOIS VÀBIABLBB. ABtQUBS A ENTHECKOIBEHEHT. 43

Od obtient une meilleure disposition de l'abaque {fig. 33 hW) en prenant des axes de coordonnées non plus rectangulaires, mais faisant eotre eux un angle égal à — ■ Noua devons celte remarque à l'obligeance de M. Prochot, ancien conservateur des Forêts (').

a" Abaque de Lalanne pour l'équation trinôme du troisième degré. — Soit l'équation

Cboisissant un module / quelconque, nous pouvons construire l'abaque de cette équation en prenant

x = lp, jr = Iq, ce qui nous donne pour i les droites

L'abaque ainsi obtenu (fie: aj) est celui qui a été construit par La- Noas avons d'ailleurs fait remarquer(') qu'on pouvait se borner à tracer

( ' ) C'est en 189a, an Congrès de l'A*tocialion française pour l'Avancement de* Seiencet, qui se tenait  Pau, que M. Frocbot nous a communiqué son ■baque. Il l'avait, croyons-noua nom rappeler, publié dan» un Ouvrage, mais ooDS manquons sur ce point d'indicalioD précise.

<') Mémoire sur les Tables graphiques {A. P. C, 1" semestre, iS^C).

44 CHIPITRE II.

les droites correspondant aux valeurs positives de z, les valeurs absolues des racines négatives de l'équation étant obtenues comme racines positives de la transformée en —s, c'est-à-dire de l'équation qui se déduit de la précédente par simple changement de 7 en — q.

Fig. A-

\NiV\

^ ^tv^

\\^ ^ X ^sL

• -tic vx s

IttitlU .Ho p

Cet artifice peut être considéré comme dérivant du principe des multiplicateurs correspondants (n° 21).

L'équation donnée peut, en ciïet, s'écrire

Sous celte forme, elle rentre évidemment dans le type (5) du n" 2i, et l'on voit ainsi que, pour les variables q, p, f , on a, en faisant X = — 1, les multiplicateurs correspondants ( — 1)', ( — i)', —1, ou — 1, i et — r. C'est bien là la remarque qui vient d'être faite au sujet des racines négatives.

Mais, plus généralement, on peut dire que les variables q, p, s admettent les multiplicateurs correspondants n', n' et it. Pour montrer l'utilité de cette remarque, nous prendrons l'exemple suivant :

Si l'on représente par

: la hauteur en mètres sur laquelle le parc peut être maintenu vertical à partir du cou

X le rapport de la pression limite admissible par mètre carré au poids

de i"* de maçonnerie; 6 le rapport du poids de 1°"' d'eau à celui de 1™* de maçonnerie,

M. Delocre a fait voir, dans son Mémoire classique sur les grands barrages, que la hauteur z est donnée (i) par la racine positive de l'équation

ou

si

ox "

si

Posons

Ici,

et c'est la première équation qui est applicable. Cette équation devient

L'abaque de la Jig, 24 ne nous donne pas directement z. Ayons dès lors recours aux. multiplicateurs ci-dessus définis en prenant n = 10. II vient ainsi

et l'abaque donne

doù

— = iM8,

z rriir^S.

3" Abaque du poids de la vapeur d^eau contenue dans Vair ('). Si p est le poids en grammes de la vapeur d'eau contenue dans 1"*= d'air à r, lorsque la tension de la vapeur est f en millimètres, on a

(') Les inégalités de condition, telles qu^cUes sont énoncées ici, se rencontrent pour la première fois, dans une Note publiée par nous, en mars iStji, dans les Annales des Ponts et Chaussées (p. 443)' Par suite d'un lapsus, le sens de toutes les inégalités de cette Note a été renversé, ainsi que nous l'avons fait remarquer depuis dans un erratum.

(') Nous avons construit cet abaque en 1886, pour la Direction de l'Artillerie (le TArsenal de Rochefort, en vue d'observations à faire, plusieurs fois par jour, dans des poudrières qui étaient de son ressort.

46 cbàpitie II.

D'ailleurs la tension / est fournie par les Tables de Regnanlt (*> en fonction de la température de condensation ^ lue sur Thygrométre. L'équation ci-dessus peut s'écrire

Pour la représenter nous poserons, /| et /j étant deux modules quelconques

^=/,X2,78/, ce qui donne pour les droites (/>)

Faisons, par exemple ('),

/i = o"", oo37, l\ = o"", 43.

Nous obtenons ainsi Tabaque de \di fig, 25. Les graduations de 0 or et de Oy sont alors données par

X = 3-"/ y= i"",2^ et les droites {p) par

py X

Toutes ces droites convergent au point j: = o, ^ = — 326"^, 8. On les appelle des radiantes (n* 27).

(') Jamin, Cours de Physique de V École Polytechnique, t. II (3« édition )

(') Ces nombres ont été choisis pour mettre le texte d'accord avec la fig. aS qui a été obtenue par réduction photographique de l'abaque construit à plus grande échelle en 1886. Sans cela on eût pris

de façon à avoir à porter les graduations

X — If, y ~ t.

II pourrait, de prime abord, sembler plus simple de choisir /, et /, de façon à n'avoir à porter que les graduations

mais alors les radiantes (z^) se rapprochant de la direction parallèle à Oy^ leurs points de rencontre avec les verticales (/) se détermineraient avec moins d'exactitude.

Bchelle de la thmpéra

L'échelle de t ou échelle des températures sera construite entre t — — 10° et / = 4o'. Sa longueur sera égale à i^^^^a x 5o = 60""".

Pour construire les droites (p) déterminons les points où elles coupent les horizontales 0° (y = o) et 4o" (^^ = i"",2 x 40 = 48°»").

Pour^ = o, nous avons, en prenant comme unité le millimètre,

X = 760 X o,oo37/> = 2,8i/>; pour ^ = 48

Construisons ces droites pour des valeurs de/> croissant d'unité en unité de o à 5o.

Les abscisses des deux points déterminant la droite extrême {p =■ 5o) seront, pour t = 0° (y = o) et t = 4o* (y = 48),

a: = 140""°, 5 et ar = 161""°.

Reste à construire l'échelle de la tension/. Celle-ci étant fonction de la température de condensation <', nous pourrons la déterminer par le procédé indiqué au n" 12, c'est-à-dire en traçant la courbe qui fait connaître les variations de /en fonction de ^(traduction graphique de la table de Regnault), les modules le long de Ox et Oy étant précisément les nombres 3™"» et i°"",2 obtenus plus haut. En d'autres termes, on construira la

courbe définie par

y=i^«\'it\

les valeurs correspondantes de t' et de / étant celles que donne la table de Regnault.

Cette courbe, que nous désignerons par F, étant tracée, on voit à quoi se réduit le mode d'emploi de l'abaque : lire la cote p de la radiante passant par le point de rencontre de Vhorizontale t et de la verticale fj cette dernière coupant la courbe F au même point que l'hori^ zontale t'.

Usant ici d'un artifice (M signalé au n® 13 nous remplacerons le système des verticales par un index mobile tracé sur un transparent dont l'orientation sera maintenue par la coïncidence, avec Taxe AB de l'abaque, d'un second index de ce transparent, perpendiculaire au premier.

Dès lors, le mode d'emploi de l'abaque peut s'énoncer ainsi : Vindex d* orientation du transparent étant mis en coïncidence avec AB, faire passer IHndex de lecture par le point de la courbe F situé sur l* horizontale t\ suivre cet index jusqu en son point de rencontre avec Vho-

(') C'est précisément à Toccasion de cet abaque que nous avons eu pour la première fois recours à cet artifice.

rizontale i et lire la cote p de la radiante passant par ce dernier point.

Par exemple, pour t— 30", l' = i6", la position do l'index étant celle indiquée en pointillé sur la figure, on lit/? = 12*', 9. On aurait pu évidemment tout aussi bien écrire au pied de chaque verticale la valeur correspondante de t' obtenue par l'intermédiaire de la courbe F, et effacer celle-ci.

4* Nous dirons encore un mot des abaques publiés par M. Genailh* sous le titre Les graphiques de Vingénieur^ et nous indiquerons sommairement leur disposition dans un cas. Si une charge est uniformément répartie sur une poutre de portée a, on a

pa"^-^ q,

q étant un nombre qui dépend de la section de la poutre et de la limite de pression admise par unité de surface (^).

A chaque type de fer du commerce correspond une valeur de q. L'abaque de l'équation précédente, en permettant de calculer çr, définira donc le type de fer à adopter pour des valeurs données de a et de p.

Cet abaque peut être construit au moyen du quadrillage défini par

x=^l\q. y = l\P, ce qui donne pour a les droites cotées dont l'équation est

Ixa^-y - l^x,

droites passant par l'origine. Au lieu d'inscrire la valeur de q au pied de la verticale correspondante, on peut y inscrire les éléments de la section donnant cette valeur de q. Les abaques ainsi obtenus pour les différentes espèces de poutres sont ceux que M. Genaille a fait connaître au Congrès de 1884 de l'Association française pour ravancement des Sciences, et dont des exemplaires à grande échelle figurent dans les galeries du Conservatoire des Arts et Métiers (*)..

SRI

(') On a ^ = > I étant le momeni d'inertie polaire de la section, n la

distance des fibres qui supportent la plus grande tension, R la limite de pression admise.

{*) Aux exemples qui viennent d'être donnés ci-dessus, et qui pourraient, sans profit d'ailleurs pour le lecteur, être beaucoup multipliés, nous tenons à joindre la mention d'abaques de ce genre, pour le calcul du profil de certains murs de M>olèoement, dans la livraison de septembre 1898 de la Bévue du Génie par \(^ lieutenant Belhague {PLIA!') et le commandant Bertrand {Pt.XI). La très intritssante étude du premier de ces officiers sur la construction de la route de Tanatttrive à Moranianga fait ressortir l'utilité de l'emploi des abaques pour des travaux qui, comme celui-ci, exigent une grande célérité.

5o CHAPITRE II.